八年级下数学课件八年级下册数学课件《平行四边形》 人教新课标 (1)_人教新课标 64页

　　 下面图片中，哪些是平行四边形？你是 怎样判断的？ 回顾旧知 新课导入 平行四边形的主要特征 1．边： a．平行四边形两组对边分别平行． b．平行四边形两组对边分别相等． 2．角：平行四边形两组对角分别相等． 3．对角线： 平行四边形对角线互相平分 . 怎样证明对边相等或对角 线相等或对角线互相平分的四 边形是不是平行四边形？ 18.1.2 平行四边形的判定 【知识与能力】 ü 系统掌握平行四边形的判定定理； ü 灵活运用判定定理进行有关判断和说理叙述． 【过程与方法】 ü 通过平行四边形判定定理的归纳与说理，培养的归 纳推理能力，领会数学的严密性； ü 通过尝试练习和变式尝试，培养分析问题和解决问 题的能力． 【情感态度与价值观】 ü 通过平行四边形判定方法的灵活运用，培养主动探 索的精神及创新意识； ü 通过一题多变与一题多解，引发求异创新的欲望． 教学目标 重点： 　　平行四边形的判定方法及应用． 难点： 　　平行四边形的判定定理与性质定理的灵 活应用． 教学重难点 张师傅手中有一些木条，他想通过适当的测量、 割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出 一些办法来吗？并说明理由． ● ● ●● A C B D AB＝CD AD＝BC 探究 证明：连接AC． 　　　∵ AB=CD，AD=BC，AC＝AC 　　　∴△ACD≌ △CAD（SSS） ∴∠CAB＝∠DCA ∴AB∥CD 同理，∠CAD＝∠ACB ∴ AD∥BC ∴四边形ABCD为平行四边形． 上述问题可归结为： 已知：在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC． 求证：四边形ABCD为平行四边形． A C B D 将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固 定，再用一根橡皮筋绕端点A，B，C，D围成一个 四边形ABCD ．想一想，△AOB≌ △COD吗？四 边形ABCD的对边之间有什么关系？你得到什么结 论？ A C B O D 探究 △AOB≌ △COD → ∠BAC＝∠ACD→AB∥CD ∠CAD＝∠ACB→AD∥BC 同理，△BOC≌ △AOD → 四边形ABCD是平行四边形． 结论：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形. A C B O D 平行四边形判定方法1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 平行四边形判定方法2 对角线互相平分的四边形是平行四边形． 知识要点 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， 　　　∴AD＝BC，AB＝DC，∠D＝∠B． ∵ E，F分别是边AB，CD的中点， ∴BE＝DF ∴△ADF≌ △CBE ∴AF＝CE 又∵AE＝CF ∴四边形AECF是平行四边形． A FE D CB 　　【例1】已知: ABCD中，E，F分别是边AB， CD的中点，求证:四边形AECF是平行四边形． D F E CB A O 如下图， ABCD的对角线AC，BD相交于 O，EF过点O与AD，BC分别相交于点E，F．连 接EB，EC．求证:四边形AECF是平行四边形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形． 　　　∴OA＝OC，AD∥BC,　 ∴∠AEF＝∠CFE 又∵∠AOE＝∠COF ∴△AOE≌ △COF ∴OE＝OF ∴四边形AECF是平行四边形.　　 证明：作对角线BD，交AC于点O． ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ BO=DO 　　又∵ EO=FO 　　∴ 四边形BFDE是平行四边形 　 已知：E、F是平行四边形ABCD对角 线AC上的两点，并且OE=OF． 求证：四边形BFDE是平行四边形 D O A B C E F O DA B C E F ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ AO=CO，BO=DO ∵AE=CF ∴AO－AE=CO－CF ∴EO=FO 又 BO=DO ∴ 四边形BFDE是平行四边形 证明：连接对角线BD，交AC于点O 　　【例2】已知：E、F是平行四边形ABCD对角 线AC上的两点，并且AE=CF． 求证：四边形BFDE是平行四边形． 还有其他证明方法 吗？ AE=CF ∠EAD=∠FCB AD=BC DA B C E F 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD ∥ BC且AD =BC ∴∠EAD=∠FCB 在△AED和△CFB中 ∴△AED ≌ △CFB(SAS) ∴DE=BF 同理可证：BE=DF 四边形BFDE是平行四边形． 　　已知：E、F是平行四边形ABCD对角线 AC上的两点，当点E，F满足什么条件时，四 边形BFDE是平行四边形？ DA B C E FO 已知：如图，A′B′∥BA，B′C′∥CB， 　　　C′A′∥AC． 求证： （1） ∠ABC=∠B′， ∠CAB=∠A′，　 　　　∠BCA＝∠C′； （2） △ABC的顶点分别是△B′C′A′各边的 　　　中点． A CB A′ C′ B′ 证明：（1） ∵ A′B′∥BA，C′B′∥BC， 　　　∴ 四边形ABCB′是平行四边形． 　　　∴　∠ABC＝∠B′（平行四边形的对角相等）． 　　　