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- 2021-11-01 发布
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第七章 平行线的证明
7.1为什么要证明
一、 问题引入
1、实验、观察、归纳得到的结论 正确.(用“可能”或“一定”填空)
2、要判断一个数学结论是否正确,仅仅依靠经验、观察、归纳是不够的,必须有根
有据的_________.
二、基础训练
1、下图中三条直线a,b,c,哪一条和线段d在同一条直线上?请你先观察,再用直尺验证一下.
a
b
c
d
2、下列说法,正确的是 ( )
A.清远市今天天晴,明天必然还是晴天. B.三个连续整数的积一定能被6整除.
C.小丽连续三天上学迟到,明天她一定还会迟到. D.相等的角是对顶角.
3、质数:除了 外,没有其他约数的数叫做质数.
三、例题展示
例1、(1)代数式的值是质数吗?取n =0,1,2,3,4,5试一试.
(2)你能否由此得到结论:对于所有自然数n,的值都是质数?(先猜测,后验证)
答:(1)猜测结果为 。
验证如下: 当n=0时,. 当n=1时, ;
当n=2时, ; 当n=3时, ;
当n=4时, ; 当n=5时, .
(2)猜测结果为 .
验证如下:(特例):当n=11时, .
判断:猜测的结果与验证的结果 .
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例2、把地球看成球形,假如用一根比地球赤道长1 米的铁丝将地球赤道围起来,那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大?(提示:可设地球周长为C)
四、 课堂检测
1、下列说法正确的是( )
A.经验、观察、归纳完全可以判断一个数学结论的正确与否
B.证明是科学家的事,与我们没有多大的关系
C.对于自然数n,一定是质数
D.数学家也会有失误的时候
2、当n为正整数时,的值一定是质数吗?
3、如图A、B、C、D、E、F六个人坐在圆桌的周围,已知E与C间间隔1人且此人在C的左边,D坐在A的对面,B与F相隔1人,且此人在F的左边,F与A不相邻。试问A、B、C、D、E、F各坐在什么位置?
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第七章 平行线的证明
7.2定义与命题(一)
一、 问题引入
1、定义是指对 的含义加以描述,作出明确的规定.
2、判断一件事情的句子,叫做命题.命题都由________和_______两部分组成,已知的事项是________,由已知事项推断出的事项是________.
3、命题可分为_______命题和_____命题,其中正确的命题称为______命题,错误的命题称为_______命题.
4、说明一个命题是假命题时,常举出一个与之条件相同,结论却不同的例子,这个例子称之为_________.
二、基础训练
1、下列命题中,属于定义的是( )
A.两点确定一条直线 B.同角或等角的余角相等
C.两直线平行,内错角相等 D.点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度
2、下列语句中是命题的是( )
A.这个问题对吗? B.对顶角相等 C.美丽的天空 D.画一条线段
3、写出下列命题的条件和结论:
(1) 如果两个三角形全等,那么它们对应边上的高也相等;
(2) 两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补.
4、下列说法中,正确的是( )
A.相等的角是对顶角; B.假命题不是命题;
C.要证明一个命题是假命题,只要举一个反例,即举一个具备命题的条件,而不具备命题结论的命题即可;
D.要证明一个命题是真命题,只要举一个例子,说明它正确即可.
三、例题展示
例1、下面的语句中,哪些是命题?
(1) 任何一个三角形一定有一个角是直角;
(2) 对顶角相等;
(3) 动物都需要水;
(4) 如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行;
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(1) 你喜欢数学吗?
(2) 作线段AB=CD.
例2、把下列命题改写成“如果……,那么……”的形式.
(1)直角三角形的两锐角相等;
(2)同角或等角的余角相等;
例3、指出下列各命题的条件和结论,其中哪些命题是真命题?哪些命题是假命题你是如何判断的?
(1)如果两个角相等,那么它们是对顶角;
(2)如果,那么;
(3)全等三角形的面积相等;
(4)如果室外气温低于0,那么地面上的水一定会结冰.
四、课堂检测
1、下列语句中不是命题的是( )
A.延长线段AB; B.自然数也是整数
C.两个锐角的和一定是直角; D.同角的余角相等
2、把下列命题改写成“如果……,那么……”的形式.
(1)绝对值相等的两个数一定相等;
(2)在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行.
3、下列命题中,是假命题的是( )
A.互补的两个角不能都是锐角 B.如果两个角相等,那么这两个角是对顶角
C.乘积为1的两个数互为倒数 D.全等三角形的对应角相等,对应边相等.
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第七章 平行线的证明
7.2定义与命题(二)
一、 问题引入
1、 称为公理;
2、演绎推理的过程称为 ;
3、经过 的 称为定理;
4、符号“∵”读作 ;符号“ ”读作“所以”.
二、基础训练
1、已知∠2是∠1的余角, ∠3是∠1的补角,若∠1=60,则∠2 = ,∠3 = .
2、下列命题中,属于公理的有( )
A.同角的补角相等. B.邻补角的平分线互相垂直.
C.两点之间,线段最短. D.直角三角形的两个锐角互余.
