数学下册第二章二次函数4二次函数y=ax2+bx+c的图象第2课时二次函数y=ax2+bx+c的图象习题课件北师大版 36页

4 　二次函数 y=ax 2 +bx+c 的图象 第 2 课时 1. 会推导二次函数 y=ax 2 +bx+c 的对称轴和顶点坐标公式 , 并利用此解决一些问题 .( 重点 ) 2. 用配方法推导 y=ax 2 +bx+c 的对称轴和顶点坐标公式 .( 难点 ) 用配方法把 y=ax 2 +bx+c 化成 y=a(x+h) 2 +k 的形式， y=ax 2 +bx+c 【 总结 】 1. 二次函数 y=ax 2 +bx+c 的对称轴与顶点坐标： 二次函数 y=ax 2 +bx+c 的图象是一条 _______ , 对称轴是直线 x= ____ , 顶点坐标是 ______________ . 抛物线 2. 二次函数 y=ax 2 +bx+c 的图象和性质 : 函数 二次函数 y=ax 2 +bx+c(a,b,c 是常数 ,a≠0) 图象 a>0 a<0 开口 方向 向 ___ 向 ___ 对称轴 顶点 坐标 _____________ ____________ 上 下 增减性 在对称轴的左侧，即当 时， y 随着 x 的增 大而 _____ . 在对称轴的 右侧，即当 时， y 随着 x 的增大而 _____ 在对称轴的左侧，即当 时， y 随着 x 的增 大而 _____ . 在对称轴的 右侧，即当 时， y 随着 x 的增大而 _____ 最值 当 时， y 有最 ___ 值为 ______ 当 时， y 有最 ___ 值为 ________ 减小 增大 增大 减小 小 大 ( 打 “ √ ” 或 “ × ” ) (1) 二次函数 y=ax 2 +bx+c 的对称轴与 c 的值无关 .( ) (2) 当 a<0 时 , 二次函数 y=ax 2 +bx+c 有最小值 .( ) (3) 二次函数 y=ax 2 +bx+c 与 y 轴的交点坐标是 (0,c).( ) (4) 二次函数 y=2(x-2) 2 +3 的最小值是 2.( ) √ × √ × 知识点 1 y=ax 2 +bx+c 的对称轴、顶点坐标及其性质   【 例 1】 (2012 · 徐州中考 ) 二次函数 y=x 2 +bx+c 的图象经过点 (4,3),(3,0). (1) 求 b,c 的值 . (2) 求出该二次函数图象 的顶点坐标和对称轴 . (3) 在所给坐标系中画出 二次函数 y=x 2 +bx+c 的图象 . 【 思路点拨 】 (1) 把已知点的坐标代入表达式 , 然后解关于 b,c 的二元一次方程组即可 . (2) 通过配方把函数表达式转化为 y=a(x-h) 2 +k 的形式 , 即可确定顶点坐标与对称轴 . (3) 通过描点法画出图象即可 . 【 自主解答 】 (1) 由题意得 (2) 由 (1) 知函数表达式是 y=x 2 － 4x+3 ，可化为 y=(x － 2) 2 － 1 ， ∴其顶点坐标是 (2 ，－ 1) ，对称轴为直线 x ＝ 2 ． (3) 如图所示 : 【 总结提升 】 确定二次函数 y=ax 2 +bx+c 的对称轴和顶点坐标的 “ 两种方法 ” 和 “ 两点注意 ” 两种方法 : (1) 利用配方法把 y=ax 2 +bx+c 化成 y=a(x-h) 2 +k 的形式 . (2) 直接代入公式 求解 . 两点注意 : (1) 使用配方时 , 要和解方程时的配方法区别开 , 把二次项系数 化为 1 时 , 要提取 a, 而不能除以 a. (2) 使用公式法时 , 要找准 a,b,c 的值 . 知识点 2 抛物线 y=ax 2 +bx+c 与 a,b,c 的关系   【 例 2】 如图为二次函数 y=ax 2 +bx+c(a≠0) 的图象 , 则下列说法 :①a>0;②2a+b=0;③a+b+c>0;④ 当 -10. 