2019-2020学年上海市松江区七年级（下）期末数学试卷（解析版） 20页

2019-2020 学年上海市松江区七年级（下）期末数学试卷 一．填空题（共 14 小题） 1．16 的平方根是　 　． 2． ＝　 　． 3．比较大小： 　 　2（填“＞”或“＜”或“＝”） 4．请写出一个大于 1 且小于 2 的无理数　 　． 5．截止 2020 年 6 月 5 日，全世界感染新冠肺炎的人数约为 6650000 人，数字 6650000 用科 学记数法表示，并保留 2 个有效数字，应记为　 　． 6．一个实数在数轴上对应的点在负半轴上，且到原点距离等于 ，则这个数为　 　． 7．在平面直角坐标系中，将点 A（﹣3，﹣1）向右平移 3 个单位后得到的点的坐标是　 　 8．在平面直角坐标系中，点 P（m+3，m+1）在 y 轴上，则 m＝　 　． 9．已知：如图，直线 a∥b，直线 c 与 a，b 相交，若∠2＝115°，则∠1＝　 　度． 10．如图，AD∥BC，BD 平分∠ABC，且∠A＝110°，则∠D＝　 　°． 11．如果等腰三角形的两条边长分别等于 3 厘米和 7 厘米，那么这个等腰三角形的周长等于　 　 厘米． 12．如图，直线 a∥b，点 A，B 位于直线 a 上，点 C，D 位于直线 b 上，且 AB：CD＝1： 2，如果△ABC 的面积为 10，那么△BCD 的面积为　 　． 13．如图，在△ABC 中，两个内角∠BAC 与∠BCA 的角平分线交于点 D，若∠B＝70°，则∠ D＝　 　度． 14．如图，在△ABC 中，∠A＝100 度，如果过点 B 画一条直线 l 能把△ABC 分割成两个等 腰三角形，那么∠C　 　度． 二．选择题（共 4 小题） 15．下列等式中，正确的有（　　） A． B． C． D． 16．如图，在下列条件中，能说明 AC∥DE 的是（　　） A．∠A＝∠CFD B．∠BED＝∠EDF C．∠BED＝∠A D．∠A+∠AFD＝180° 17．利用尺规作∠AOB 的角平分线 OC 的作图痕迹如图所示，说明∠AOC＝∠BOC 用到的 三角形全等的判定方法是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 18．如图，关于△ABC，给出下列四组条件： ①△ABC 中，AB＝AC； ②△ABC 中，∠B＝56°，∠BAC＝68°； ③△ABC 中，AD⊥BC，AD 平分∠BAC； ④△ABC 中，AD⊥BC，AD 平分边 BC． 其中，能判定△ABC 是等腰三角形的条件共有（　　） A．1 组 B．2 组 C．3 组 D．4 组 三．解答题 19.计算：3÷ ﹣27 +（ ）﹣1﹣（ +2）0． 20.利用幂的性质进行计算：4 ×8 ÷2 ． 21.在△ABC 中，已知∠A：∠B：∠C＝2：3：5，求∠A、∠B、∠C 的度数． 22.如图，已知 AD∥BC，点 E 是 AD 的中点，EB＝EC．试说明 AB 与 CD 相等的理由． 23.如图，已知 DE∥BC，EF 平分∠CED，∠A＝∠CFE，那么 EF 与 AB 平行吗？为什么？ 解：因为 DE∥BC（已知） 所以∠DEF＝∠CFE（　 ） 因为　 　（已知） 所以∠DEF＝∠CFE（角平分线的意义） 所以∠　 　＝∠CEF（等量代换） 因为∠A＝∠CFE（已知） 所以∠A＝　 　（　 　） 所以 EF∥BC（　 　） 24.在平面直角坐标系中，已知点 A 的坐标为（3，2）．设点 A 关于 y 轴的对称点为 B，点 A 关于原点 O 的对称点为 C，点 A 绕点 O 顺时针旋转 90°得点 D． （1）点 B 的坐标是　 　； 点 C 的坐标是　 　； 点 D 的坐标是　 　； （2）顺次联结点 A、B、C、D，那么四边形 ABCD 的面积是 　． 