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  • 2021-11-01 发布

八年级下册数学教案 1-2 第2课时 直角三角形全等的判定 北师大版

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第 2 课时 直角三角形全等的判定 1.理解并掌握三角形全等的判定方法 ——“斜边、直角边”;(重点) 2.经历探究“斜边、直角边”判定方 法的过程,能运用“斜边、直角边”判定方 法解决有关问题.(难点) [来源:Zxxk.Com] 一、情境导入 舞台背景的形状是两个直角三角形,工 作人员想知道这两个直角三角形是否全等, 但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住 无法测量. (1)你能帮他想个办法吗? (2)如果他只带了一个卷尺,能完成这个 任务吗? 工作人员测量了每个三角形没有被遮 住的直角边和斜边,发现它们分别对应相 等,于是他就肯定“两个直角三角形是全等 的”,你相信他的结论吗? 二、合作探究 探究点:直角三角形全等的判定 【类型一】 应用“HL”证明三角形全等 如图,已知∠A=∠D=90°,E、 F 在线段 BC 上,DE 与 AF 交于点 O,且 AB=CD,BE=CF. 求证:Rt△ABF≌Rt△DCE. [来源:Z&xx&k.Com] 解析:由题意可得△ABF 与△DCE 都 为直角三角形,由 BE=CF 可得 BF=CE, 然后运用“HL”即可判定 Rt△ABF 与 Rt△ DCE 全等. 证明:∵BE=CF,∴BE+EF=CF+ EF,即 BF=CE.∵∠A=∠D=90°,∴△ ABF 与△DCE 都为直角三角形.在 Rt△ABF 和 Rt△DCE 中,∵ BF=CE, AB=CD, ∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL). 方法总结:利用“HL”判定三角形全等, 首先要判定这两个三角形是直角三角形,然 后找出对应的斜边和直角边相等 即可. 【类型二】 利用“HL”证明线段相等 如图,已知 AD,AF 分别是两个 钝角△ABC 和△ABE 的高,如果 AD=AF, AC=AE.求证:BC=BE. 解析:根据“HL”证 Rt△ADC≌Rt△ AFE,得 CD=EF,再根据“HL”证 Rt△ABD ≌Rt△ABF,得 BD=BF,最后证明 BC=BE. 证明:∵AD,AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高,且 AD=AF,AC=AE,∴ Rt△ADC≌Rt△AFE(HL).∴CD=EF.∵AD = AF , AB = AB , ∴ Rt △ ABD ≌ Rt △ ABF(HL).∴BD=BF.∴BD-CD=BF-EF. 即 BC=BE. 方法总结:证明线段相等可通过证明三 角形全等解决.直角三角形的判定方法最 多,使用时应该抓住“直角”这个隐含的已 知条件. 【类型三】 利用“HL”证明角相等 如图,AB⊥BC,AD⊥DC,AB= AD,求证:∠1=∠2.[来源:学科网 ZXXK] 解析:要证角相等,可先证明全等.即 证 Rt△ABC≌Rt△ADC,进而得出角相等. 证明:∵AB⊥BC,AD⊥DC,∴∠B= ∠D=90°,∴△ABC 与△ACD 为直角三角 形 . 在 Rt △ ABC 和 Rt △ ADC 中 , ∵ AB=AD, AC=AC, ∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL),∴ ∠1=∠2. 方法总结:证明角相等可通过证明三角 形全等解决. 【类型四】 利用“HL”解决动点问题 如图,在直角三角形 ABC 中,∠ C=90°,AC=20,BC=10,PQ=AB.P, Q两点分别在线段 AC 和过点 A 且垂直于 AC 的射线 AM 上运动,且点 P 不与点 A,C 重 合.那么当点 P 运动到什么位置时,才能使 △ABC 与△APQ 全等? 解析:本题要分情况讨论:①Rt△APQ ≌Rt△CBA,此时 AP=BC=10,可据此求 出 P 点的位置.②Rt△QAP≌Rt△BCA,此 时 AP=AC,P、C 重合,不合题意. 解:根据三角形全等的判定方法 HL 可 知:①当 P 运动到 AP=BC 时,∵∠C= ∠QAP=90°,∴在 Rt△ABC 与 Rt△QPA 中,AP=BC,PQ=AB,∴Rt△ABC≌Rt△ QPA(HL),即 AP=BC=10;②当 P 运动到 与 C 点重合时,AP=AC,不合题意.综上 所述,当点 P 运动到距离点 A 为 10 时,△ AB C 与△APQ 全等.[来源:学科网] 方法总结:判定三角形全等的关键是找 对应边和对应角,由于本题没有说明全等三 角形的对应边和对应角,因此要分类讨论, 以免漏解. 【类型五】 综合运用全等三角形的判 定方法 判定直角三角形全等 如图,CD⊥AB 于 D 点,BE⊥AC 于 E 点,BE,CD 交于 O 点,且 AO 平分 ∠BAC.求证:OB=OC. 解析:已知 BE⊥AC,CD⊥AB 可推出 ∠ADC=∠BDC=∠AEB=∠CEB=90°, 由 AO 平分∠BAC 可知∠1=∠2,然后根据 AAS 证 得 △AOD≌△AOE , △ BOD ≌ △ COE,即可证得 OB=OC.[来源:学+科+网 Z+X+X+K] 证明:∵BE⊥AC,CD⊥AB,∴∠ADC =∠BDC=∠AEB=∠CEB=90°.∵AO 平 分∠BAC,∴∠1=∠2.在△AOD 和△AOE 中,∵ ∠ADC=∠AEB, ∠1=∠2, OA=OA, ∴△AOD≌△AOE(AAS),∴OD=OE. 在 △BOD 和 △COE 中 , ∵ ∠BDC=∠CEB, OD=OE, ∠BOD=∠COE, ∴ △ BOD ≌ △ COE(ASA).∴OB=OC. 方法总结:判定直角三角形全等的方法 除“HL”外,还有 SSS、SAS、ASA、AAS. 三、板书设计 1.作直角三角形 2.直角三角形全等的判定 斜边和一条直角边分别相等的两个直 角三角形全等. 本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究 以及合作交流等方式来进行.在探究直角三 角形全等的判定方法——“斜边、直角边” 时,要让学生进行合作交流.在寻找未知的 等边或等角时,常考虑将其转移到其他三角 形中,利用三角形全等来进行证明.此外, 还要注重通过适量的练习巩固所学的新知 识.