八年级下数学课件：19-1-1 变量与函数 （共23张PPT）_人教新课标 23页

问题4：章引言中的一张图表和图象反映了什么量随什么量变化 而变化？分别是用什么方式反映它们的变化规律的？ 活动一：阅读章引言 问题探究： 问题1：在事物的运动变化中，一个量随另一个量变化而变化 的现象大量存在，请你再举出一个具有这种特征的相关例子加以说 明。 问题2：为了刻画变量之间相互依存和变化的关系，我们形成了什么概 念？为了更深入地认识现实世界中运动变化的规律，我们需要研究什么内 容？ 问题3：本章我们将主要学习哪些内容？将从哪些方面来展开 研究？我们研究这些内容的思想方法是什么？ 活动二：创设情境 先请思考下面几个问题： （1）汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程为skm，行驶时间为th。填写下表，s的值随t的值的变化而变化吗？ 表 t/h 1 2 3 4 5 s/km （2）电影票的售价为10元/张。第一场售出150张票，第二场售出205张票，第三场售出310张票，三场电影的票 房收入各多少元？设一场电影售出x张票，票房收入为y元，y的值随x的值的变化而变化吗？ （3）你见过水中涟漪吗？如图19.1-1，圆形水波慢慢地扩大。在这一过程中， 当圆的半径r分别为10cm，20cm，30cm时，圆的面积S分别为多少？S的值随r的 值变化而变化吗？ （4）用10cm长的绳子围一个矩形。当矩形的一边长x分别为3m，3.5m，4m， 4.5m时，它的邻边长y分别为多少？y的值随x的值的变化而变化吗？ 问题3：在思考（1）~（4）的变化过程中，发生变化的量有限 制条件吗？如何限制？ 活动二：创设情境 问题探究： 问题1：分别指出思考（1）~（4）的变化过程中所涉及的量，在这些 量中哪些量是发生了变化的？哪些量是始终不变的？ 问题2：在思考（1）~（4）的变化过程中，当一个量发生变化时，另 一个量是否也随之发生变化？是哪一个量随哪一个量的变化而变化？ （4）涉及的量有：矩形的周长、边长和邻边长，其中边长和邻边长发生了 变化，矩形的周长始终不变。 （1）涉及的量有：速度、时间和路程，其中时间和路程发生了变化，速度 始终不变； （2）涉及的量有：票价、张数和票房收入，其中张数和票房收入发生了变 化，票价始终不变； （3）涉及的量有：圆周率π、半径和面积，其中半径和面积发生了变化， 圆周率π始终不变； 答：变化过程中，发生变化的量要符合实际问题的意义。如（1）中的时 间t就不能为负数，（2）中票的张数x就只能为自然数。 问题2：在一个变化过程中，理解变量、常量的关键词 是什么？ 活动三：形成概念 问题探究： 问题1：请给上述思考（1）~（4）中发生了变化的 量和始终不变的量起一个恰当的名称。 在一个变化过程中，我们称数值发生了变化的量为变量 （variable），数值始终不变的量为常量（constant）。 在同一个变化过程中，理解变量与常量的关键词分别 是：发生了变化和始终不变。 问题探究： 活动四：辨析概念 变量：月用水量x吨和月应交水费y元，常量：自来水价4元／吨。 变量：通话时间t分钟和话费余额w元，常量：通话费0.2元／分钟和存 入话费30元。 变量：半径r和圆周长c，常量：圆周率π及计算公式中的数字2。 变量：第一个抽屉放书量x本和第二个抽屉放书量y本，常量：书的总 数10本。 问题探究： 请结合你的生活实际，自己设计 一个变化过程，指出其中的变量与常 量。 活动五：理解概念 问题1：根据销售记录，某型号的服装每天的售价x（元/件）与 当日的销售量y（件）的变化关系如下表： 活动六：升华概念 在这个变化过程中，有哪些变量？是哪一个量随哪一个量的 变化而变化？请大胆猜想它们之间的变化规律，用关系式表示你 猜想的变化规律，并指出关系式中的常量。 每天的销售价x（元/件） 200 190 180 170 160 150 140 … 每天的销售量y（件） 80 90 100 110 120 130 140 … 问题探究： 变量有：服装每天的售价x（元/件）和当日的销售量y（件） 当日的销售量y随服装每天的售价x的变化而变化。 变化规律满足：y=280－x，关系式中的常量是：数字280。 活动六：升华概念 问题2：如图，正形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出 发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动， 当P、Q到达点C时都停止运动。