同理∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′． （2） 由（1）证得四边形ABCB′是平行四边形．同理，四边 形ABA′C是平行四边形． 　　∴ AB＝B′C， AB＝A′C（平行四边形的对边相等）． 　　∴ B′C＝A′C． 　　同理　 B′A＝C′A， A′B＝C′B． 　　∴　△ABC的顶点A、B、C分别是△B′C′A′的边B′C′、 C′A′、A′B′的中点． 小明用手中六个全等的正三角形做拼图游戏时， 拼成一个六边形．你能在图中找出所有的平行四边 形吗？并说说你的理由． 做一做 A B C D O F E 解：有6个平行四边形，分别是： 　 ABOF， ABCO， BCDO， 　 CDEO， DEFO， EFAO． 理由是：因为正△ABO≌ 正△AOF，所以 AB=BO，OF=FA．根据 “两组对边分别相等的四边 形是平行四边形”，可知四边形ABCD是平行四边 形．其它五个同理． 探究 取两根等长的木条AB、CD，将它们平行放 置，再用两根木条BC、AD加固，得到的四边形 ABCD是平行四边形吗？ 　　在一方格纸上，画一个有一组对边平行且 相等的四边形． 步骤1：画一线段AD． 步骤2：平移线段AD到BC． 　　根据平移的特征，AD、 BC有怎样的关系？ 　　连结AB、DC，得到四 边形ABCD，它是一组对边 平行且相等的四边形 CB DA 探究 证明：连接AC 　　　∵AD∥BC 　　　∴∠DAC=∠ACB 　　　又∵AD=BC，AC=AC， 　　　∴ΔABC≌ ΔCDA 　　　∴∠BAC=∠ACD 　　　∴AB∥CD 　　　∴四边形ABCD是平行四边形 　　　(两组对边分别平行的四边形是平行四边形) A B C D 已知：在四边形ABCD中， AD 　BC． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 平行且相等 你还有其他 证法吗？ 探究 　　在 　ABCD中，E、G是AD的三等分点， F、H是BC的三等分点，则图中的平行四边 形有______个 . A B C DE F G H 6 已知：如图， ABCD中，E、F分别是AD、 BC的中点，求证：BE=DF． A B C DE F 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD∥CB，AD=CD． ∵ E、F分别是AD、BC的中点， ∴ DE∥BF，且DE=AD，BF=BC． ∴ DE=BF． ∴ 四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行 且相等的四边形平行四边形）． ∴ BE=DF． A B C DE F 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 平行四边形的判定定理3: 符号语言： ∵AB 　CD ∴四边形ABCD是平行四边形． A B C D 知识要点 　　【例3】已知：如图， 　ABCD中，E、F分别 是AC上两点，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F． 　　求证：四边形BEDF是平行四边形． ┓ ┓ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ E F 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB=CD，且AB∥CD． ∴ ∠BAE=∠DCF． ∵ BE⊥AC于E，DF⊥AC于F， ∴ BE∥DF，且∠BEA=∠DFC=90°． ∴ △ABE≌ △CDF （AAS）． ∴ BE=DF． ∴ 四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且 相等的四边形平行四边形）． 探究 已知：四边形ABCD， ∠A=∠C，∠B=∠D 求证：四边形ABCD是平行四边形． A B C D 证明： ∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别 平行的四边形是平行四边形) 同理可证AB∥CD 又∵∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D =360 ° ∴ 2∠A+ 2∠B=360 ° ∵∠A=∠C，∠B=∠D（已知） 即∠A+ ∠B=180 ° ∴ AD∥BC （同旁内角互补，两直线平行） 两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 平行四边形的判定定理4: 符号语言： ∵∠A=∠C，∠B=∠D， ∴四边形ABCD是平行四边形． 知识要点 A B C D 　　已知：如图，AC∥ED，点B在AC上，且 AB=ED=BC， 找出图中的平行四边形，并说明 理由． 四边形ABDE和四边形BCDE是 平行四边形. 理由:一组对边平行且相等的四 边形平行四边形． A B C E D 已知：如图，在 ABCD中，AE、CF分别是 ∠DAB、∠BCD的平分线． 求证：四边形AFCE是平行四边形． 提示：利用“一组对边平行且相等的四边形平 行四边形”． A B C F D E 　　【例4】：如图，点D、E、分别为△ABC边 AB、AC的中点，求证：DE∥BC且DE= BC． 1 2 A B C D E 方法1：如图（1），延长DE到F，使EF=DE，连 接CF，由△ADE≌ △CFE，可得AD∥FC，且 AD=FC，因此有BD∥FC，BD=FC，所以四边形 BCFD是平行四边形．所以DF∥BC，DF=BC， 因为DE= DF，所以DE∥BC且DE= BC．1 2 A B C D E F 1 2 方法2：如图（2），延长DE到F，使EF=DE，连接 CF、CD和AF，又AE=EC，所以四边形ADCF是平行 四边形．