其中正确的个数为 ( 　　 ) A.1 　　　　 B.2 　　　　 C.3 　　　　 D.4 【 解题探究 】 1. 由抛物线的图象开口向下，可知 a ___ 0. 2. 由抛物线和 x 轴的两个交点 (-1 ， 0) ， (3 ， 0) ，确定抛物线的 对称轴是多少？ 提示： 抛物线的对称轴是 3. 由抛物线的对称轴方程确定 a 与 b 的关系 . 提示： ∵抛物线的对称轴是 x=1, 即 ∴ 2a+b=0. ＜ 4. 观察图象可知 , 当 x=1 时 ,y=a+b+c __ 0. 5. 观察图象可知 , 当 -1 > ②③④ C 【 总结提升 】 二次函数 y=ax 2 +bx+c 的图象特征与 a,b,c 的符号关系 字母符号 图象的特征 a>0 开口向上 a<0 开口向下 b=0 对称轴为 y 轴 ab>0 对称轴在 y 轴左侧 ab<0 对称轴在 y 轴右侧 c=0 经过原点 c>0 与 y 轴正半轴相交 c<0 与 y 轴负半轴相交 题组一 : y=ax 2 +bx+c 的对称轴、顶点坐标及其性质 1. 二次函数 y=x 2 -4x+5 的顶点坐标为 ( 　　 ) A.(-2,-1) B.(2,1) C.(2,-1) D.(-2,1) 【 解析 】 选 B.∵y=x 2 -4x+5=x 2 -4x+4+1=(x-2) 2 +1,∴ 顶点坐标为 (2,1). 2.(2013 · 内江中考 ) 若抛物线 y=x 2 -2x+c 与 y 轴的交点坐标为 (0,-3), 则下列说法不正确的是 ( 　　 ) A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线的对称轴是直线 x=1 C. 当 x=1 时 y 的最大值为 -4 D. 抛物线与 x 轴的交点坐标为 (-1,0),(3,0) 【 解析 】 选 C. 由 y ＝ x 2 － 2x+c 知 a ＞ 0 ，所以抛物线的开口向 上，选项 A 正确；对称轴是直线 选项 B 正 确．因为抛物线开口向上，所以抛物线有最低点，因此 y 有 最小值，选项 C 不正确；将 (0 ，－ 3) 代入 y ＝ x 2 － 2x+c 得 c ＝ － 3 ，所以抛物线表达式为 y ＝ x 2 － 2x － 3 ，解方程 x 2 － 2x － 3 ＝ 0 得 x ＝ 3 或－ 1 ，所以抛物线与 x 轴的交点坐标为 ( － 1 ， 0) ， (3 ， 0) ，选项 D 正确． 3.(2013 · 襄阳中考 ) 二次函数 y=-x 2 +bx+c 的图象如图所示 , 若点 A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ) 在此函数图象上 , 且 x 1 y 2 【 解析 】 选 B. 根据二次函数的图象性质可知当 x<1 时 ,y 随着 x 的增大而增大 ;∵x 1 0, 所以有最小值 ; 配方得 y=(x+1) 2 -6, 所以最小值为 -6, 也可由顶点坐标公式得到最小值为 -6. 5. 当 k 分别取 -1,1,2 时 , 函数 y=(k-1)x 2 -4x+5-k 都有最大值吗 ? 请写出你的判断 , 并说明理由 . 若有 , 请求出最大值 . 【 解析 】 当 k=-1 时 , 函数为 y=-2x 2 -4x+6, 配方 , 得 y=-2(x+1) 2 +8,∵ 二次项系数 -2<0,∴ 函数有最大值 , 当 x=-1 时 ,y 的最大值 为 8; 当 k=1 时 , 函数为 y=-4x+4, 是一次函数 , 无最大值 ; 当 k=2 时 , 函数为 y=x 2 -4x+3,∵ 二次项系数 1>0, ∴ 二次函数开口向上 , 无最大值 . 题组二 : 抛物线 y=ax 2 +bx+c 与 a,b,c 的关系 1.