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- 2021-11-01 发布
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6.4 多边形的内角和与外角和
1.理解多边形内角和公式的推导过程,并掌握多边形的内角和与外角和公式;(重点)
2.灵活运用多边形的内角和与外角和定理解决有关问题.(难点)
一、情境导入
多媒体演示:清晨,小明沿一个多边形广场周围的小路按逆时针方向跑步.
提出问题:
(1)小明是沿着几边形的广场在跑步?
(2)你知道这个多边形的各部分的名称吗?
(3)你会求这个多边形的内角和吗?
导入:小明每从一条小路转到下一条小路时,身体总要转过一个角,你知道是哪些角吗?
你知道它们的和吗?就让我们带着这些问题同小明一起走进今天的课堂.
二、合作探究
探究点一:多边形的内角和定理
【类型一】 利用内角和求边数
一个多边形的内角和为540°,则它是( )
A.四边形 B.五边形
C.六边形 D.七边形
解析:熟记多边形的内角和公式(n-2)·180°.设它是n边形,根据题意得(n-2)·180=540,解得n=5.故选B.
方法总结:熟记多边形的内角和公式是解题的关键.
【类型二】 求多边形的内角和
一个多边形的内角和为1800°,截去一个角后,得到的多边形的内角和为( )
A.1620° B.1800°
C.1980° D.以上答案都有可能
解析:1800÷180=10,∴原多边形边数为10+2=12.∵一个多边形截去一个内角后,边数可能减1,可能不变,也可能加1,∴新多边形的边数可能是11,12,13,∴新多边形的内角和可能是1620°,1800°,1980°.故选D.
方法总结:一个多边形截去一个内角后,边数可能减1,可能不变,也可能加1.根据多边形的内角和公式求出原多边形的边数是解题的关键.
【类型三】 复杂图形中的角度计算
如图,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=( )
A.450° B.540°
C.630° D.720°
解析:如图,∵∠3+∠4=∠8+∠9,∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=∠1+∠2+∠8+∠9+∠5+∠6+∠7=540°,故选B.[来源:学科网]
方法总结:本题考查了灵活运用五边形的内角和定理和三角形内外角关系.根据图形特点,将问题转化为熟知的问题,体现了转化思想的优越性.
【类型四】 利用方程和不等式确定多边形的边数
一个同学在进行多边形的内角和计算时,求得内角和为1125°,当他发现错了以后,重新检查,发现少算了一个内角,问这个内角是多少度?他求的是几边形的内角和?
解析:本题首先由题意找出不等关系列出不等式,进而求出这一内角的取值范围;然后可确定这一内角的度数,进一步得出这个多边形的边数.
解:设此多边形的内角和为x,则有1125°<x<1125°+180°,即180°×6+45°<x<180°×7+45°,因为x为多边形的内角和,所以它是180°的倍数,所以x=180°×7=1260°.所以7+2=9,1260°-1125°=135°.因此,漏加的这个内角是135°,这个多边形是九边形.
方法总结:解题的关键是由题意列出不等式求出这个少算的内角的取值范围.[来源:学科网ZXXK][来源:学科网]
探究点二:多边形的外角和定理
【类型一】 已知各相等外角的度数,求多边形的边数
正多边形的一个外角等于36°,则该多边形是正( )
A.八边形 B.九边形
C.十边形 D.十一边形
解析:正多边形的边数为360°÷36°=10,则这个多边形是正十边形.故选C.
方法总结:如果已知正多边形的一个外角,求边数可直接利用外角和除以这个角即可.[来源:学+科+网Z+X+X+K]
【类型二】 多边形内角和与外角和的综合运用
一个多边形的内角和与外角和的和为540°,则它是( )
A.五边形 B.四边形
C.三角形 D.不能确定
解析:设这个多边形的边数为n,则依题意可得(n-2)×180°+360°=540°,解得n=3,∴这个多边形是三角形.故选C.
方法总结:熟练掌握多边形的内角和定理及外角和定理,解题的关键是由已知等量关系列出方程从而解决问题.
三、板书设计
多边形的内角和与外角和
1.性质:多边形的内角和等于(n-2)·180°,多边形的外角和等于360°.
2.多边形的边数与内角和、外角和的关系:
(1)n边形的内角和等于(n-2)·180°(n≥3,n是正整数),可见多边形内角和与边数n
有关,每增加1条边,内角和增加180°.
(2)多边形的外角和等于360°,与边数的多少无关.
3.正n边形:正n边形的内角的度数为,外角的度数为.
[来源:学。科。网Z。X。X。K]
本节课先引导学生用分割的方法得到四边形内角和,再探究多边形的内角和,然后采用完全开放的探究,每步探究先让学生尝试,把学生推到主动位置,放手让学生自己学习,教学过程主要靠学生自己去完成,尽可能做到让学生在“活动”中学习,在“主动”中发展,在“合作”中增知,在“探究”中创新.要充分体现学生学习的自主性:规律让学生自主发现,方法让学生自主寻找,思路让学生自主探究,问题让学生自主解决.
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