2020八年级数学下册 专题突破讲练 用坐标表示旋转试题 （新版）青岛版 10页

用坐标表示旋转 在坐标平面内，某一点绕原点旋转前后坐标的变化规律如下：‎ ‎1. 点A（a，b）绕原点旋转180°得点A'（－a，－b），即点A（a，b）关于原点对称的点的坐标是A'（－a，－b）。‎ ‎2. 点A（a，b）绕原点旋转90°所得点A'的坐标是（－b，a）。‎ 方法归纳：坐标系中的旋转问题通常构造全等三角形加以解决，而且一般是直角三角形。因为图形的旋转问题都可以归结为点的旋转问题，而点的坐标可以表示某点到坐标的距离。所以解决坐标系的旋转问题时经常过图形的顶点向坐标轴作垂线段，构造直角三角形来解决问题。‎ 总结：‎ ‎1. 通过具体实例认识直角坐标系中图形的旋转变换，加深理解旋转变换的概念和基本性质，并能按要求作出简单平面图形绕坐标原点旋转90度、180度后的图形。‎ ‎2. 通过多角度地认识旋转图形的形成过程，培养学生的发散思维能力。‎ 例题1 在如图所示的单位正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A1B‎1C1，已知在AC上一点P（2.4，2）平移后的对应点为P1，点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，则P2点的坐标为（ ）‎ A. （1.4，－1） B. （1.5，2）‎ C. （1.6，1） D. （2.4，1）‎ 解析：根据平移的性质得出，△ABC的平移方向以及平移距离，即可得出P1的坐标，进而利用中心对称图形的性质得出P2点的坐标。‎ 答案：∵A点坐标为：（2，4），A1（－2，1），∴点P（2.4，2）平移后的对应点P1为（－1.6，－1），∵点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，∴P2点的坐标为（1.6，1）。故选C。‎ 点拨：此题主要考查了旋转的性质以及平移的性质，根据已知得出平移距离是解题关键。‎ 例题2 在如图所示的直角坐标系中，将△OAB绕点O顺时针旋转90°得△OA1B1‎ 10‎ ‎，则线段A1B1所在直线l的函数解析式为（ ）‎ A. y＝x－2 B. y＝－x＋2‎ C. y＝－x－2 D. y＝x＋2‎ 解析：根据旋转方向及角度画出旋转后的三角形，求出对应点坐标，设直线的解析式为y＝kx＋b，将点的坐标代入，用待定系数法确定其解析式。‎ 答案：如图，根据旋转可得A1（0，－2），B1（－2，1），设直线的解析式为y＝kx＋b，由题意得：，解之得：，所以直线的解析式为：y＝－x－2。故选C。‎ 点拨：本题考查图形的旋转及一次函数的解析式，关键是能够根据图形的旋转找出点的坐标，然后根据点的坐标来确定直线的解析式，求函数解析式，常用方法是待定系数法，把点的坐标代入解析式，然后组成关于k与b的方程组求解。‎ 平面直角坐标系中的旋转问题，若旋转角是180°，则可按中心对称图形问题来解决。有些题目的旋转角为90°，和少量的旋转角为30°、45°、60°、120°、150°等的问题，解答这类问题时除了要构造旋转本身形成的全等三角形外，一般还要通过向坐标轴作垂线来构造含有特殊角的直角三角形，利用特殊角的边角关系和勾股定理求解。‎ 例题 如图，△ABO中，AB⊥OB，OB＝，AB＝1，把△ABO绕点O旋转150°后得到△A1B1O，则点A1的坐标为（ ）‎ 10‎ A. （－1，－） B. （－1，－）或（－2，0）‎ C. （－，－1）或（0，－2） D. （－，－1）‎ 解：∵△ABO中，AB⊥OB，OB＝，AB＝1，∴OA＝2，∴∠AOB＝30°。如图1，当△ABO绕点O顺时针旋转150°后得到△A1B1O，则∠A1OC＝150°－∠AOB－∠BOC＝150°－30°－90°＝30°，则易求A1（－1，－）；如图2，当△ABO绕点O逆时针旋转150°后得到△A1B1O，则易求A1（0，－2）。综上所述，点A1的坐标为（－1，－）或（－2，0），故选B。‎ 解析：本题考查了坐标与图形的变化——旋转，解题时注意两点，一是未指明旋转方向的问题需分类讨论，以防错解；二是图形中一些特殊角往往和旋转角交织在一起，解题时需正确区分它们。‎ 一、选择题 ‎1. 在方格纸上建立如图所示的平面直角坐标系，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得△A’B’O，则点A的对应点A’的坐标及AA’的长分别为（ ）‎ A. （2，3）， B. （2，3），6‎ C. （－3，2）， D. （－3，2），6‎ ‎*2. 如图，直线y＝－x＋4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO'B'，则点B'的坐标是（ ）‎ 10‎ A. （3，4） B. （7，3） C. （7，4） D. （4，5）‎ ‎*3. 将等腰直角三角形AOB按如图所示放置，然后绕点O逆时针旋转90°至△A'OB'的位置，点B的横坐标为2，则点A'的坐标为（ ）‎ A. （1，1） B. （，） C. （－1，1） D. （－，）‎ ‎**4. 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）。y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，…，重复操作依次得到点P1、P2、…，则点P2012的坐标是（ ）‎ A. （2010，2） B. （2010，－2） C. （2012，2） D. （2012，－2）‎ 二、填空题 ‎5. 