2020年中考数学专题复习：函数知识点归纳 12页

初中函数知识 1 函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像) 平面直角坐标系 1、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系 2、各个象限内点的特征: 第一象限：（+，+） 点 P（x,y），则 x＞0,y＞0； 第二象限：（-，+） 点 P（x,y），则 x＜0,y＞0； 第三象限：（-，-） 点 P（x,y），则 x＜0,y＜0； 第四象限：（+，-） 点 P（x,y），则 x＞0,y＜0； 3、坐标轴上点的坐标特征： x 轴上的点，纵坐标为零；y 轴上的点，横坐标为零；原点的坐标为（0 , 0）。两坐标轴 的点不属于任何象限。 4、点的对称特征：已知点 P(m,n), 关于 x 轴的对称点坐标是(m,-n), 横坐标相同，纵坐标反号 关于 y 轴的对称点坐标是(-m,n) 纵坐标相同，横坐标反号 关于原点的对称点坐标是(-m,-n) 横，纵坐标都反号 5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征： 平行于 x 轴的直线上的任意两点：纵坐标相等； 平行于 y 轴的直线上的任意两点：横坐标相等。 6、各象限角平分线上的点的坐标特征： 第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。 第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。 7、点 P（x,y）的几何意义： 点 P（x,y）到 x 轴的距离为 |y|， 初中函数知识 2 点 P（x,y）到 y 轴的距离为 |x|。 点 P（x,y）到坐标原点的距离为 22 yx  8、两点之间的距离： X 轴上两点为 A )0,( 1x 、B )0,( 2x |AB| || 12 xx  Y 轴上两点为 C ),0( 1y 、D ),0( 2y |CD| || 12 yy  已知 A ),( 11 yx 、B ),( 22 yx AB|= 2 12 2 12 )()( yyxx  9、中点坐标公式：已知 A 、B M 为 AB 的中点,则：M=( 2 12 xx  , 2 12 yy  ) 10、点的平移特征： 在平面直角坐标系中， 将点（x,y）向右平移 a 个单位长度，可以得到对应点（ x-a，y）； 将点（x,y）向左平移 a 个单位长度，可以得到对应点（x+a ，y）； 将点（x,y）向上平移 b 个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）； 将点（x,y）向下平移 b 个单位长度，可以得到对应点（x，y－b）。 注意：对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来， 从图形上点的坐标的加减变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。 函数的基本知识： 基本概念 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 和 y，并且对于 x 的每一个确定的 值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把 x 称为自变量，把 y 称为因变量，y 是 x 的函数。 *判断 A 是否为 B 的函数，只要看 B 取值确定的时候，A 是否有唯一确定的值与之对应 3、定义域和值域： 定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。 值域：一般的，一个函数的因变量所得的值的范围，叫做这个函数的值域。 初中函数知识 3 4、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 5、函数的图像 一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标， 那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 6、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。 7：增减性（单调性）：增减性又叫单调性，分两种情况：单调增、单调减 单调增：y 随 x 的增大而增大 单调减：y 随 x 的增大而减小 口诀：“同增异减”， 注意：单调性只适用于单调区间，即有一个 X 只有唯一确定的 y 与之对应时。 8、描点法画函数图形的一般步骤 第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）； 第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描 出表格中数值对应的各点）； 第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。 9、函数的表示方法 列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数 之间的对应规律。 解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系， 但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。 图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。 