25.如图，已知在△ABC 中，点 D 为 AC 边上一点，DE∥AB 交边 BC 于点 E，点 F 在 DE 的 延长线上，且∠FBE＝∠ABD，若∠DEC＝∠BDA． （1）试说明∠BDA＝∠ABC 的理由； （2）试说明 BF∥AC 的理由． 26.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点 D 在边 BC 上（不与点 B、C 重合）， BE⊥AD，重足为 E，过点 C 作 CF⊥CE，交线段 AD 于点 F． （1）试说明△CAF≌△CBE 的理由； （2）数学老师在课堂上提出一个问题，如果 EF＝2AF，试说明 CD＝BD 的理由．班级 同学随后进行了热烈讨论，小明同学提出了自己的想法，可以取 EF 的中点 H，联结 CH，就能得出结论，你能否能根据小明同学的想法，写出 CD＝BD 的理由． 27.如图，在等边△ABC 中，已知点 E 在直线 AB 上（不与点 A、B 重合），点 D 在直线 BC 上，且 ED＝EC． （1）若点 E 为线段 AB 的中点时，试说明 DB＝AE 的理由； （2）若△ABC 的边长为 2，AE＝1，求 CD 的长． 2019-2020 学年上海市松江区七年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一．填空题（共 14 小题） 1．16 的平方根是　±4　． 【分析】根据平方根的定义，求数 a 的平方根，也就是求一个数 x，使得 x2＝a，则 x 就 是 a 的平方根，由此即可解决问题． 【解答】解：∵（±4）2＝16， ∴16 的平方根是±4． 故答案为：±4． 2． ＝　﹣2　． 【分析】因为﹣2 的立方是﹣8，所以 的值为﹣2． 【解答】解： ＝﹣2． 故答案为：﹣2． 3．比较大小： 　＞　2（填“＞”或“＜”或“＝”） 【分析】根据 2＝ ＜ 即可得出答案． 【解答】解：∵2＝ ＜ ， ∴ ＞2， 故答案为：＞． 4．请写出一个大于 1 且小于 2 的无理数　 　． 【分析】由于所求无理数大于 1 且小于 2，两数平方得大于 2 小于 4，所以可选其中的任 意一个数开平方即可． 【解答】解：大于 1 且小于 2 的无理数是 ，答案不唯一． 故答案为： ． 5．截止 2020 年 6 月 5 日，全世界感染新冠肺炎的人数约为 6650000 人，数字 6650000 用科 学记数法表示，并保留 2 个有效数字，应记为　6.7×106　． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的 值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同． 【解答】解：将 6650000 用科学记数法表示为：6.7×106． 故答案为：6.7×106． 6．一个实数在数轴上对应的点在负半轴上，且到原点距离等于 ，则这个数为　﹣ 　． 【分析】直接利用数轴的特点得出到原点距离等于 的数字． 【解答】解：∵一个实数在数轴上对应的点在负半轴上，且到原点距离等于 ， ∴这个数为：﹣ ． 故答案为：﹣ ． 7．在平面直角坐标系中，将点 A（﹣3，﹣1）向右平移 3 个单位后得到的点的坐标是　 （0，﹣1）　 【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案． 【解答】解：将点 A（﹣3，﹣1）向右平移 3 个单位长度，得到对应点 B，则点 B 的坐 标是（﹣3+3，﹣1），即（0，﹣1）， 故答案为（0，﹣1）． 8．在平面直角坐标系中，点 P（m+3，m+1）在 y 轴上，则 m＝　﹣3　． 