2020八年级数学上册 专题突破讲练 巧添平行线解题试题 （新版）青岛版 10页

巧添平行线解题 一、平行线的性质与判定 对比理解：‎ 二、拐角处巧添平行线 在求解有关平行线中角的问题时，我们可以在转折点处添加辅助线——平行线，从而构造出特殊位置关系的角。‎ 如（1）如图所示，直线AE//CD，EBF=135°，BFD=60°，则D等于（ ）‎ A. 75° B. 45° C. 30° D. 15°‎ 解析：由图形可看出，在两条平行线AE、CD之间出现了一个转折角，即BFD，因此我们可以过点F作与AE、CD平行的直线GH，则EBF+HFB=180°，HFD=D。‎ 因为EBF=135°，所以BFH=45°‎ 又因为BFD=60°，所以HFD=15°，所以D=15°‎ 答案：D 10‎ ‎（2）如图所示，AB//CD，若ABE=120°，DCE=35°，则BEC=_____________度。‎ 解析：题中出现转折角，即BEC，可过点E作与AB、CD平行的直线FG，则ABE +BEF=180°，FEC=ECD。‎ ‎∵ABE=120°，DCE=35°‎ ‎∴BEF=60°，FEC=35°‎ 所以BEC=BEF+FEC=60°+35°=95°‎ 答案：95°‎ ‎ ‎ 例题1 如图所示。AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=25°，求∠C。‎ 解析：利用平行线的性质，可以将角“转移”到新的位置，如∠1=∠DFC或∠AFB。若能将∠1、∠2、∠C“集中”到一个顶点处，则有∠1=∠DFC=∠C+∠2，即∠C=∠1－∠2=2∠2=50°。‎ 答案：解：过F到FG∥CB，交AB于G ‎∴∠C=∠AFG（同位角相等）‎ ‎∴∠2=∠BFG（内错角相等）‎ ‎∵AE∥BD ‎∴∠1=∠BFA（内错角相等）‎ ‎∴∠C=∠AFG=∠BFA－∠BFG ‎=∠1－∠2=3∠2－∠2‎ ‎=2∠2=50°。‎ 10‎ 故答案为50°。‎ 点拨：运用平行线的性质，将角集中到适当位置，是添加辅助线（平行线）的常用技巧。角的等量代换的运用是正确解答本题的关键。 ‎ 例题2 一块四边形的地（如图）（EO∥FK，OH∥KG）内有一段曲折的水渠，现在要把这段水渠EOHGKF改成直的。（即两边都是直线）但进水口EF的宽度不能改变，新渠占地面积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠，以节省工时。那么新渠的两条边应当怎么作？写出作法，并加以证明。‎ 解析：①延长EO和FK，即得所求新渠；②连接EH，FG。过O作EH平行线交AB于N，过K作FG平行线交于AB于M。连接EN和FM，则EN，FM就是新渠的两条边界线。比较两种作法，即可求出最节省工时的方法。‎ 答案：解：由下图知OK∥AB，延长EO和FK，即得所求新渠。这时，HG=GM（都等于OK），且OK∥AB，故△OHG的面积和△KGM的面积相同。即新渠占地面积与原渠面积相等。而且只挖了△KGM这么大的一块地。‎ 我们再看另一种方法，如下图，作法：①连接EH，FG。‎ ‎②过O作EH平行线交AB于N，过K作FG平行线交于AB于M。 ‎ ‎③连接EN和FM，则EN，FM就是新渠的两条边界线。‎ 又EH∥ON，‎ ‎∴△EOH面积=△FNH面积。‎ 从而可知左半部分挖去和填出的地一样多，同理，右半部分挖去和填出的地也一样多。即新渠面积与原渠的面积相等。‎ 由图可知，第二种作法用工较多（要挖的面积较大）。‎ 故应选第一种方法。‎ 点拨：本题考查了平行线的性质及三角形的面积求法，难度较大，注意平行线性质的熟练运用。 ‎ 10‎ 学习了平行线的知识后，我们知道平行线有三条性质，当两直线平行时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。