设运动时间为x（单位：s），四边形 PBDQ的面积为y（单位：cm2）。 （1）在这个运动变化过程中，当运动时间x发生变化时，四边形 PBDQ的面积y是否也随之发生变化？当运动时间x增大时，四边形 PBDQ的面积y如何变化？ （2）在这个运动变化过程中，运动时间x的取值有什么要求吗？为 什么？ （1）四边形PBDQ的面积y随运动时间x的变化而变化，当运动时 间x增大时，四边形PBDQ的面积y不是一直增大。当0＜x＜4时， y随x的增大而减小；当x=4时，四边形PBDQ不存在；当4＜x＜8 时，y随x的增大而增大。 （2）0＜x＜8，且x≠4。 问题2：在一个变化过程中，量与量之间是否 是相互依存和变化的？是否存在变化规律？量的 变化是否有限制条件？如何确定变量的变化条件？ 活动七：课堂小结与作业布置 课堂小结： 问题1：在一个变化过程中，什么是变量？什 么是常量？常量是否都是显现的？请举例说明。 1.指出下列问题中的变量和常量： （1）购买一些铅笔，单价为0.2元/支，记某同学购买铅笔的数量为x 支，应付的总价为y元； （2）用长为50cm的铁丝围成一个等腰三角形，记这个等腰三角形的 腰长为xcm，底边长为ycm； （3）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=3cm，BC=4cm。现有一 动点P从点B出发，沿射线BA方向以1cm/s的速度运动，到达点A随即 停止运动，记点P的运动时间为x（s），△ACP的面积为y（cm²）。 （4）出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出（6－x）个， 一天出售该种文具盒的总利润为y元。 2.指出第1题的4个问题中x的取值范围，并写出能反映y与x的变化关 系的式子。 作业布置： P B A C 活动一：创设情境 问 题 探 究 问题3：在上面的4个问题中，两个变量之间的对应关系 有什么共同特征？请你再举出一些对应关系具有这种共同特征 的例子。 问题1：在上一节课“活动二”的问题（1）~（4）中，是 否都存在两个变量？请你用所学知识写出能表示同一个问题中 的两个变量之间对应关系的式子。 问题2：在上面的4个问题中，是哪一个量随哪一个量的 变化而变化？当一个变量取定一个值时，另一个变量的值是唯 一确定的吗？ 问题（1）~（4）中都存在两个变量，表示两个变量之 间的关系式分别为： （1）s=60t（2）y=10x（3）S=πr²（4）y=5－x 以上四个变化过程中，两个变量之间的对应关系都满足： 对于一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值 与其对应。 活动二：再设情境 问 题 探 究 问题：分别指出思考（1）~（2）中所涉及的两个变量，在这两个 变量中，是哪一个量随哪一个量的变化而变化？两个变量之间的对应关 系是否与上面4个思考中对应关系的共同特征一致？ 这两个变化都满足y随x的变化而变化，且当x取定一个值时，y都有唯一 确定的值与其对应。 （1）下图是体检时的心电图，其中图上点的横坐标x表示时间，从坐标y表示心脏部位的生 物电流，它们是两个变量。再心电图中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与 其对应吗？ （2）下面的我国人口数统计表中，年份与人口数可以分别记作两个变量x与y。对于表中 每一个确定的年份x，都对应着一个确定的人口数y吗？ 表19-2 中国人口数统计表 年份 人口数/亿 1984 10.34 1989 11.06 1994 11.76 1999 12.52 2010 13.71 活动三：形成概念 问题2：在这个定义中，前提条件是什么？对应关系是什么？如何 理解“x的每一个确定的值”中的“确定”？x的取值有限制范围吗？ 问 题 探 究 问题1：函数是反映一个变化过程中的两个变量之间的一种特殊对 应关系，请你根据上述6个问题中两个变量之间对应关系的共同特征， 用恰当的语言给函数下定义。 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x 的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量（independent variable），y是x的函数（function）。 