【分析】直接利用 y 轴上点的坐标特点进而得出答案． 【解答】解：∵点 P（m+3，m+1）在 y 轴上， ∴m+3＝0， 解得：m＝﹣3． 故答案为：﹣3． 9．已知：如图，直线 a∥b，直线 c 与 a，b 相交，若∠2＝115°，则∠1＝　65　度． 【分析】利用平行线的性质及邻补角互补即可求出． 【解答】解：∵a∥b， ∴∠1＝∠3， ∵∠2＝115°， ∴∠3＝180°﹣115°＝65°（邻补角定义）， ∴∠1＝∠3＝65°． 故填 65． 10．如图，AD∥BC，BD 平分∠ABC，且∠A＝110°，则∠D＝　35　°． 【分析】根据平行线的性质先求得∠ABC 的度数，再根据角平分线的性质及平行线的性 质求得∠D 的度数． 【解答】解：∵AD∥BC，∠A＝110°， ∴∠ABC＝180﹣∠A＝70°； 又∵BD 平分∠ABC， ∴∠DBC＝35°； ∵AD∥BC， ∴∠D＝∠DBC＝35°． 故答案为：35． 11．如果等腰三角形的两条边长分别等于 3 厘米和 7 厘米，那么这个等腰三角形的周长等于　 17　厘米． 【分析】分两种情况讨论：当 3 厘米是腰时或当 7 厘米是腰时．根据三角形的三边关系， 知 3，3，7 不能组成三角形，应舍去． 【解答】解：当 3 厘米是腰时，则 3+3＜7，不能组成三角形，应舍去； 当 7 厘米是腰时，则三角形的周长是 3+7×2＝17（厘米）． 故答案为：17． 12．如图，直线 a∥b，点 A，B 位于直线 a 上，点 C，D 位于直线 b 上，且 AB：CD＝1： 2，如果△ABC 的面积为 10，那么△BCD 的面积为　20　． 【分析】根据两平行线间的距离处处相等，结合三角形的面积公式，知△BCD 和△ABC 的面积比等于 CD：AB，从而进行计算． 【解答】解：∵a∥b， ∴△ABC 的面积：△BCD 的面积＝AB：CD＝1：2， ∴△BCD 的面积＝10×2＝20． 故答案为：20． 13．如图，在△ABC 中，两个内角∠BAC 与∠BCA 的角平分线交于点 D，若∠B＝70°，则∠ D＝　125　度． 【分析】根据三角形内角和以及∠B 的度数，先求出（∠BAC+∠BCA），然后根据角平分 线的性质求出（∠DAC+∠ACD），从而再次利用三角形内角和求出∠ADC． 【解答】解：∵AD、CD 是∠BAC 与∠BCA 的平分线， ∴∠ADC＝180°﹣（∠DAC+∠ACD） ＝180°﹣ （∠BAC+∠BCA） ＝180°﹣ （180°﹣∠B） ＝90°+ ∠B＝125°， 故答案为：125． 14．如图，在△ABC 中，∠A＝100 度，如果过点 B 画一条直线 l 能把△ABC 分割成两个等 腰三角形，那么∠C　＝20　度． 【分析】设过点 B 的直线与 AC 交于点 D，则△ABD 与△BCD 都是等腰三角形，根据等 腰三角形的性质，得出∠ADB＝∠ABD＝40°，∠C＝∠DBC，根据三角形外角的性质即 可求得∠C＝20°． 【解答】解：如图，设过点 B 的直线与 AC 交于点 D，则△ABD 与△BCD 都是等腰三角 形， ∵∠A＝100 度， ∴∠ADB＝∠ABD＝40°， ∵CD＝BD， ∴∠C＝∠DBC， ∵∠ADB＝∠C+∠DBC＝2∠C， ∴2∠C＝40°， ∴∠C＝20°， 故答案为＝20． 二．选择题（共 4 小题） 15．下列等式中，正确的有（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的运算法则依次计算即可求解． 【解答】解：A、 无意义，故错误； B、 ，故正确； C、﹣ ＝﹣5，故错误； D、 ，故错误； 故选：B． 16．如图，在下列条件中，能说明 AC∥DE 的是（　　） A．