因此，在求解有关平行线中角的问题时，我们可以在转折点处添加辅助线——平行线，从而构造出特殊位置关系的角，为解题架桥铺路。‎ 满分训练 如图，直线a∥b，直线AB交a与b于A、B，CA平分∠1，CB平分∠2，求证：∠C=90°。‎ 解析：由于a∥b，∠1，∠2是两个同侧内角，因此∠1+∠2=180°，‎ 那么90°，‎ 过C点作直线l，使l∥a（或b）即可通过平行线的性质得到 与C相等，‎ 从而实现等角转移。‎ 答案：‎ 证明：过C点作直线l，使l∥a ‎∵a∥b ‎∴b∥l ‎∴∠1+∠2=180°（同旁内角互补）‎ ‎∵AC平分∠1，BC平分∠2‎ ‎∴‎ 又∵（内错角相等）‎ ‎∴90°‎ ‎∴90°。‎ ‎ ‎ 10‎ 点拨：灵活添加平行线，熟悉平行线的性质和角平分线的性质的应用。两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。 ‎ ‎（答题时间：45分钟）‎ 一、选择题 ‎*1. 如图，∠1与∠2互补，∠3=135°，则∠4的度数是（ ）‎ A. 45° B. 55° C. 65° D. 75°‎ ‎*2. 如图，∠1与∠2互补，∠3=130°，则∠4的度数是（ ）‎ A. 40° B. 45° C. 50° D. 55°‎ ‎**3. 如图所示是一条街道的路线图，若AB∥CD，且∠ABC=130°，那么当∠CDE等于（ ）时，BC∥DE。‎ A. 40° B. 50° C. 70° D. 130°‎ ‎**4. 如图，在△ABC和△DBC中，∠A=50°，∠2=∠1，则∠ACD的度数是（ ）‎ A. 50° B. 120° C. 130° D. 无法确定 二、填空题 ‎*5. ‎ 10‎ 如图，一束平行光线AB与DE射向一水平镜面后被反射，此时∠1=∠2，∠3=∠4，则反射光线BC与EF的位置关系是 ________。 ‎ ‎*6. 如图，已知∠1=∠2=∠3=50°，则∠4=________。‎ ‎**7. 如图CD⊥AB于D，EF⊥AB于F，∠DGC=105°，∠BCG=75°，则∠1+∠2=________。‎ 三、解答题 ‎8. 在四边形ABCD中，已知AB∥CD，∠B=60°，‎ ‎（1）求∠C的度数；‎ ‎（2）试问能否求得∠A的度数（只答“能”或“不能”）‎ ‎（3）若要证明AD∥BC，还需要补充一个条件，请你补充一个条件并加以证明。‎ ‎9. 如图，AB∥DC，∠B=55°，∠2=40°，∠3=85°。‎ ‎（1）求∠D的度数；‎ ‎（2）求∠1的度数；‎ ‎（3）能否得到DA∥CB，请说明理由。‎ ‎*10. 如图，CD∥AF，∠CDE=∠BAF，AB⊥BC，∠BCD=124°，∠DEF=80°。‎ 10‎ ‎（1）观察直线AB与直线DE的位置关系，你能得出什么结论并说明理由；‎ ‎（2）试求∠AFE的度数。‎ ‎**11. 如图所示。AB∥CD，∠BAE=30°，∠DCE=60°，EF、EG三等分∠AEC。问：EF与EG中有没有与AB平行的直线，为什么？‎ ‎**12. 如图，已知∠3=∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D=180°。‎ 10‎ ‎1. A 解析：∵∠1与∠2互补，∴a∥b，∵∠3=∠5，∴∠5=135°，∵a∥b，∴∠4与∠5互补，‎ ‎∴∠4=180°－135°=45°。故选A。‎ ‎2. C 解析：∵∠1与∠2互补，∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行），∴∠4+∠5=180°（两直线平行，同旁内角互补）；又∵∠3=∠5（对顶角相等），∠3=130°（已知），∴∠4=50°。‎ 故选C。