如图，在平面直角坐标系中，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°后，得到线段AB′，则点B′的坐标为__________。‎ ‎6. 如图，在直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A（0，）、B（－1，0）、C（1，0），若△DEF各顶点的坐标分别为D（，0）、E（0，1）、F（0，－1），则△DEF由△ABC绕O点顺时针旋转__________度得到。‎ 10‎ ‎7. 如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，A、B是格点，若△A′B′O与△ABO关于点O成中心对称，则AA′的距离为__________。‎ ‎**8. 如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（1，0），B（5，0），C（5，3），D（1，3），边CD上有一点E（4，3），过点E的直线与AB交于点F，若直线EF平分矩形的面积，则点F的坐标为__________。‎ 三、解答题 ‎9. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：‎ ‎（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B‎1C1，并写出点A1的坐标。‎ ‎（2）画出△A1B‎1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B‎2C2，并写出点A2的坐标。‎ ‎*10. 如图，已知A（—3，—3），B（—2，—1），C（—1，—2）是直角坐标平面上的三点。‎ 10‎ ‎（1）请画出ΔABC关于原点O对称的ΔA1B‎1C1，‎ ‎（2）请写出点B关于y轴对称的点B2的坐标，若将点B2向上平移h个单位，使其落在ΔA1B‎1C1内部，指出h的取值范围。‎ ‎11. 在平面直角坐标系中，四边形ABCD的位置如图所示，解答下列问题：‎ ‎（1）将四边形ABCD先向左平移4个单位，再向下平移6个单位，得到四边形A1B‎1C1D1，画出平移后的四边形A1B‎1C1D1；‎ ‎（2）将四边形A1B‎1C1D1绕点A1逆时针旋转90°，得到四边形A1B‎2C2D2，画出旋转后的四边形A1B‎2C2D2，并写出点C2的坐标。‎ ‎*12. △ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示。‎ 10‎ ‎（1）作△ABC关于点C成中心对称的△A1B‎1C1。‎ ‎（2）将△A1B‎1C1向右平移5个单位，作出平移后的△A2B‎2C2。‎ ‎（3）在x轴上求作一点P，使PA1＋PC2的值最小，并写出点P的坐标（不写解答过程，直接写出结果）。‎ 10‎ 一、选择题 ‎1. A 解析：将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°得△A’B’O，如下图：所以A’（2，3），AA’＝＝。‎ ‎*2. B 解析：令y＝0，则y＝－x＋4＝0，解得x＝3，即点A的坐标为（3，0）。令x＝0，则y＝4，即点B的坐标为（0，4），∴OB＝4＝O'B'，OA＝3＝O'A，点B'的横坐标为：3＋4＝7，纵坐标为3，∴点B'的坐标是（7，3）。‎ ‎*3. C 解析：在Rt△AOB中，OB＝2，由勾股定理可得OA＝，所以OA'＝，过A'作A'C⊥y轴于点C，在Rt△A'OC中，∠A'OC＝45°，由勾股定理可得A'C＝1，OC＝1，且点A'在第二象限，所以点A'的坐标为（－1，1）。‎ ‎**4. C 解析：由题意可知，点P1（2，0），P2（2，－2），P3（－6，0），P4（4，2），P5（－2，0），P6（6，－2），P7（－10，0），P8（8，2）；…。规律如下：像点P1，P5，…这样的点横坐标逐个减4，纵坐标都是0；像点P2、P6，…这样的点横坐标逐个加4，纵坐标都是－2；像P3、P7，…这样的点横坐标逐个减4，纵坐标都是0；像P4、P8，…这样的点横坐标逐个加4，纵坐标都是2。因为2012÷4＝503，观察P4（4，2），P8（8，2），…，得P2012的坐标是（2012，2），故选C。‎ 二、填空题 ‎5. （4，2） 解析：可利用旋转的性质，结合全等三角形求解。‎ 10‎ ‎6. 90 解析：∵△ABC各个顶点的坐标分别为A（0，）、B（－1，0）、C（1，0）；△DEF各顶点的坐标分别为D（，0）、E（0，1）、F（0，－1），∴旋转对应点为A和D，B和E，C和F，∴△DEF由△ABC绕O点顺时针旋转90°得到。‎ ‎7. 2 解析：因为△A′B′O与△ABO关于点O成中心对称，所以A′的坐标为（3，－1），AO＝＝，由中心对称图形的特征可知AA′＝2。‎ ‎**8. （2，0） 解析：∵EF平分矩形ABCD的面积，∴EF过矩形ABCD的对称中心，点E、F是对应点，∴CE＝AF。∵A（1，0），B（5，0），C（5，3），D（1，3），E（4，3），∴点F的坐标为（2，0）。‎ 三、解答题 ‎9. 解：（1）如图所示：点A1的坐标为（2，－4）；（2）如图所示，点A2的坐标为（－2，4）。‎ ‎*10. 解：（1）作图如下：（2）点B2的坐标为（2，－1），h的取值范围是2＜h＜3.5。‎ ‎11. 解：（1）四边形A1B‎1C1D1如图所示；（2）四边形A1B‎2C2D2如图所示，C2（1，－2）。‎ 10‎ ‎*12. 解：（1）如图所示：（2）如图所示：（3）如图所示：作出A1关于x轴的对称点A′，连接A′C2，交x轴于点P，可得P点坐标为：（3，0）。‎ 10‎