∠A＝∠CFD B．∠BED＝∠EDF C．∠BED＝∠A D．∠A+∠AFD＝180° 【分析】直接利用平行线的判定方法分析得出答案． 【解答】解：A、当∠A＝∠CFD 时，则 AB∥DF，不合题意； B、当∠BED＝∠EDF 时，则 AB∥DF，不合题意； C、当∠BED＝∠A 时，则 AC∥DE，符合题意； D、当∠A+∠AFD＝180°时，则 AB∥DF，不合题意； 故选：C． 17．利用尺规作∠AOB 的角平分线 OC 的作图痕迹如图所示，说明∠AOC＝∠BOC 用到的 三角形全等的判定方法是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【分析】由全等三角形的判定定理即可得出结论． 【解答】解：如图，连接 CD，CE， 由作法可知 OE＝OD，CE＝CD，OC＝OC， 故可得出△OCE≌△OCD（SSS）， 所以∠AOC＝∠BOC， 所以 OC 就是∠AOB 的平分线． 故选：A． 18．如图，关于△ABC，给出下列四组条件： ①△ABC 中，AB＝AC； ②△ABC 中，∠B＝56°，∠BAC＝68°； ③△ABC 中，AD⊥BC，AD 平分∠BAC； ④△ABC 中，AD⊥BC，AD 平分边 BC． 其中，能判定△ABC 是等腰三角形的条件共有（　　） A．1 组 B．2 组 C．3 组 D．4 组 【分析】根据等腰三角形的判定定理逐个判断即可． 【解答】解：①、∵△ABC 中，AB＝AC， ∴△ABC 是等腰三角形，故①正确； ②、∵△ABC 中，∠B＝56°，∠BAC＝68°， ∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣68°﹣56°＝56°， ∴∠B＝∠C， ∴△ABC 是等腰三角形，故②正确； ③∵△ABC 中，AD⊥BC，AD 平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC， ∵∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，∠C+∠CAD+∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠C， ∴△ABC 是等腰三角形，故③正确； ④、∵△ABC 中，AD⊥BC，AD 平分边 BC， ∴AB＝AC， ∴△ABC 是等腰三角形，故④正确； 即正确的个数是 4， 故选：D． 三．解答题 19.计算：3÷ ﹣27 +（ ）﹣1﹣（ +2）0． 【分析】直接利用零指数幂的性质和二次根式的性质、负指数幂的性质分别化简得出答 案． 【解答】解：原式＝ ﹣3 + ﹣1 ＝1﹣ ． 20.利用幂的性质进行计算：4 ×8 ÷2 ． 【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则计算得出答案． 【解答】解：4 ×8 ÷2 ＝2 ×2 ÷2 ＝2 ＝22 ＝4． 21.在△ABC 中，已知∠A：∠B：∠C＝2：3：5，求∠A、∠B、∠C 的度数． 【分析】设∠A＝2x，则∠B＝3x，∠C＝5x，再根据三角形的内角和是 180°列出关于 x 的方程，求出 x 的值，即可得出各角的度数． 【解答】解：∵在△ABC 中∠A：∠B：∠C＝2：3：5， ∴设∠A＝2x，则∠B＝3x，∠C＝5x， ∵∠A+∠B+∠C＝180°，即 2x+3x+5x＝180°，解得 x＝18°， ∴∠A＝2×18°＝36°，∠B＝3×18°＝54°，∠C＝5×18°＝90°． 答：∠A、∠B、∠C 的度数分别为：36°，54°，90°． 22.如图，已知 AD∥BC，点 E 是 AD 的中点，EB＝EC．