八年级下数学课件八年级下册数学课件《线段的垂直平分线》 北师大版 (8)_北师大版 20页

八年级下册第一章 三角形的证明 1、经历“探索—发现--猜想--证明”的 过程，进一步体会证明的必要性，增强证 明意识和能力。 2、证明线段垂直平分线的性质定理探索 并证明线段垂直平分线的判定定理，进一 步发展推理能力。 1、线段的垂直平分线的定义： 垂直且______一条线段的直线是这条 线段的垂直平分线。 2、线段的垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的____到这条线段 两个端点的距离______。 3、预习教材：第22—23页 平分 点 相等 已知:线段AB,（如图）. 求作:线段AB的垂直平分线. 做一做：用尺规作线段的垂直平分线. 1.分别以点A和B为圆心,以大于 AB 的长为半径作弧,两弧交于点C和D. A B C D 2. 作直线CD. 则直线CD就是线段AB的垂直平分线. . . 2 1 作法： （1）同学们怎么知道“线段垂直平分线上的 点到这条线段两个端点的距离相等”这条 性质呢？ 我们曾经利用折纸的方法得到这条性质 （2）同学们能否通过逻辑推理证明这条 性质呢？ 证明：∵MN⊥AB ∴∠PCA=∠PCB=90° 在△PCA和△PCB中， ∴Rt△PCA≌Rt△PCB(SAS) ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等) A C B P M N 定理：线段垂直平分线上的点到这 条线段两个端点的距离相等 已知:如图,直线MN⊥AB,垂足是C，且AC=BC,P是MN上任 意一点. 求证:PA=PB. AC=BC ∠PCA=∠PCB=90° PC=PC 几何语言描述 老师提示:这个结论是经常用来证明两条 线段相等的根据之一. A B M N C P 如图, ∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任 意一点(已知) ∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条 线段两个端点距离相等) ′ 想一想：你能写出“定理 线段垂直平分线上的点 到这条线段两端点距离相等”的逆命题吗? 逆命题 如果有一个点到线段两个端点的距离相等， 那么这个点在这条线段的垂直平分线上。 即到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段 的垂直平分线上. 它是真命题吗?如果是,请你证明它. 思 考 分 析 已知:如图,线段BC，AB=AC. 求证:点A在BC的垂直平分线上. B C A ∵ AD⊥BC ∴ △ADB和△ADC都是Rt△ ∵AB=AC,AD=AD ∴ Rt△ADB≌Rt△ADC(HL) ∴ BD=CD(全等三角形的对应边相等) ∴ 点A在BC的垂直平分线上 CB D A 方法一： 过点A作AD⊥BC,垂足为D ∵D为BC的中点 ∴BD=CD ∵AB=AC,AD=AD ∴△ADB≌△ADC(SSS) ∴∠ADB=∠ADC ∵∠ADB+∠ADC=180° ∴∠ADB=∠ADC=90° ∴AD⊥BC 即点A在BC的垂直平分线上 方法二： 把线段BC的中点记为D,连接AD B D A C 思 考 你还有其它证 明方法吗？ 逆定理 到一条线段两个端点距离相等 的点,在这条线段的垂直平分线上. 几何语言描述： 如图, ∵AB=AC(已知), ∴点A在BC的垂直平分线上(到一条线段两个端点 距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上). 提示:这个结论经常用来证明点在直线上(或直线 经过某一点)的根据之一. B D A C 例1：已知：如图 ，在 △ABC 中，AB = AC， O是 △ABC 内一点，且 OB = OC. 求证：直线 AO 垂直平分线段BC． 证明： ∵AB=AC ∴点A在BC的垂直平分线上(到一条线段两个端点 距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上) 同理,点O在BC的垂直平分线上 ∴直线 AO 垂直平分线段BC(两点确定一条直线) 1、已知：线段AB及一点P，PA =PB， 则点P在_________________上。 线段的垂直平分线 120 ° 2、已知：如图，∠BAC=120 °,AB=AC,AC 的 垂直平分线交BC于D则∠ADC= 。 3、如图，在△ABC中，∠C = 90°，DE是AB的垂直平分线。 （1）则BD = ； （2）若∠B = 40°，则∠BAC = ， ∠DAB = ，∠DAC= ， ∠CDA = ； (3）若AC= 4， BC = 5，则DA + DC =_____ ， △ACD的周长为 。 E D A B C AD 9 5 10 ° 80 ° 40° 50 ° 4、有特大城市A及两个小城市B、C，这三个城市共建 一个污水处理厂，使得该厂到B、C两城市的距离相 等，且使A市到厂的管线最短，试确定污水处理厂 的位置。 1、线段垂直平分线上的____到这条线段两个 端点的距离______。 2、到一条线段两个端点距离_______的点，在 这条线段的__________线上。 点 相等 垂直平分 相等 1、 课本P24页 习题l.7 第3、4题 。 2、完成下节课的导学案。