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- 2021-11-01 发布
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第 2 课时 直角三角形全等的判定
1.理解并掌握三角形全等的判定方法
——“斜边、直角边”;(重点)
2.经历探究“斜边、直角边”判定方
法的过程,能运用“斜边、直角边”判定方
法解决有关问题.(难点)
[来源:Zxxk.Com]
一、情境导入
舞台背景的形状是两个直角三角形,工
作人员想知道这两个直角三角形是否全等,
但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住
无法测量.
(1)你能帮他想个办法吗?
(2)如果他只带了一个卷尺,能完成这个
任务吗?
工作人员测量了每个三角形没有被遮
住的直角边和斜边,发现它们分别对应相
等,于是他就肯定“两个直角三角形是全等
的”,你相信他的结论吗?
二、合作探究
探究点:直角三角形全等的判定
【类型一】 应用“HL”证明三角形全等
如图,已知∠A=∠D=90°,E、
F 在线段 BC 上,DE 与 AF 交于点 O,且
AB=CD,BE=CF.
求证:Rt△ABF≌Rt△DCE.
[来源:Z&xx&k.Com]
解析:由题意可得△ABF 与△DCE 都
为直角三角形,由 BE=CF 可得 BF=CE,
然后运用“HL”即可判定 Rt△ABF 与 Rt△
DCE 全等.
证明:∵BE=CF,∴BE+EF=CF+
EF,即 BF=CE.∵∠A=∠D=90°,∴△
ABF 与△DCE 都为直角三角形.在 Rt△ABF
和 Rt△DCE 中,∵ BF=CE,
AB=CD,
∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL).
方法总结:利用“HL”判定三角形全等,
首先要判定这两个三角形是直角三角形,然
后找出对应的斜边和直角边相等 即可.
【类型二】 利用“HL”证明线段相等
如图,已知 AD,AF 分别是两个
钝角△ABC 和△ABE 的高,如果 AD=AF,
AC=AE.求证:BC=BE.
解析:根据“HL”证 Rt△ADC≌Rt△
AFE,得 CD=EF,再根据“HL”证 Rt△ABD
≌Rt△ABF,得 BD=BF,最后证明 BC=BE.
证明:∵AD,AF 分别是两个钝角△ABC
和△ABE 的高,且 AD=AF,AC=AE,∴
Rt△ADC≌Rt△AFE(HL).∴CD=EF.∵AD
= AF , AB = AB , ∴ Rt △ ABD ≌ Rt △
ABF(HL).∴BD=BF.∴BD-CD=BF-EF.
即 BC=BE.
方法总结:证明线段相等可通过证明三
角形全等解决.直角三角形的判定方法最
多,使用时应该抓住“直角”这个隐含的已
知条件.
【类型三】 利用“HL”证明角相等
如图,AB⊥BC,AD⊥DC,AB=
AD,求证:∠1=∠2.[来源:学科网 ZXXK]
解析:要证角相等,可先证明全等.即
证 Rt△ABC≌Rt△ADC,进而得出角相等.
证明:∵AB⊥BC,AD⊥DC,∴∠B=
∠D=90°,∴△ABC 与△ACD 为直角三角
形 . 在 Rt △ ABC 和 Rt △ ADC 中 , ∵
AB=AD,
AC=AC,
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL),∴
∠1=∠2.
方法总结:证明角相等可通过证明三角
形全等解决.
【类型四】 利用“HL”解决动点问题
如图,在直角三角形 ABC 中,∠
C=90°,AC=20,BC=10,PQ=AB.P,
Q两点分别在线段 AC 和过点 A 且垂直于 AC
的射线 AM 上运动,且点 P 不与点 A,C 重
合.那么当点 P 运动到什么位置时,才能使
△ABC 与△APQ 全等?
解析:本题要分情况讨论:①Rt△APQ
≌Rt△CBA,此时 AP=BC=10,可据此求
出 P 点的位置.②Rt△QAP≌Rt△BCA,此
时 AP=AC,P、C 重合,不合题意.
解:根据三角形全等的判定方法 HL 可
知:①当 P 运动到 AP=BC 时,∵∠C=
∠QAP=90°,∴在 Rt△ABC 与 Rt△QPA
中,AP=BC,PQ=AB,∴Rt△ABC≌Rt△
QPA(HL),即 AP=BC=10;②当 P 运动到
与 C 点重合时,AP=AC,不合题意.综上
所述,当点 P 运动到距离点 A 为 10 时,△
AB C 与△APQ 全等.[来源:学科网]
方法总结:判定三角形全等的关键是找
对应边和对应角,由于本题没有说明全等三
角形的对应边和对应角,因此要分类讨论,
以免漏解.
【类型五】 综合运用全等三角形的判
定方法 判定直角三角形全等
如图,CD⊥AB 于 D 点,BE⊥AC
于 E 点,BE,CD 交于 O 点,且 AO 平分
∠BAC.求证:OB=OC.
解析:已知 BE⊥AC,CD⊥AB 可推出
∠ADC=∠BDC=∠AEB=∠CEB=90°,
由 AO 平分∠BAC 可知∠1=∠2,然后根据
AAS 证 得 △AOD≌△AOE , △ BOD ≌ △
COE,即可证得 OB=OC.[来源:学+科+网 Z+X+X+K]
证明:∵BE⊥AC,CD⊥AB,∴∠ADC
=∠BDC=∠AEB=∠CEB=90°.∵AO 平
分∠BAC,∴∠1=∠2.在△AOD 和△AOE
中,∵
∠ADC=∠AEB,
∠1=∠2,
OA=OA,
∴△AOD≌△AOE(AAS),∴OD=OE.
在 △BOD 和 △COE 中 , ∵
∠BDC=∠CEB,
OD=OE,
∠BOD=∠COE,
∴ △ BOD ≌ △
COE(ASA).∴OB=OC.
方法总结:判定直角三角形全等的方法
除“HL”外,还有 SSS、SAS、ASA、AAS.
三、板书设计
1.作直角三角形
2.直角三角形全等的判定
斜边和一条直角边分别相等的两个直
角三角形全等.
本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究
以及合作交流等方式来进行.在探究直角三
角形全等的判定方法——“斜边、直角边”
时,要让学生进行合作交流.在寻找未知的
等边或等角时,常考虑将其转移到其他三角
形中,利用三角形全等来进行证明.此外,
还要注重通过适量的练习巩固所学的新知
识.
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