试说明 AB 与 CD 相等的理由． 【分析】由于 AD∥BC，利用平行线的性质可得∠AEB＝∠1，∠DEC＝∠2，而 EB＝ EC，根据等边对等角可得∠EBC＝∠ECB，等量代换可证∠AEB＝∠DEC，再结合 AE＝ DE，EB＝EC，利用 AAS 可证△AEB≌△EDC，从而有 AB＝CD． 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠1，∠DEC＝∠2， ∵EB＝EC， ∴∠EBC＝∠ECB， ∴∠AEB＝∠DEC， 在△AEB 与△EDC 中， ， ∴△AEB≌△EDC， ∴AB＝CD． 23.如图，已知 DE∥BC，EF 平分∠CED，∠A＝∠CFE，那么 EF 与 AB 平行吗？为什么？ 解：因为 DE∥BC（已知） 所以∠DEF＝∠CFE（　两直线平行，内错角相等　） 因为　EF 平分∠CED　（已知） 所以∠DEF＝∠CFE（角平分线的意义） 所以∠　CFE　＝∠CEF（等量代换） 因为∠A＝∠CFE（已知） 所以∠A＝　∠CEF　（　等量代换　） 所以 EF∥BC（　同位角相等，两直线平行　） 【分析】先根据两直线平行，内错角相等，得到∠DEF＝∠CFE，再根据角平分线得出∠ DEF＝∠CEF，进而得到∠CFE＝∠CEF，再根据∠A＝∠CFE，即可得出∠A＝∠CEF， 进而根据同位角相等，两直线平行，判定 EF∥BC． 【解答】解：因为 DE∥BC（已知） 所以∠DEF＝∠CFE（两直线平行，内错角相等） 因为 EF 平分∠CED（已知） 所以∠DEF＝∠CEF（角平分线的意义） 所以∠CFE＝∠CEF（等量代换） 因为∠A＝∠CFE（已知） 所以∠A＝∠CEF（等量代换） 所以 EF∥BC（同位角相等，两直线平行） 故答案为：两直线平行，内错角相等，EF 平分∠CED，CFE，∠CEF，等量代换，同位 角相等，两直线平行． 24.在平面直角坐标系中，已知点 A 的坐标为（3，2）．设点 A 关于 y 轴的对称点为 B，点 A 关于原点 O 的对称点为 C，点 A 绕点 O 顺时针旋转 90°得点 D． （1）点 B 的坐标是　（﹣3，2）　； 点 C 的坐标是　（﹣3，﹣2）　； 点 D 的坐标是　（2，﹣3）　； （2）顺次联结点 A、B、C、D，那么四边形 ABCD 的面积是　25　． 【分析】（1）根据在平面直角坐标系中，点关于 x 轴对称时，横坐标不变，纵坐标为相 反数，关于 y 轴对称时，横坐标为相反数，纵坐标不变，关于原点对称时，横纵坐标都 为相反数，以及利用旋转的性质即可解答本题． （2）利用矩形面积减去两个三角形求出即可． 【解答】解：（1）∵点 A 的坐标为（3，2），点 A 关于 y 轴对称点为 B， ∴B 点坐标为：（﹣3，2）， ∵点 A 关于原点的对称点为 C， ∴C 点坐标为：（﹣3，﹣2）， ∵点 A 绕点 O 顺时针旋转 90°得点 D， ∴D 点坐标为：（2，﹣3）， 故答案为：（﹣3，2），（﹣3，﹣2），（2，﹣3）； （2）顺次连接点 A、B、C、D，那么四边形 ABCD 的面积是：5×6﹣ ×1×5﹣ ×1× 5＝25． 故答案为：25． 25.如图，已知在△ABC 中，点 D 为 AC 边上一点，DE∥AB 交边 BC 于点 E，点 F 在 DE 的 延长线上，且∠FBE＝∠ABD，若∠DEC＝∠BDA． （1）试说明∠BDA＝∠ABC 的理由； （2）试说明 BF∥AC 的理由． 【分析】（1）根据平行线的性质得出∠DEC＝∠ABC，根据∠DEC＝∠BDA 求出∠BDA ＝∠ABC 即可； （2）求出∠BAC＝∠FBD，根据∠BDA＝∠BAC 得出∠BDA＝∠FBD，根据平行线的判 定得出即可． 