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- 2021-11-01 发布
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17.1.2勾股定理应用—利用勾股定理解决平面
几何问题
一复习提问
• 勾股定理的内容是什么?
A
C B
勾股定理:直角三角形两直角边
的平方和等于斜边的平方.
a
b c在△ABC中,
a2+b2=c2
两点之间,线段最短.
二、新课导入
从二教楼到综合楼怎样走最近?
说明理由.
B
A
例1在一个圆柱石
凳上,若小明在吃东西时留
下了一点食物在B处,恰好
一只在A处的蚂蚁捕捉到这
一信息,于是它想从A处爬
向B处,你们想一想,蚂蚁
怎么走最近?
问题情境
利用勾股定理解决平面几何问题1—
—最短路径问题
B
A
以小组为单位,研究蚂
蚁爬行的最短路线.
合作探究
蚂蚁A→B的路线
B
A
A’ d
A
BA’
A
BB
A
O
A
BA’B
A
A’ r O
h
怎样计算AB?
在Rt△AA’B中,利用勾股定理可得:
2 2 2'AB AA A B
侧面展开图
其中AA’是圆柱体的高,A’B是
底面圆周长的一半(πr) .
若已知圆柱体高为12 cm,底面半径为
3 cm,π取3,则:
2 2 212 (3 3) 15AB AB
B
A
A’ 3 O
12 侧面展开图 12
3π
A
A’ B
用所学数学知识去解决实际问题的关键:
根据实际问题建立数学模型;
具体步骤:
1. 审题——分析实际问题;
2. 建模——建立相应的数学模型;
3. 求解——运用勾股定理计算;
4. 检验——是否符合实际问题的真实性.
方法提炼
练习1.如图:在一个棱柱形的石凳子上,一位小朋
友吃东西时留下一点食物在G处,恰好有两只蚂蚁
路过A处(A在G的对面),它们的触角同时准确的
捕捉到了这个信息,并迅速的传给它的小脑袋,
于是它们迫不急待的想从A处爬向G处。
A B
CD
E F
GH
3 2
4
蛋糕
求蚂蚁爬行的最短路径的长度?
下右 正右 正上
分组计算
A B
FE
GH
3
4
2
正面 上面
解:当蚂蚁经过正面和上面时,
如图,最短路径为
回5
45)24(3 22 AG
正面 右侧面
A B
E F
C
G
3 2
4
解:当蚂蚁经过正面和右侧面时,
如图,最短路径为
414)23( 22 AG
下底面 右侧面
A B
D C
F
G
3 4
2
解:当蚂蚁经过下底面和右侧
面时,如图,最短路径为
回5
532)43( 22 AG
最短路径的长度为
534541
41
• (1)分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分
别用S1,S2,S3表示.那么S1,S2,S3之间有什么关系;
• (2)如图②,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,
其面积分别用S1,S2,S3表示,那么S1,S2,S3之间有什么关系;
• (3)如图③,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,
其面积分别用S1、S2、S3表示,那么S1,S2,S3之间有什么关系;
(4)若分别以直角三角形ABC三边为边向外作等腰直角三角形,其面
积分别用S1、S2、S3表示,那么S1,S2,S3之间有什么关系?
1S 2S
1S
探究
如图,以Rt△ 的三边为边向外作正方形,
其面积分别为 、 、 ,请同学们想一想
、 、 之间有何关系呢?
A
B
C
3S
3S
3S
1S 2S
2Sa
b
c
2S 3S + =a2+b2
1S =c2
∵a2+b2=c2
2S 3S 1S+ =
2S
1S
AB
C
1S
a bc
2S
探究S1、S2、S3之间的关系
22
22
32
b8
1a8
1
2
b
2
1
2
a
2
1
SS
2
2
1 c8
1
2
c
2
1
S
由勾股定理得 a2+b2=c2
∴S2+S3=S1
3S
24682
188
2
25
2
98
52
132
142
1 222
ABCABC
ABC
ABC
SS
S
S
动手操作:例2如图,Rt△ABC中
,AC=8,BC=6,∠C=90°,分别
以AB、BC、AC为直径作三个半圆
,那么阴影部分的面积为___ .
S阴影=S半圆AC+S半圆BC+S△ABC-S半圆AB
24
1、下图中的三角形是直角三角形,其余是正
方形,求下列图中字母所表示的正方形的面
积.