3、某工程队,在修建广清高速公路时,有时需将弯曲的道路改直,根据什么公理可以说明这样做能缩短路程( )
A.两点确定一条直线;
B.同一平面内, 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
C.两点之间线段最短;
D.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
4、命题“同角的余角相等”是( )
A.角的定义 B.假命题 C.公理 D.定理
三、例题展示
例1、 已知:如图,直线AB与直线CD相交于点O,∠AOC与∠BOD是对顶角.
求证:∠AOC=∠BOD.
A
C
B
D
O
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例2、请你完成定理“同角(等角)的余角相等”的证明.
四、 课堂检测
1、下列说法中,错误的是 ( )
A.所有的定义都是命题 B.所有的定理都是命题
C.所有的公理都是命题 D.所有的命题都是定理
2、在证明过程中,可以作为逻辑推理依据的是 ( )
A.公理、定理 B.定义、公理、定理
C.公理、定理、题设(已知条件) D.定义、公理、定理、题设(已知条件)
3、请你完成定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的证明.
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第七章 平行线的证明
7.3平行线的判定
一、 问题引入
1、公理: 相等,两直线平行;
2、定理: 相等,两直线平行;
互补,两直线平行;
二、基础训练
1、 如图1所示,①是 角;它们是由直线 和直线 被直
线 所截得的;②是 角;它们是由直线 和直线 被直线 所截得的;③是 角;它们是由直线 和直线 被直线 所截得的;④图中同位角共有 对;内错角共有 对;同旁内角共有 对.
1
3
2
A
D
C
F
E
图2
B
图`1
2、如图:∵∠1=∠2 ∴_______∥_______( )
∵∠2=∠3 ∴____∥_______( )
3、两条直线被第三条直线所截,下列条件不能判定两直线平行的是( )
A.同位角相等 B.内错角相等 C.同旁内角相等 D.同旁内角互补
三、例题展示
例1、已知: 如图, ∠1和∠2是直线a ,b被直线 c 截出的内错角,且∠1=∠2.
求证: a∥b.
c
a
b
1
2
3
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例2、已知: 如图, ∠1和∠2是直线a ,b被直线 c 截出的同旁内角,且∠1与∠2互补.
C
a
b
1
3
2
求证: a∥b.
四、课堂检测
1、已知,如图3,下列条件中不能判定直线∥的是( )
A.∠1=∠3 B.∠2=∠3 C.∠4=∠5 D.∠2+∠4=180°
图3
图4
2、如图4,可以得到DE∥BC的条件是( )
A.∠ACB=∠BAC B.∠ABC+∠BAE=180°
C.∠ACB+∠BAD=180° D.∠ACB=∠BAD
3、如图,已知,直线BC与DF平行吗?为什么?
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第七章 平行线的证明
7.4平行线的性质
一、 问题引入
1、两直线平行, 相等;
两直线平行, 相等;
两直线平行, 互补;
2、平行于同一条直线的两条直线 .
二、基础训练
1、如图1,AB∥CD,则下列结论成立的是( )
A.∠A + ∠C=180° B.∠A + ∠B=180°
C.∠B + ∠C=180° D.∠B + ∠D=180°
图1
A
B
C
D
图2
2、如图2,直线a∥b,∠1=60°,则∠2=( )
A.60° B.120° C.150° D.100°
3、已知:如右图,∠ADE=60°,∠B=60°,∠C=80°.求∠ AED的度数?
解:∵ ∠ADE=∠B=60° (已知)
∴ DE//BC( )
∴ ∠AED=∠C=80° ( )
三、 例题展示
例1、证明:两直线平行,内错角相等.
已知:如图,直线a∥b,∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的内错角.
求证:∠1=∠2.
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例2、已知,如图,直线a∥b,∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角.
求证:∠1+∠2=180°.
四、课堂检测
1、下列命题的结论不成立的是( )
A.两直线平行,同位角相等; B.两直线平行,内错角相等毛毛
C.两直线平行,同旁内角互补; D.两直线平行,同旁内角相等
2、如图1,DE∥BC,∠A=60°,∠B=75°,则∠AED=( )
A.45° B.30° C.75° D.80°
图1 图2
3、如图2,在△ABC中,DE∥BC,∠EDC=40°,∠ECD=45°,则∠ACB=________.
4、 已知,如图,AB∥CD,∠B=∠D,求证:AD∥BC.
5(选做题)如图,已知AB∥CD,分别探究下面四个图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系,并从所得的四个关系中任选一个加以说明,证明所探究的结论的正确性.
结论(1)____________________________;(2)____________________________;
(3)____________________________;(4)____________________________;
选择结论________,说明理由是什么.
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第七章 平行线的证明
7.5三角形内角和定理(一)
A
C
B
一、 问题引入
1、三角形内角和定理:三角形的内角和等于 .
符号表示:△ABC中,∠A+∠B+∠C= .
二、基础训练
1、关于三角形内角的叙述错误的是( )
A.三角形三个内角的和是180°; B.三角形两个内角的和一定大于60°
C.三角形中至少有一个角不小于60°; D.一个三角形中最大的角所对的边最长
2、△ABC中,若∠A=30°,∠B=∠C,则∠B=________,∠C=________.
