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- 2021-11-01 发布
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B、C两点被池塘隔开如何测量B、C两点距离?
C
B
想一想
A
BC
D
E
为了测量一个池塘的宽BC,在池塘一侧的平地上选一点A,
再分别找出线段AB,AC的中点D、E,若测出DE的长,就能求
出池塘BC的长,你知道为什么吗?
想一想
A
B C
D E
合作学习
剪一刀,将一张三角形纸片剪成
一张三角形纸片和一张梯形纸片.
(1)要保证剪成一张三角形纸片和一张梯形纸片,剪
痕的位置有什么要求?
(2)若要使△ADE与梯形DBCE能拼成平行四边形,
剪痕的位置有什么要求?
(3)要把所剪得的两个图形拼成
一个平行四边形,可将其中的三角
形作怎样的图形变换?
A
B C
D E F
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线
三角形有三条中位线
∵D、 E分别为AB、AC的中点
∴DE为△ABC的中位线
三角形的中位线和三角形的中线不同注意
同理DF、EF也为△ ABC的中位线
ED
F
A
CB
三角形的中位线与第三边有什么关系?
三角形的中位线平行且等于第三边的一半
已知:如图,DE是△ABC的中位线.
求证: BCDE
2
1//
证明:如图,以点E为旋转中心,把⊿ADE绕点E,
按顺时针方向旋转180゜,得到⊿CFE
A
B C
D E F
得到⊿CFE,⊿ADE≌⊿CFE.
∴∠ADE=∠F,AD=CF,DE=EF
∴AB∥CF
又∵BD=AD=CF,
∴四边形BCFD是平行四边形
BC
2
1
//DE
BC//DF
证明命题:三角形的中位线平行且等于第三边的一半
证明二:如图,延长DE到F,
使EF=DE,连接CF
∴∠ADE=∠F,AD=CF,
∴AB∥CF
又∵BD=AD=CF,
∴四边形BCFD是平行四边形
BC
2
1
//DEBC//DF
A
B C
D E F
∵DE=EF,AE=EC, ∠AED= ∠CEF
∴⊿ADE≌⊿CFE
已知:如图,DE是△ABC的中位线.
求证: BCDE
2
1//
A
B C
ED
F
证法三:延长DE到点F,使EF=DE,
连结AF、CF、CD
∵AE=EC∴DE=EF
∴四边形ADCF是平行四边形
∴AD∥=FC
又D为AB中点,∴DB∥=FC
所以,四边形BCFD是平行四边形
已知:如图,DE是△ABC的中位线.
求证: BCDE
2
1//
证法四:如图,过E作AB的平行线交BC于
F,自A作BC的平行线交FE于G
∵AG∥BC ∴∠EAG=∠ECF
∴△AEG≌△CEF ∴AG=FC,GE=EF
又∵AB∥GF,AG∥BF
∴四边形ABFG是平行四边形
∴BF=AG=FC,AB=GF
又∵D为AB中点,E为GF中点,
∴DB∥=EF
∴四边形DBFE是平行四边形
∴DE∥BF,即DE∥BC,DE=BF=FC
即DE=1/2BC
A
B C
ED
F
G
三角形的中位线平行且等于第三边的一半.
几何语言表述:
∵DE是△ABC的中位线
(或AD=BD,AE=CE)
C
ED
B
A
BC
2
1
//DE
① 证明平行问题
② 证明一条线段是另一条线段的两倍或一半
适用范围
1.如图1:在△ABC中,DE是中位线
(1)若∠ADE=60°,
则∠B= 度,为什么?
(2)若BC=8cm,
则DE= cm,为什么?
2.如图2:在△ABC中,D、E、F分别
是各边中点AB=6cm,AC=8cm,BC=10cm,
则△DEF的周长= cm
60
4
12
图1
AB
C
D。 。E
图2
B
A C
D 。
。
E
。F
5
4
3
练一练
三角形三条中位线围成的三角形的周长与原
三角形的周长的关系? 面积呢?
A
BC
D
E
3、为了测量一个池塘的宽BC,在池塘一侧的平地
上选一点A,再分别找出线段AB,AC的中点D、E,
若测出DE=15m,就能求出池塘BC的长吗?
练一练
求证:四边形EFGH是平行四边形. A
B C
D
E
F
G
H
证明:如图,连接AC
∵EF是△ABC的中位线
AC
2
1
//EF
同理得: AC
2
1
//GH
EF//GH ∴四边形EFGH是平行四边形
①有中点连线而无三角形,要作辅助线产生三角形
②有三角形而无中位线,要连结两边中点得中位线
温馨提示:
(1) 顺次连结平行四边
形各边中点所得的四边形是
_________?
(2)顺次连结矩形各边中点
所得的四边形是_______?
(3)顺次连结菱形各边中点
所得的四边形是________?
平行四边形
菱形
矩形
想一想
(4)顺次连结正方
形各边中点所得的四
边形是___________?
(5)顺次连结梯形各边
中点所得的四边形是
______________?
(6)顺次连结等腰梯形
各边中点所得的四边形
是__________?
正方形
平行四边形
菱形
想一想
(7)顺次连结对角线相等
的四边形各边中点所得的四
边形是什么?
(9)顺次连结对角线相等且
垂直的四边形各边中点所得
的四边形是什么?
(8)顺次连结对角线垂直
的四边形各边中点所得的四
边形是什么?
菱形
矩形
正方形
想一想
不相等且不互相垂直的四边形各边中点
组成___________
对
角
线
平行四边形
互相垂直的四边形各边中点组成______矩形
相等的四边形各边中点组成_____菱形
相等且互相垂直的四边形各边中点
组成_______正方形
共同归纳
1.已知: 如图,DE,EF是⊿ABC的两条中位线.求证:
四边形BFED是平行四边形.
2.如图,DE是⊿ABC的中位线,AF是BC边上的中线,DE
和AF交于点O.求证:DE与AF互相平分.
D
B CF
E
A
(第1题)
F
ED
CB
A
O
(第2题)
练一练
练一练
3、已知:如图,△ABC是锐角三角形。分别以AB,
AC为边向外侧作等边三角形ABM和等边三角形CAN,
D,E,F分别是MB,BC,CN的中点,连结DE,FE,
求证:DE=FE
A N
M
F
E
D
CB
方法点拨:
在处理问题时,要求同时出现三角形及中位线
①有中点连线而无三角形,要作辅助线产生三角形
②有三角形而无中位线,要连结两边中点得中位线
三角形中位线定理应用:
⑴定理为证明平行关系提供了新的工具
⑵定理为证明一条线段是另一条线段的2倍或 一半
提供了一个新的途径
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