=625
225
400
A
225
81
B =144
快速抢答
2、如图所示的图形中,所
有的四边形都是正方形,
所有的三角形都是直角三
角形,其中最大的正方形
的边长是8厘米,则正方形
A,B,C,D的面积之和是
________平方厘米64
例3、折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在
BC边上的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,求
: (1)CF (2)EC. A
B C
D
E
F
8
10
10
6
X
8-X
4
8-X
利用勾股定理解决平面几何问题3——折叠中的计算问题
在RtΔABF中
BF= 6810 2222 ABAF
∴FC =4cm
设EC =xcm 则DE=EF=(8-x)cm
∵EF2=EC2+FC2 ∴ (8-x)2 = x2+42
解得x=3 ∴CF =4cm,EC=3cm
能算好算直接算,不能算不好算,设未知数,列方程(勾股定理、全等、相似等)
小试牛刀
练习1、(泰安市中考)如图,点O是矩形ABCD的中心,E是AB
上的点,沿CE折叠后,点B恰好与点O重合,若BC=3,则折痕
CE的长为( )
解:设CE=x,由题意可得
AE=CE=x
BC=OC=OA=3
12x
3x-33-x
x-33OEBE
222
32
能算好算直接算,不能算不好算,设未知数,列方程(勾股定理、全等、相似等)
利用勾股定理解决平面几何问题3——折叠中的计算问题
例题4、如图在三角形ABC中,AB=3cm,AC=4cm,BC=5cm,M
是BC边上的动点(点M不与点B、C重合),MD垂直AB,ME垂
直AC,垂足分别是D、E。线段DE的最小值是_______cm
4.2
利用勾股定理解决平面几何问题4——
直角三角形问题
解题技巧:巧用勾股定理、面积相等法
利用勾股定理解决平面几何问题4——直角三
角形问题
温馨提示:有题无图,莫犯糊涂
三、当堂检测:小试牛刀
练习1
练习2
练习3
.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险,某
日早晨8:00甲先出发,他以6 km/h的速
度向正东行走,1小时后乙出发,他以5
km/h的速度向正北行走.上午10:00,甲、
乙两人相距多远?
小试牛刀
练习1
练习2
练习3
解:如图:已知A是甲、乙的出发点,
10:00甲到达B点,乙到达C点.则:
AB=2×6=12(km)
AC=1×5=5(km)
在Rt△ABC中
2 2 2
2 2 25 12 169 13
BC AC AB
∴BC=13(km) .
即甲乙两人相距13 km.
2.如图,台阶A处的蚂蚁要爬到B处
搬运食物,它怎么走最近?并求出最
近距离.
3
2
20 B
A
2 2 2 215 20 625 25 25AB AB .
小试牛刀
练习1
练习2
练习3
解:
答:沿AB走最近,最近距离为25 .
3.有一个高为1.5 m,半径是1 m 的
圆柱形油桶,在靠近边的地方有一小孔,
从孔中插入一铁棒,已知铁棒在油桶外
的部分为0.5 m,问这根铁棒有多长?
小试牛刀
练习1
练习2练习3
你能画出示意
图吗?
解:设伸入油桶中的长度为x m,则最
长时: 2 2 21.5 2
2.5
x
x
最短时:
∴最长是2.5+0.5=3(m) .
1.5x
答:这根铁棒的长应在2~3m之间.
∴最短是1.5+0.5=2(m) .
小试牛刀
练习1
练习2
练习3
1.如图,在棱长为10 cm 的正方体
的一个顶点A处有一只蚂蚁,现要向
顶点B处爬行,已知蚂蚁爬行的速度
是1cm/s,且速度保持不变,问蚂蚁
能否在20 s内从A爬到B?
B
食物
A
四、举一反三
B
A
B
两条线路
,
看明白了吗
?
举一反三
1.如图,在棱长为10 cm 的正方体的一
个顶点A处有一只蚂蚁,现要向顶点B处
爬行,已知蚂蚁爬行的速度是1cm/s,且
速度保持不变,问蚂蚁能否在20 s内从A
爬到B?
中国古代人民
的聪明才智真
是令人赞叹 ! 2.在我国古代数学著作《九章算
术》中记载了一道有趣的问题,这
个问题的意思是:有一个水池,水
面是一个边长为10尺的正方形,在
水池的中央有一根新生的芦苇,它
高出水面1尺,如果把这根芦苇垂
直拉向岸边,它的顶端恰好到达岸
边的水面,请问这个水池的深度和
这根芦苇的长度各是多少?
举一反三
设水池的水深AC为x尺,则这根芦苇
长为AD=AB=(x+1)尺,
在直角三角形ABC中,BC=5尺
由勾股定理得:BC2+AC2=AB2
即 52+x2=(x+1)2
25+x2= x2+2x+1,
2x=24,
∴ x=12, x+1=13 .
答:水池的水深12尺,这根芦苇长13尺.
举一反三
解:
能算好算直接算,不能算不好算,设未知数,列方程(勾股定理
、全等、相似等)
2.右图是学校的旗杆,旗
杆上的绳子垂到了地面,
并多出了一段,现在老师
想知道旗杆的高度,你能
帮老师想个办法吗?请你
与同伴交流设计方案?
1.课本习题17.1第1,2,
3题.
五、课后作业
3. 已知,如图,长方形
ABCD中,AB=3cm,AD=9cm
,将此长方形折叠,使点B
与点D重合,折痕为EF,则
△ABE的面积为多少?
A
B
E
F
D
C
A
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