初中函数知识 4 一次函数图象和性质 【知识梳理】 一、一次函数的基础知识 1、定义：一般地，形如 y=kx＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么 y 叫做 x 的一次函数 当 b=0 时，y=kx＋b 即 y=kx，称为正比倒函数，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 一次函数的一般形式： y=kx+b (k≠0) 说明： ① k 不为零 ②x 指数为 1 ③ b 取任意实数 2、解析式：y=kx+b(k、b 是常数，k  0) 3、图像：一次函数 y=kx+b 的图象是经过（0，b）和（- k b ，0）两点的一条直线，我们称它为直 线 y=kx+b, 4、增减性（单调性）： k>0，y 随 x 的增大而增大（单调增）；k<0，y 随 x 而增大而减小（单调减） 5、必过点：（ 0，b）和（- k b ，0）：理由如下：y=kx+b 中， ⑴当 x=o,时，y= 所以，该函数经过（ ， ）点 ⑵当 y=o,时，x= 所以，该函数经过（ ， ）点 所以，一次函数 y kx b的图象是必经过（ k b ，0）和（0，b）两点的一条直线.， 注：两点确定一条直线。画图时，可通过这两点来确定直线。 6、一次函数图像的画法：两点法 ① 计算必过点（0，b）和（- ，0） ② 描点（有小到大的顺序） ③ 连线（从左到右光滑的直线） 7、增减性： k>0，y 随 x 的增大而增大；k<0，y 随 x 增大而减小. 8、倾斜度(只与 k 相关)：|k|越大，图象越接近于 y 轴；|k|越小，图象越接近于 x 轴. 9、截点（与 b 有关）：（直线与 y 轴的交点，该点到原点的距离叫做截距） ①当 b>0 时直线与 y 轴交于原点上方（即 y 轴的正半轴）； ②当 b<0 时，直线与 y 轴交于原点的下方。（即 y 轴的负半轴） 初中函数知识 5 10、图像的上下平移（只与 b 相关）：直线 y=kx+b,它可以看作由直线 y=kx 平移|b|个单位长度得到. 当 b>0 时，将直线 y=kx 的图象向上平移 b 个单位；口诀“正上” 当 b<0 时，将直线 y=kx 的图象向下平移 b 个单位. 口诀“负下” 例如：y=2x+3, 将直线 y=2x 的图象向 上 平移 3 个单位 y=2x-3, 将直线 y=2x 的图象向 下 平移 3 个单位 练习：y=5x-6,将直线 y=5x 的图象向 下 平移 6 个单位 注：一次函数 y=kx+b 图像的平移，只与 b 有关，将 y=kx 的图像平移，平移方向： b 正 上移，b 负下移 11、一次函数 y kx b的图象与性质 12、两直线之间的位置关系（平行或相交）：（ ）若直线 ： ：3 1 1 1 2 2 2l y k x b l y k x b    ①平行： 当 时， ；当 时， 与 交于 ， 点。k k l l b b b l l b1 2 1 2 1 2 1 2 0  / / ( ) ②相交：将两直线方程联立成一个方程组， 11 22 {y k b y k b   ，解得结果，即为交点。 13、二元一次方程组与一次函数的关系：两元一次函数图象的交点的坐标即为所对应方程组的解。 14、 应用：要点是（1）会通过图象得信息；（2）能根据题目中所给的信息写出表达式。 15、【思想方法】数形结合 。巩固练习：试试画出 y=x, y=x+1, y=-x, y=-x+1 的图像 b>0 b<0 b=0（正比例函数） k>0 经过：第一、二、三象限 不经过：第四象限 经过：第一、三、四象限 不经过：第二象限 经过：第一、三象限 不经过：第二、四象限 增减性（单调性）：图象从左到右上升，y 随 x 的增大而增大，单调增 k<0 经过第一、二、四象限 不经过：第三象限 经过第二、三、四象限 不经过：第一象限 经过第二、四象限 不经过：第一、三象限 增减性（单调性）：图象从左到右下降，y 随 x 的增大而减小，单调减 必过点：经过（ k b ，0）和（0，b）两点，正比例函数即是经过原点（0，0） 初中函数知识 6 反比例函数图象和性质 【知识梳理】 一、反比例函数的基础知识 1、定义：一般地，形如 x ky  （ k 为常数， ok  ）的函数称为反比例函数。 x ky  还可以写成 kxy  1 2、解析式： （ 为常数，） 注：反比例函数解析式的特征： ①等号左边是函数 y ，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数 k（也叫做比例系数 k ）， 分母中含有自变量 x ，且指数为 1. ②比例系数 0k ③自变量 x 的取值为一切非零实数。（反比例函数有意义的条件：分母≠0） ④函数 y 的取值是一切非零实数。 3、增减性（单调性）： k>0，y 随 x 的增大而减小（单调减）；k<0，y 随 x 增大而增大（单调增） 4、反比例函数的图象：双曲线 （1）图像的画法：描点法 ① 列表（应以 O 为中心，沿 O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序） ③ 连线（从左到右光滑的曲线） （ ）对称性： 是中心对称图形，对称中心是原点 是轴对称图形，对称轴是直线 和 2 1 2 ( ) ( ) y x y x      （3）反比例函数 x ky  （ k 为常数， 0k ）中自变量 0x ，函数值 0y ，所以双曲线是不 经过原点，断开的两个分支（称为左、右支），延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。 （ ） 时两支曲线分别位于一、三象限且每一象限内 随 的增大而减小 时两支曲线分别位于二、四象限且每一象限内 随 的增大而增大 3 0 0 k y x k y x      初中函数知识 7 （4）比例系数 k 的几何含义（右图）：反比例函数 y＝ k x (k≠0)中比例系数 k 的 几何意义，即过双曲线 y＝ k x (k≠0)上任意一点 P 作 x 轴、y 轴垂线，设垂足分 别为 A、B，则所得矩形 OAPB 的面积(阴影面积)为 k . （由 y＝ 变形可得：k=xy 因为面积为正数，所以 k 取绝对值。） 5、反比例函数性质如下表： 6、【思想方法】：数形结合 7、3. 应用 （ ）应用在 上 （ ）应用在 上 （ ）其它 其要点是会进行“数形结合”来解决问题 1 2 3 P F S u S t           k 的符号 k＞0 k＜0 图像的大致位置 经过象限 第 象限 第 象限 增减性（单调性： 单调区间内讨论） 在每一象限内，从左到右看， y 随 x 的增大而减小 ； （-∞，0）U（0，+∞）区间 内，单调减 在每一象限内,从左到右看 y 随 x 的增大而增大 （-∞，0）U（0，+∞）区间 内，单调增 图像的对称性 中心称图形，对称中心是原点； 同时，也是轴对称图形，对称轴是直线 y=x 和直线 y=-x o y x y x o 初中函数知识 8 二次函数图象和性质 【知识梳理】 一、二次函数的基础知识： 1．定义：一般地，形如 2y ax bx c   （ abc， ， 是常数， 0a  ）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 0a  ，而bc， 可以为零． 二次函数的定义域（x 的取值范围）：全体实数，R． 2. 解析式（表达式）：一般式： 2y ax bx c   （ ， 是常数）： 说明：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次式， x 的最高次数是 2． ⑵ abc， ， 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项． 22 2244,-2 4 2 4 b ac b b ac by ax bx c a a a a    对于二次函数 ，经过配方变形为顶点式：y=a(x+ ) 其顶点坐标为（ ， ） 补充：⑴二次函数解析式的表示方法（三种） ①一般式： 2y ax bx c   （ a ， b ，c 为常数， 0a  ）； ②顶点式： 2()y a x h k   （ a ， h ， k 为常数， 0a  ）； [抛物线的顶点 P（h，k）] 22 2244,-2 4 2 4 b ac b b ac by ax bx c a a a a    对于二次函数 ，经过配方变形顶点式：y=a(x+ ) 其顶点坐标为（ ， ） ③两根式（交点式）： 12( )( )y a x x x x   （ 0a  ， 1x ， 2x 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）. [仅限于与 x 轴有两个交点 A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线，即△≥0] 其中 22 12 44,22 b b ac b b acxxaa       (即一元二次方程求根公式) 注：在 3 种形式的互相转化中，有如下关系: 2 2 2 12 4 4 4h=- ,2 4 2 2 b ac b b b ac b b acxxa a a a        k= 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只 有抛物线与 x 轴有交点，即 2 40b ac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式 的这三种形式可以互化. ⑵二次函数  2y a x h k   与 2y ax bx c   的比较 从解析式上看， 与 2y ax bx c   是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前 者，即 2 24 24 b ac by a x aa    ，其中 24 24 b ac bhkaa   ， ． 3、二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根 据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况： 1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 初中函数知识 9 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 4、二次函数 2y ax bx c   图象的画法 五点绘图法： ① 利用配方法将二次函数 2y ax bx c   化为顶点式 2()y a x h k   ，确定其开口方向、对称轴及 顶点坐标; ② ②然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点 0 c， 、 以及 0 c， 关于对称轴对称的点  2hc， 、与 x 轴的交点 1 0x ， ， 2 0x ， （若与 x 轴没有交点， 则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x 轴的交点，与 y 轴的交点. 4、二次函数的图像：抛物线 （1）对称性：抛物线是轴对称图形。对称轴：直线 2x b a 对称轴：直线 =- ,对称轴与抛物线唯一的交点为抛 物线的顶点 P。