所以AD∥FC，且AD=FC．因为AD=BD，所 以BD∥FC，且BD=FC．所以四边形ADCF是平行四 边形．所以DF∥BC，且DF=BC，因为DE= DF，所 以DE∥BC且DE= BC．1 2 1 2 A B C D E F 三角形的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形 的中位线． 知识要点 答: (1)一个三角形的中位线共有三条； (2)三角形的中位线与中线的区别主要是线段 的端点不同．中位线是中点与中点的连线；中线 是顶点与对边中点的连线． （1）一个三角形的中位线共有几条？ （2）三角形的中位线与中线有什么区别？ 三角形的中位线与第三边有怎样的关系？ 答：三角形的中位线与第三边的关系：三角 形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半． 三角形中位线的性质 　 三角形的中位线平行与第三边，且等于 第三边的一半． 知识要点 利用这一定理，你能证明出在前面思考题 中分割出来的四个小三角形全等吗？并说明理 由. 探究 A B F C ED A B C 做一做 现有一块等腰直角三角形铁板，要求切割一 次焊接成一个含有45°角的平行四边形 (不能有 余料)， 请你设计一种方案，并说明该方案 正确的理由． C A B F E D D C A B E A B C F D E 如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一 点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点 M、N，如果测得MN=20 m，那么A、B两点的距 离是____m，理由是_______________________．40 中位线等于第三边的一半． 如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、 BC的中点， （1）若EF=5cm，则AB=____cm；若 BC=9cm，则DE=_______cm； （2）中线AF与DE中位线有什么特殊的关 系？证明你的猜想． 10 4.5 A B D E CF 三角形的周长为18cm，它的三条中位线围成 的三角形的周长是多少?为什么? A B C D E F 9cm; 三角形的中位线平行与第三 边，且等于第三边的一半． 已知：在 ABCD中，E，F分别是AD，BC的中 　　　点，M，N在CB，AD的延长线上，且 BM=DN． 求证：EM=FN． E M D N F C A B 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， 　　　∴AN∥BC且AN∥BC． 　　　∵ E，F分别是AD，BC的中点 　　　∴DE＝BF, ∵ BM=DN ∴EN＝MF∴四边开有EMFD为平行四边形 　　　∴ EM=FN E M D N F C A B (1)已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、 G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点． 求证：四边形EFGH是平行四边形． A E B F H D C G 证明：连结AC，△DAG中， ∵ AH=HD，CG=GD， ∴ HG∥AC，HG=AC （三角形中位线性质）． 同理EF∥AC，EF=AC． ∴ HG∥EF，且HG=EF． ∴ 四边形EFGH是平行四边形． 结论：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边 形是平行四边形． A E B F H D C G 平 行 四 边 形 的 判 定 方 法 从边来 判定 ü两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ü两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ü一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 从角来 判定 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 从对角线 来判定 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 课堂小结 1．下列四边形哪些是平行四边形?为什么？ A D CB 110° 70° 110° A B C D 120° 60° 5㎝ 5㎝ A B C D O 5㎝ 5㎝4㎝ 4㎝ B A D C 4.8㎝ 4.8㎝ 7.6㎝ 随堂练习 2．根据下列条件，不能判定一个四边形为平行 　 四边形的是( 　　 ) A．两组对边分别相等 B．两条对角线互相平分 C．两条对角线相等 D．两组对边分别平行 C 3．如图四边形ABCD中，AB//CD，只需添加 　 一个条件，能使四边形ABCD是平行四边 形，现有条件:①AB=CD，②BC=AD， ③AD//BC，④∠ABC=∠ADC， 这些条件中，满足要求的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 A C B D C 4．在下列条件中，不能判定四边形是平行四边形 　 的是( ) A．AB∥CD，AD∥BC B． AB=CD，AD=BC C．AB∥CD，AB=CD D． AB∥CD，AD=BC D C B D O A 5．如图，在 ABCD中，对角线AC， BD相交于点O，AC=10，BD=8，则AD 长度的取值范围是 ( ) 　A．AD>1 　　 B．AD<9 　C．AD>10 　 D．1