八年级数学下册第2章四边形2-5矩形2-5-1矩形的性质课件（湘教版） 33页

2.5 矩形 2.5.1 矩形的性质 1.掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形 的区别与联系. 2.会初步运用矩形的性质等知识，解决简单的证明 和计算，进一步培养学生的分析能力. 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形 A B C D 四边形ABCD 如果 AB∥CD AD∥BC B D □ABCD A C 平行四 边形的 性质： 边 平行四边形的对边平行 平行四边形的对边相等 角 平行四边形的对角相等 平行四边形的邻角互补 对角线 平行四边形的对角线互相平分 平行四 边形的 判定： 边 两组对边分别平行的四边形 两组对边分别相等的四边形 角 两组对角分别相等的四边形 对角线 对角线互相平分的四边形 一组对边平行且相等的四边形 平行四边形的判定定理： 有一个角 是直角 两组对边 分别平行 平行四边形 矩形 我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行 四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同 样，对于平行四边形来说也有特殊情况即特殊的平行四边 形，这堂课我们就来研究一种特殊的平行四边形— 矩形 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形 矩形的定义： 平行四边形 矩形有一个角 是直角 矩形是特殊的平行四边形 具备平行四边形所有的性质 A B C D O 角 边 对角线 对边平行且相等 对角相等，邻角互补 对角线互相平分 矩形的一般性质： 矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的 所有性质外，还有哪些特殊性质呢？ 猜想1：矩形的四个角都是直角． 猜想2：矩形的对角线相等． A B C D 求证：矩形的四个角都是直角． 已知：如图，四边形ABCD是矩形. 求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°. A B C D 证明：因为四边形ABCD是矩形， 所以∠A=90°. 又因为矩形ABCD是平行四边形， 所以 ∠A=∠C,∠B = ∠D， ∠A +∠B = 180°， 所以 ∠A=∠B=∠C=∠D=90°， 即矩形的四个角都是直角. 已知：如图,四边形ABCD是矩形. 求证：AC = BD. A B C D 证明：在矩形ABCD中， 因为∠ABC =∠DCB = 90°， 又因为AB = DC，BC = CB， 所以△ABC≌△DCB， 所以AC = BD，即矩形的对角线相等. 求证:矩形的对角线相等. 矩形的特殊性质 矩形的四个角都是直角． 矩形的两条对角线相等． 从角上看： 从对角线上看： 矩形的两条对角线互相平分 矩形的两组对边分别相等 矩形的两组对边分别平行 矩形的四个角都是直角 矩形的两条对角线相等 边 对角线 角 矩形的性质 例 : 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O， ∠AOB=60°,AB=4㎝,求矩形对角线的长？ 所以AC与BD相等且互相平分， 所以OA=OB. 因为∠AOB=60°， 所以△AOB是等边三角形， 所以OA=AB=4(㎝)， 所以矩形对角线的长AC=BD=2OA=8(㎝). 解：因为四边形ABCD是矩形， D CB A o 【例题】 1. 下面性质中，矩形不一定具有的是（ ） A．对角线相等 B．四个角都相等 C．是轴对称图形 D．对角线垂直 D 【跟踪训练】 2.过四边形的各个顶点分别作对角线的平行线，若这四 条平行线围成一个矩形，则原四边形一定是（ ） A.对角线相等的四边形 B.对角线互相平分且相等的四边形 C.对角线互相垂直且平分的四边形 D.对角线垂直的四边形 D 3. 已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条 对角线所夹锐角的度数为（ ） A．50° B．60° C．70° D．80° 4. 矩形ABCD中，AB=2BC，E在CD上，AE=AB，则∠BAE等 于（ ） A．30° B．45° C．60° D．120° D A 矩形的对称性 矩形是轴对称图形，过每一组对边的中点的直线都是矩 形的对称轴. 矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心. 四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一个矩形的四个顶点处，目 标物放在对角线的交点处,这样的队形对每个人公平吗?为什么？ O A B C D 公平,因为OA=OC=OB=OD 【跟踪训练】 直角三角形的性质： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 应用格式：因为在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上 的中线. 所以BO = AC. O CB A D CB A ┓ 已知△ABC是Rt△，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的中线 (1)若BD=3㎝ 则AC＝_____㎝ (2)若∠C=30°，AB＝5㎝，则AC＝____㎝，BD＝___㎝. 6 510 【跟踪训练】 【解析】 2.（温州·中考）如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，过点D 作DE∥AC交BC的延长线于E，则图中与△ABC全等的三角形共 有（ ） （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 【解析】选D.与△ABC全等的三角形有：△DCB、△BAD、 △CDA、△DCE共4个. 3.(哈尔滨·中考)如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与 点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠ABE=20°, 那么∠EFC′的度数为_____度 . 【解析】由折叠可知，∠DEF=∠BEF. ∠EFC=∠EFC′. 因为四边形ABCD是矩形, 所以∠A=∠D=∠C=90°. 又∠ABE=20°, 所以∠AEB=70°, 所以∠DEF=55°. 在四边形EFCD中，∠EFC=125°, 所以∠EFC′=125°. 答案：125 4.（河北·中考）如图，矩形ABCD的顶点A，B在数 轴上，CD=6，点A对应的数为-1，则点B所对应的数为 ________. 【解析】在矩形ABCD中，CD=6， 所以AB=6. 又点A对应的数为-1， 所以点B所对应的数为5. 答案：5 5.如图,矩形ABCD的两对角线交于点O, 过点O作AC的垂线EF,分别交AD，BC于 点E，F,连接CE,已知△CDE的周长为 24 cm,则矩形ABCD的周长是_____cm. 【解析】易得EF垂直平分AC, 所以EA=EC. 因为△CDE的周长为24 cm, 所以DC+DA=24 cm, 所以矩形ABCD的周长为48 cm. 答案：48 6.(黄冈·中考)如图，矩形纸片ABCD，AB＝5 cm，BC＝ 10 cm，CD上有一点E，ED＝2 cm，AD上有一点P，PD＝ 3 cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点 重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是____cm. 【解析】如图连结EQ，作QM⊥CD于M， 由题意知EQ=PQ=DM， 设PQ=x，则MQ=PD=3. ME=DM-DE=x-2， 在Rt△MQE中(x-2)2+32=x2 解得x= (cm) 答案: 【解析】 本节课主要学习了矩形的定义、性质，要求我们 1.弄清矩形的性质与平行四边形性质的区别与联系. 2.会应用矩形的性质证明一些几何问题. 人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种 学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳 定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。 ——席慕蓉