(2013 · 呼和浩特中考 ) 在同一平面直角坐标系中 , 函数 y=mx+m 和函数 y=-mx 2 +2x+2(m 是常数 , 且 m≠0) 的图象可能 是 ( 　　 ) 【 解析 】 选 D. 选项 A 中一次函数中的 m ＜ 0 ，而抛物线中的 m ＞ 0 ，故此项错误；选项 B 中一次函数中的 m ＜ 0 ，而由抛物线的对 称轴 可知 m ＞ 0 ，故此项错误；选项 C 中一次函数中的 m ＞ 0 ，而由抛物线的开口向上得 -m ＞ 0 ，则 m ＜ 0 ，故此项错误；排除 A ， B ， C ，故选 D. 2. 已知二次函数 y=ax 2 +bx+c(a≠0) 的图象如图所示 , 对称轴为 下列结论中，正确的是 ( ) A.abc>0 B.a+b=0 C.2b+c>0 D.4a+c<2b 【 解析 】 选 D ．观察图象可知， a ＞ 0,c ＜ 0, 由对称轴可知 b ＞ 0, 所以 abc ＜ 0 ；由对称轴可知 解得 a=b ；由对称轴可 知，抛物线上横坐标为 1 的点与横坐标为 -2 的点关于对称轴对 称，由图象可知，当 x=1 时，函数值小于 0 ，把 x=-2 代入 y=ax 2 +bx+c(a≠0) 可得， 4a-2b+c ＜ 0, 即 4a+c<2b ． 【 高手支招 】 (1) 对于二次函数 y=ax 2 +bx+c, 当横坐标 x=1 时 , 若图象上的对应点在 x 轴的上方 , 则 y=a+b+c>0; 当 x=1 时 , 若图象上的对应点在 x 轴上 , 则 y=a+b+c=0; 当 x=1 时 , 若图象上的对应点在 x 轴下方 , 则 y=a+b+c<0. (2) 对于二次函数 y=ax 2 +bx+c, 当横坐标 x=-1 时 , 若图象上的对应点在 x 轴的上方 , 则 y=a-b+c>0; 当 x=-1 时 , 若图象上的对应点在 x 轴上 , 则 y=a-b+c=0; 当 x=-1 时 , 若图象上的对应点在 x 轴下方 , 则 y=a-b+c<0. 3.(2013· 巴中中考 ) 已知二次函数 y=ax 2 +bx+c(a≠0) 的图象 如图所示 , 则下列结论中正确的是 ( 　　 ) A.ac>0 B. 当 x>1 时 ,y 随 x 的增大而减小 C.b-2a=0 D.x=3 是关于 x 的方程 ax 2 +bx+c=0(a≠0) 的一个根 【 解析 】 选 D.∵a ＞ 0 ， c ＜ 0,∴ac ＜ 0,A 错；当 x ＞ 1 时， y 随 x 的增大而增大， B 错； C 错；∵抛物线过 (3,0) ，∴ D 正确 . 4.(2013· 宁波中考 ) 如图，二次函数 y=ax 2 +bc+c 的图象开口向 上，对称轴为直线 x=1 ，图象经过 (3 ， 0) ，下列结论中正确的 一项是 ( ) A.abc<0 B.2a+b<0 C.a-b+c<0 D.4ac-b2<0 【 解析 】 选 D. 根据题干图示知，抛物线开口方向向上， 则 a ＞ 0 ． 抛物线的对称轴 则 b ＜ 0 ． 抛物线与 y 轴交于负半轴，则 c ＜ 0 ， 所以 abc ＞ 0 ，故 A 选项错误； ∴ 2a+b=0 ，故 B 选项错误； ∵ 对称轴为直线 x=1 ，图象经过 (3 ， 0) ， ∴该抛物线与 x 轴的另一交点的坐标是 (-1 ， 0) ， ∴当 x=-1 时， y=0 ，即 a-b+c=0 ，故 C 选项错误； 根据题干图示知，该抛物线与 x 轴有两个不同的交点，则 Δ=b 2 -4ac ＞ 0 ，则 4ac-b 2 ＜ 0 ，故 D 选项正确 . 【 想一想错在哪？ 】 已知函数 y=-2x 2 +mx+m 的图象如图所示 , 且 OA=OC, 求 m 的值 . 提示 : C 在 y 轴的正半轴上 ,A 在 x 轴的负半轴上 , 当点 C 的坐标为 (0,m) 时 , 点 A 的坐标应为 (-m,0).