【解答】解：（1）理由是：∵DE∥AB， ∴∠DEC＝∠ABC， ∵∠DEC＝∠BDA， ∴∠BDA＝∠ABC； （2）∵∠ABD＝∠FBE， ∴∠ABD+∠DBE＝∠FBE+∠DBE， 即∠BAC＝∠FBD， ∵∠BDA＝∠BAC， ∴∠BDA＝∠FBD， ∴BF∥AC． 26.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点 D 在边 BC 上（不与点 B、C 重合）， BE⊥AD，重足为 E，过点 C 作 CF⊥CE，交线段 AD 于点 F． （1）试说明△CAF≌△CBE 的理由； （2）数学老师在课堂上提出一个问题，如果 EF＝2AF，试说明 CD＝BD 的理由．班级 同学随后进行了热烈讨论，小明同学提出了自己的想法，可以取 EF 的中点 H，联结 CH，就能得出结论，你能否能根据小明同学的想法，写出 CD＝BD 的理由． 【分析】（1）由三角形内角和定理和余角的性质可得∠CAF＝∠CBE，∠ACF＝∠BCE， 由“ASA”可证△CAF≌△CBE； （2）取 EF 的中点 H，联结 CH，由全等三角形的性质可得 CF＝CE，AF＝BE，可证△CEF 是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得 CH＝FH＝EH＝ EF，CH⊥EF，由 “AAS”可证△CHD≌△BED，可得 CD＝BD． 【解答】解：（1）∵BE⊥AD， ∴∠ACB＝∠BED＝90°， 又∵∠ADC＝∠BDE， ∴∠CAF＝∠CBE， ∵CE⊥CF， ∴∠ECF＝∠ACB＝90°， ∴∠ACF＝∠BCE， 又∵AC＝BC， ∴△CAF≌△CBE（ASA）； （2）如图，取 EF 的中点 H，联结 CH， ∵△CAF≌△CBE， ∴CF＝CE，AF＝BE， ∴△CEF 是等腰直角三角形， ∵点 H 是 EF 中点， ∴CH＝FH＝EH＝ EF，CH⊥EF， ∵EF＝2AF， ∴CH＝AF＝FH＝EH， ∴CH＝BE， 又∵∠CDH＝∠BDE，∠CHD＝∠BED＝90°， ∴△CHD≌△BED（AAS）， ∴CD＝BD． 27.如图，在等边△ABC 中，已知点 E 在直线 AB 上（不与点 A、B 重合），点 D 在直线 BC 上，且 ED＝EC． （1）若点 E 为线段 AB 的中点时，试说明 DB＝AE 的理由； （2）若△ABC 的边长为 2，AE＝1，求 CD 的长． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠BCE＝30°，BE＝AE，等腰三角形的判定和 性质； （2）如图 1，如图 2，过 A 作 AM⊥BC 于 M，过 E 作 EN⊥BC 于 N，根据等边三角形的 性质和平行线分线段成比例定理即可得到结论． 【解答】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，E 为 AB 的中点， ∴∠BCE＝30°，BE＝AE， ∵ED＝EC， ∴∠EDB＝∠BCE＝30°， ∵∠ABD＝120°， ∴∠DEB＝30°， ∴DB＝EB， ∴AE＝DB； （2）如图 1， ∵AB＝2，AE＝1， ∴点 E 是 AB 的中点， 由（1）知，BD＝AE＝1， ∴CD＝BC+BD＝3； 如图 2，过 A 作 AM⊥BC 于 M，过 E 作 EN⊥BC 于 N， ∵AB＝AC，DE＝CE， ∴BM＝ BC＝3，CD＝2CN， ∵AM⊥BC，EN⊥BC， ∴AM∥EN， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴BN＝ ， ∴CN＝BC﹣BN＝ ， ∴CD＝1， 综上所述，CD 的长为 1 或 3．