‎ ‎3. B 解析：∵AB∥CD，且∠ABC=130°，∴∠BCD=∠ABC=130°，∵当∠BCD+∠CDE =180°时BC∥DE，∴∠CDE=180°－∠BCD=180°－130°=50°，故选B。‎ ‎4. C 解析：∵∠2=∠1，∴AB∥CD，∴∠A+∠ACD=180，∴∠ACD=180°－50°=130°。‎ 故选：C。‎ ‎5. 平行 解析：∵AB∥DE，∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等），又∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2=∠4，∴BC∥EF（同位角相等，两直线平行），故填平行。‎ ‎6. 150° 解析：∵∠1=∠2，∠1=∠5，∴∠5=∠2，∴b∥c，∴∠3+∠6=180°，∵∠3=50°，∴∠6=150°，‎ ‎∴∠4=150°。故答案为：150°。‎ ‎7. 180° 解析：∵∠DGC=105°，∠BCG=75°（已知），∴∠DGC+∠BCG=180°，‎ ‎∴DG∥BC（同旁内角互补，两直线平行），∴∠1=∠DCB（两直线平行，内错角相等），‎ ‎∵CD⊥AB，EF⊥AB（已知），CD∥EF（平面内，垂直于同一直线的两直线平行），‎ ‎∴∠DCB+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠1+∠2=180°（等量代换），‎ 故答案为：180°。 ‎ ‎8. 解：（1）∵AB∥CD，∠B=60°，∴∠C=180°－∠B=120°。‎ 10‎ ‎（2）不能。‎ ‎（3）答案不唯一，如：补充∠A=120°，‎ 证明：∵∠B=60°，∠A=120°，∴∠A+∠B=180°，∴AD∥BC。 ‎ ‎9. 解：（1）∵∠D+∠2+∠3=180°（三角形内角和为180°），∴∠D=180°－∠2－∠3=180°－40°－85°=55°；‎ ‎（2）∵AB∥DC，∴∠2+∠1+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）；‎ ‎∴∠1=180°－∠B－∠2=180°－55°－40°=85°；‎ ‎（3）能。‎ ‎∵∠3=85°，∠1=85°，∴∠3=∠1；∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）。‎ ‎10. 解：（1）AB∥DE。理由如下：‎ 延长AF、DE相交于点G，∵CD∥AF，∴∠CDE+∠G=180°。∵∠CDE=∠BAF，‎ ‎∴∠BAF+∠G=180°，∴AB∥DE；（2）延长BC、ED相交于点H。∵AB⊥BC，‎ ‎∴∠B=90°。∵AB∥DE，∴∠H+∠B=180°，∴∠H=90°。∵∠BCD=124°，‎ ‎∴∠DCH=56°，∴∠CDH=34°，∴∠G=∠CDH=34°。∵∠DEF=80°，‎ ‎∴∠EFG=80°－34°=46°，∴∠AFE=180°－∠EFG=180°－46°=134°。‎ ‎11. 解：有与AB平行的直线。理由：‎ 连接AC，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠DCA=180°，∵∠BAE=30°，∠DCE=60°，‎ ‎∴∠EAC+∠ECA=90°，∴∠AEC=90°，∵EF、EG三等分∠AEC，∴∠AEF=30°，‎ ‎∴∠AEF=∠A，∴EF∥AB。‎ ‎12. 证明：过G作GH∥EB，∵∠3=∠1+∠2=∠EGK+∠FGK，∴∠1=∠EGK，‎ ‎∴∠2=∠FGK，∴GH∥CF，∴BE∥CF，∵∠A+∠B=∠BMD，∠C+∠D=∠ANC，‎ ‎∴∠A+∠B+∠C+∠D=∠BMD+∠ANC，∵BE∥CF，‎ ‎∴∠BMD+∠ANC=180°（两直线平行，同旁内角互补），‎ ‎∴∠A+∠B+∠C+∠D=∠BMD+∠ANC=180°。 ‎ 10‎ 10‎