3、在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,则△ABC是 三角形.
4、如图,点D在△ABC边BC的延长线上,DE⊥AB于E,交AC于F,
∠B=50°,∠CFD=60°,则∠ACB=________.
三、例题展示
A
C
B
例1、已知△ABC,求证:∠A+∠B+∠C=180°
例2、已知,如图,在△ABC中,∠B=38°,∠C=62°,AD是△ABC的角平分线,求∠ADB的度数.
16
四、课堂检测
1、下列叙述正确的是( )
A.钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和;
B.三角形两个内角的和一定大于第三个内角;
C.三角形中至少有两个锐角;
D.三角形中至少有一个锐角.
2、△ABC中,∠A+∠B=120°,∠C=∠A,则△ABC是( )
A.钝角三角形 B.等腰直角三角形; C.直角三角形 D.等边三角形
3、在△ABC中,∠A - ∠B=35°,∠C=55°,则∠B等于( )
A.50° B.55° C.45° D.40°
4、已知:如图,AB∥CD,AD∥BC,∠1=50°,∠2=80°.求∠C的度数.
5(选做题)如图,已知△ABC中,∠B=65°,∠C=45°,AD是BC边上的高,AE是∠BAC的平分线,求∠DAE的度数.
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第七章 平行线的证明
7.5三角形内角和定理(二)
一、问题引入
1、△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角,称为△ABC的 .
2、三角形的一个外角等于 的两个内角的和.
3、三角形的一个外角大于 的内角.
4、由一个基本事实或定理直接推出的定理,叫做这个基本事实或定理的 .
5、推论 当作定理使用. (用“可以”或“不可以”填空)
二、基础训练
1、以下命题中正确的是( )
A.三角形的三个内角与三个外角的和为540° B.三角形的外角大于它的内角; C.三角形的外角都比锐角大 D. 三角形中的内角中没有小于60°的
2、如图1,△ABC中,∠A=70°,∠B=60°,点D在BC的延长线上,则∠ACD等于( ).
A.100° B.120° C.130° D.150°
图1
图2
3、如图2,△ABC中,点D在BC的延长线上,点F是AB边上一点,延长CA到E,连EF,则∠1,∠2,∠3的大小关系是_________.
三、例题展示
例1、已知: 如图,在△ABC中,∠B=∠C,AD平分外角∠EAC.求证: AD∥BC.
D
A
E
B
C
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例2、已知: 如图,P是△ABC内一点,连接PB,PC.求证:∠BPC>∠A.
B
A
C
P
四、 课堂检测
1、以下命题中正确的是( )
A.三角形的两个内角的和等于第三个角的外角 B.三角形的外角大于内角;
C.三角形的外角等于两个内角的和 D. 三角形每一个内角都只有一个外角
2、在△ABC中,∠A、∠B的外角分别是120°、150°,则∠C=( )
A.120° B.150° C.90° D.60°
3、如右图,∠A、∠BEC和∠DOE的大小关系是( )
A.∠A>∠DOE>∠BEC B.∠DOE>∠A>∠BEC
C.∠BEC>∠DOE>∠A D.∠DOE>∠BEC>∠A
4、如图所示,AE∥BD,∠1=95°,∠2=28°,求∠C的度数.
5、(选做题)如图,BD、CD分别平分∠ABC和∠ACE,∠A=40°,求∠D的度数.
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第七章《平行线的证明》单元检测
一、选择题(每题5分,共20分)
1、下列句子中,是命题的是( )
A.今天的天气好吗 B.作线段AB∥CD C.连接A、B两点 D.正数大于负数
2、“两条直线相交,有且只有一个交点”的条件是( ).
A.两条直线 B.交点
C.两条直线相交 D.只有一个交点
3、如图1,AB∥CD,∠A + ∠E=75°,则∠C为( )
A.60° B.65° C.75° D.80°
图2
图1
4、如图2,E、F分别是AB、AC上的点,G是BC的延长线上一点,且∠B=∠DCG=∠D,则下列判断错误的是( )
A.∠ADF=∠DCG B.∠A=∠BCF
C.∠AEF=∠EBC D.∠BEF+∠EFC=
二、填空题(每空5分,共45分)
1、工程队在修建广清高速公路时,有时需将弯曲的道路改直,这根据 公理缩短了路程.
图3
3、如图3,已知AB∥CD,∠1=65°,∠2=45°,则∠ADC=________.
2、补充理由:如图4所示,若∠1+∠2=180°,∠1=∠3,EF与GH平行吗?
解:EF∥GH,理由如下
∵∠1+∠2=180°( )
图4
∴AB∥_______( )
又∵∠1=∠3( )
∴∠2+∠________=180°( )
∴EF∥GH( )
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三、解答题(第1题11分,第2、3题各12分,共35分)
1、如图,已知,试问a与b平行吗?说说你的理由。
2、已知:如图,∠1=∠B,∠A=32°.求:∠2的度数.
3、已知∠1 = 20°,∠2 = 25°,∠A = 35°,求∠BDC的度数.
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