特别地，当 b=0 时，抛物线的对称轴是 y 轴（即直线 x=0） （2）抛物线有一个顶点 P， 24- 24 b ac b aa 坐标为P（ ， ） 当- 2 b a =0 时，P 在 y 轴上；当Δ = 2 4b ac =0 时，P 在 x 轴上。 5、a.b.c 与抛物线的关系（ a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项） （1）a 决定抛物线的开口方向和大小： 开口方向：a 为正(a＞0)，开口朝上，有最小值； a 为负(a＜0)，开口朝下，有最大值； 开口大小：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 （2）a、b 共同决定 x 2 b a 对称轴：直线 =- ab 的符号决定对称轴 a bx 2 的位置，分两种情况： ①当 a 与 b 同号时（即 ab＞0），对称轴在 y 轴左侧； ②当 a 与 b 异号时（即 ab＜0），对称轴在 y 轴右侧。 概括的说就是“左同右异” （3）常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点。 抛物线与 y 轴交于（0，c），分三种情况： ⑴ 当 0c  时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当 0c  时，抛物线与 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 轴交点的纵坐标为 0 ； ⑶ 当 0c  时，抛物线与 轴的交点在 轴下方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为负． 总之，只要 abc， ， 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 6、抛物线与 x 轴交点个数 Δ = ＞0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点。A（x1,0）和 B（x2,0） y=5x2 y=x2 x y 初中函数知识 10 y x O Δ = 2 4b ac =0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点。顶点 P )0,2( a b Δ = ＜0 时，抛物线与 x 轴没有交点。 配图：开口向上(开口向下，情况类似) 7、类比一元二次方程的根的情况： 特别地，二次函数（以下称函数） 2y ax bx c   当 y=0 时，二次函数为关于 x 的一元二次方程（以下称方程），即 2 0ax bx c   此时，函数图像与 x 轴有无交点即方程有无实数根。 函数与 x 轴交点的横坐标即为方程的根。 8、二次函数 2 24 24 b ac by a x aa    的图像和性质 a ＞0 a ＜0 图 象 开 口 对 称 轴 顶点坐标 最 值 当 x＝ 时， y 有最 值，y 当 x＝ 时， y 有最 值，y 增 减 性 在对称轴左 侧 y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大而 在对称轴右 侧 y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大而 9. 应用： （1）最大面积；（2）最大利润；（3）其它 10、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式  2y a x h k   ，确定其顶点坐标 hk， ； y △=0 x △＜0 y x △＞0 y x A B P 初中函数知识 11 ⑵ 保持抛物线 2y ax 的形状不变，将其顶点平移到 hk， 处，具体平移方法如下： 向右(h>0)【或左(h<0)】 平移 |k|个单位 向上(k>0)【或下(k<0)】 平移|k|个单位 向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位 向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位 向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位 向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位 y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2 y=ax 2+ky=ax2 2. 平移规律 在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴ cbxaxy  2 沿 y 轴平移:向上（下）平移 m 个单位， 变成 mcbxaxy  2 （或 mcbxaxy  2 ） ⑵ 沿轴平移：向左（右）平移 个单位， 变成 cmxbmxay  )()( 2 （或 cmxbmxay  )()( 2 ） 初中函数知识 12 函数 y=kx+b(b>0)和 y= x k (k≠0)，在同一坐标系中的图象可能是（ B ） A B C D 在一次函数 y=2x-1 的图象上，到两坐标轴距离相等的点有（ B ） A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、无数个 若点（-2，y1）、（-1，y2）、（ 1，y3）在反比例函数 xy 1 的图像上， 则下列结论中正确的是（ D ） A、y1>y2>y3 B、y1y1>y3 D、y3>y1>y2 已知一次函数 y=(m2-4)x+1-m 的图象在 y 轴上的截距与一次函数 y=(m2-2)x+m2-3 的图象在 y 轴上的截距 互为相反数，则 m=___-1____。