八年级下数学课件八年级下册数学课件《角的平分线》 北师大版 (4)_北师大版 19页

课标要求：  1.经历建模和推理的过程，掌握三角形三条角平 分线交于一点这一定理及证明过程。  2.获得利用转化思想分析问题和解决问题的基本 方法，发展创新意识。 学习目标: 1.通过折叠、作图和逻辑推 理得出三角形角平分线的 性质定理。 2.能运用此定理解决一些简 单的问题。 剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平分 线，观察这三条角平分线，你发现了什么？ 作三角形三个内角的角平分线，你又发现了 什么？ 结论:三角形三个角的平分 线相交于一点,且这一点到 三顶点的距离相等. P D E F 一个真命题的验证仅靠动手操作或猜想可行吗？ 已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P， PD⊥AB， PE⊥BC ,PF⊥AC,其中D、E、F是垂足 求证：P点在∠A的角平分线上，且PD=PE=PF． 证明： ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上, 且 PD⊥AB，PE⊥BC ∴PD=PE( ? ) 同理：PE=PF． ∴PD=PF=PE ∴点P在∠BAC的平分线上( ? ) 即△ABC的三条角平分线相交于一点P,且PD=PE=PF P D E F A B C M N 该定理用于解决哪些问题？ 数学语言表达： ∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条角平分线, 且PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC ∴PD=PE=PF 注意：一平分、二垂直 两个条件缺一不可 A B C P MN D E F 二、学以致用 1.如图,三条公路两两相交，现计划修建一个油库。 （1）如果要求油库到两条公路AB,AC的距离都相等， 那么如何选择油库的位置？ A B C . （2）如果要求油库到这三条公路的距离都相等，那 么如何选择油库的位置？有几处可供选择？ A B CP Q R S 归纳总结： （1)在三角形内部，到三角形三边距离相等的 点是三角形三条角平分线的交点。 (2)三角形两外角平分线和一内角平分线的交 点到三边所在直线的距离也相等。 . 三、角平分线与其他知识的综合运用 例：如图,在△ABC中,已知 AB=BC,∠B=900,AP是△ABC的 角平分线,PQ⊥AC,垂足为Q. (1)如果BP=3cm,求AB的长; (2)求证:AC=AB+BP. Q P A CB 变式一 已知，在△ABC中，AD平分∠BAC,∠B=2∠C, 求证：AC=AB+BD D A CB E 变式二 已知，如图，在△ABC中，∠ACB=2∠B,当AD 平分△ABC 的外角∠FAC时,线段AB、AC、CD又有怎 样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明。 归纳总结 1、有角平分线时，常用的辅助线： （1)在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。 （2）过角平分线上一点向角两边作垂线。 2、证明线段的和、差或倍数关系时，通常可以用截长 补短法添加辅助线。 3、证明两条线段相等常用的办法是构造全等、等角对 等边、中垂线性质、角平分线性质。 已知:如图,P是∠AOB平分线上的 一点,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别 C,D. 求证: (1)OC=OD; (2)OP是CD的垂直平分线. B A P D C O E 四、课堂检测 拓展延伸 如图，△ABC中，点O是∠BAC与∠ABC的平分 线的交点，过O作与BC平行的直线分别交AB、 AC于D、E．已知△ABC的周长为15，BC的长 为6，求△ADE的周长 CB A ED O 1·证明三角形的三条角平分线性质定理。 2·应用角平分线定理解决一些简单的问 题。 3·转化思想的具体应用。 严格性之于数学,犹如道德之于人 证明的规范性在于： 条理清晰， 因果相应, 言必有据.