前提条件是：一个变化过程中只有两个变量；两个变量之 间的对应关系是“x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与 其对应”。“x的每一个确定的值”中的“确定”是指x的取值 要符合变化过程的实际意义。 活动三：形成概念 问题3：如何理解“对于x的每一个确定的值，y都有唯一确 定的值与其对应”这句话？请举例说明。 问题4：函数值由谁来确定？怎样求函数值？ 问 题 探 究 指明了变量x与y的对应关系可以是：“一对一”“二 对一”或“多对一”，如果是“一对多”的情况就不是 函数了。 确定函数值必须是首先确定两个变量之间的对应关 系，然后确定自变量的值，根据对应关系确定函数值。 活动四：辨析概念 问 题 探 究 S=x²，S是x的函数，x是自变量； y=0.1x，y是x的函数，x是自变量； v=10－0.05t，v是t的函数，t是自变量。 ，y是n的函数，n是自变量；y = ——10 n 6 活动四：辨析概念 （1） 2 3y x   1 1 y x    2y x   （2） （3） 问题2：下列式子中的y是x的函数吗？为什么？若y不是x的函 数，怎样改变，才能使y是x的函数？问 题 探 究 问题3：变量x与y的对应关系如下表所示： x 1 4 9 16 25 … y ±1 ±2 ±3 ±4 ±5 … 问：变量y是x的函数吗？为什么？若要使y是x 的函数，可以怎样改动表格？ 2y x  2y x   （1）、（2）中y是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都有唯 一确定的值与其对应；（3）中，y不是x的函数，因为对于x的每一个确 定的值，y都有两个确定的值与其对应。将关系式改为 或 ， 都能使y是x的函数。 y不是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都有两个确定的值 与其对应。要使y是x的函数，可以将表格中y的每一个值中的“±”改 为“＋”或“－”。 问题4：下列曲线中，表示y不是x的函数是（ ），怎样 改动这条曲线，才能使y是x的函数？ A x y O B x y O C x y O D x y O 活动四：辨析概念 问 题 探 究 选B。将第一象限或第四象限的曲线去掉等，只要满足 “对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应”， 都能使y是x的函数。 活动五：运用概念 问 题 探 究 教材例1： 汽车油箱有汽油50L，如果不再加油，那么油箱 中的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：km） 的增加而减少，平均油耗为0.1L/km。 （1）写出表示y与x的函数关系的式子； （2）指出自变量x的取值范围； （3）汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油？ 解：（1）关系式为：y=50－0.1x； （2）0≤x≤500； （3）∵当x=200时，y=50－0.1×200=30， ∴汽车行驶200km时，油箱中还有30L汽油。 我市白天乘坐出租车收费标准如下：乘坐里程 不超过3公里，一律收费8元；超过3公里时，超过3 公里的部分，每公里加收1.8元；设乘坐出租车的里 程为x（公里）（x为整数），相对应的收费为y （元）。 （1）请分别写出当0＜x≤3和x＞3时，表示y与x 的关系式，并直接写出当x=2和x=6时对应的y值； （2）当0＜x≤3和x＞3时，y都是x的函数吗？为 什么？ 活动六：升华概念 问 题 探 究 解：（1）当0＜x≤3时，y=8； 当x＞3时，y=8＋1.8（x－3）=1.8x＋2.6， 当x=2时，y=8；x=6时，y=1.8×6＋2.6=13.4， （2）当0＜x≤3和x＞3时，y都是x的函数，因为对于 x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应。 问题4：如何确定函数值？ 活动七：课堂小结与作业布置 问 题 探 究 问题1：在一个变化过程中，对于变量x和y而言， 满足什么对应关系时，y才是x的函数？两个变量满 足“一对多”的关系是函数吗？ 问题2：自变量的取值范围如何确定？受哪些因素 的限制？ 问题3：在解决什么问题时，往往需要建立函数模型？ 根据什么建立函数模型？建立函数模型最常见的方式是 什么？ 课堂小结 谢 谢