2020年中考数学专题复习：几何辅助线作法小结 14页

D CB A E D F CB A 几何辅助线作法小结 三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种： 1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等 变换中的“对折”． 2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利 用的思维模式是全等变换中的“旋转”． 3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是 三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中 的“平移”或“翻转折叠” 5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将 某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法， 适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连 接起来，利用三角形面积的知识解答． （一）、倍长中线（线段）造全等 1：已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线 AD 的取值范围是_________. 2：如图，△ABC 中，E、F 分别在 AB、AC 上，DE⊥DF， D 是中点，试比较 BE+CF 与 EF 的大小. E D CB A 3：如图，△ABC 中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE. ED CB A 中考应用 以 ABC 的 两 边 AB、AC 为腰分别向外作等腰 Rt ABD 和 等 腰 Rt ACE ， 90 ,BAD CAE     连接 DE，M、N 分别是 BC、DE 的中点．探究：AM 与 DE 的位置 关系及数量关系． （1）如图① 当 为直角三角形时，AM 与 DE 的位置关系是 ， 线段 AM 与 DE 的数量关系是 ； （2）将图①中的等腰 Rt 绕点 A 沿逆时针方向旋转  (0< <90)后，如图②所示， （1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由． （二）、截长补短 1.如图， ABC 中，AB=2AC，AD 平分 BAC ，且 AD=BD，求证：CD⊥AC C D B A D CB A P 21 D CB A P Q C B A 2：如图，AC∥BD，EA,EB 分别平分∠CAB,∠DBA，CD 过点 E，求证;AB＝AC+BD 3：如图，已知在 ABC 内， 0 60BAC， 040C ，P，Q 分别在 BC，CA 上， 并且 AP，BQ 分别是 BAC ， ABC 的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 4：如图，在四边形 ABCD 中，BC＞BA,AD＝CD，BD 平分 ABC ， 求证： 0180 CA 5:如图在△ABC 中，AB＞AC，∠1＝∠2，P 为 AD 上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC O E D CB A 中考应用 （三）、平移变换 1.AD 为△ABC 的角平分线，直线 MN⊥AD 于 A.E 为 MN 上一点，△ABC 周长记为 AP ， △EBC 周长记为 BP .求证 ＞ . 2：如图，在△ABC 的边上取两点 D、E，且 BD=CE，求证：AB+AC>AD ED CB A （四）、借助角平分线造全等 1：如图，已知在△ABC 中，∠B=60°，△ABC 的角平分线 AD,CE 相交于点 O，求证：OE=OD F E D CB A 2：如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC，DG⊥BC 且平分 BC，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F. （1） 说明 BE=CF 的理由；（2）如果 AB= a ，AC=b ，求 AE、BE 的长. 中考应用 如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全 等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： （1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B=60°，AD、CE 分别是∠BAC、∠BCA 的平分线，AD、CE 相交于点 F。请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系； （2）如图③，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你 在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。 （五）、旋转 1：正方形 ABCD 中，E 为 BC 上的一点，F 为 CD 上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF 的度数. E D G F CB A (第 23 题图) O P A M N E B C D F A C E F B D 图① 图② 图③ N M E F A C B A 2：D 为等腰 Rt ABC 斜边 AB 的中点，DM⊥DN,DM,DN 分别交 BC,CA 于点 E,F。 （1） 当 MDN 绕点 D 转动时，求证 DE=DF。 （2） 若 AB=2，求四边形 DECF 的面积。 3.如图， ABC 是边长为 3 的等边三角形， BDC 是等腰三角形，且 0120BDC， 以 D 为顶点做一个 060 角，使其两边分别交 AB 于点 M，交 AC 于点 N，连接 MN，则 AMN 的周长为 ； B C D N M A 中考应用 1、已知四边形 ABCD 中， AB AD ， BC CD ， AB BC ， 120ABC ∠ ， 60MBN ∠ ， MBN∠ 绕 B 点旋转，它的两边分别交 AD DC， （或它们的延长线）于 EF， ． 当 MBN∠ 绕 B 点旋转到 AE CF 时（如图 1），易证 AE CF EF． 当 MBN∠ 绕 B 点旋转到 AE CF 时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成 立？若成立，请给予证明；若不成立，线段 AE CF， ， EF 又有怎样的数量关系？ （图 1） A B C D E F M N （图 2） （图 3） 2、已知:PA= 2 ,PB=4,以 AB 为一边作正方形 ABCD,使 P、D 两点落在直线 AB 的两侧. (1)如图,当∠APB=45°时,求 AB 及 PD 的长; (2)当∠APB 变化,且其它条件不变时,求 PD 的最大值,及相应∠APB 的大小. 3、在等边 ABC 的两边 AB、AC 所在直线上分别有两点 M、N，D 为 ABC 外一点， 且  60MDN ,  120BDC ,BD=DC. 探究：当 M、N 分别在直线 AB、AC 上移动时， BM、NC、MN 之间的数量关系及 AMN 的周长 Q 与等边 的周长 L 的关系． 图 1 图 2 图 3 （I）如图 1，当点 M、N 边 AB、AC 上，且 DM=DN 时，BM、NC、MN 之间的数量关 系是 ； 此时 L Q ； （II）如图 2，点 M、N 边 AB、AC 上，且当 DM DN 时，猜想（I）问的两个结论还 成立吗？写出你的猜想并加以证明； （III） 如图 3，当 M、N 分别在边 AB、CA 的延长线上时， 若 AN= x ，则 Q= （用 x 、L 表示）． 圆中作辅助线的常用方法 （1）作弦心距，以便利用弦心距与弧、弦之间的关系与垂径定理。 （2）若题目中有“弦的中点”和“弧的中点”条件时，一般连接中点和圆心，利用垂径定理的 推论得出结果。 （3）若题目中有“直径”这一条件，可适当选取圆周上的点，连结此点与直径端点得到 90 度 的角或直角三角形。 （4）连结同弧或等弧的圆周角、圆心角，以得到等角。 （5）若题中有与半径（或直径）垂直的线段，如图 1，圆 O 中，BD⊥OA 于 D，经常是： ①如图 1（上）延长 BD 交圆于 C，利用垂径定理。 ②如图 1（下）延长 AO 交圆于 E，连结 BE，BA，得 Rt△ABE。 图 1（上） 图 1（下） （6）若题目中有“切线”条件时，一般是：对切线引过切点的半径， （7）若题目中有“两圆相切”（内切或外切），往往过切点作两圆的切线或作出它们的连心线 （连心线过切点）以沟通两圆中有关的角的相等关系。 （8）若题目中有“两圆相交”的条件，经常作两圆的公共弦，使之得到同弧上的圆周角或构 成圆内接四边形解决，有时还引两连心线以得到结果。 （9）有些问题可以先证明四点共圆，借助于辅助圆中角之间的等量关系去证明。 （10）对于圆的内接正多边形的问题，往往添作边心距，抓住一个直角三角形 去解决。 例题 1：如图，在圆 O 中，B 为 的中点，BD 为 AB 的延长线，∠OAB=500， 求∠CBD 的度数。 例题 2:如图 3,在圆 O 中,弦 AB、CD 相交于点 P，求证：∠APD 的度数 = 2 1 （弧 AD+弧 BC）的度数。 A C B O1 P 一、造直角三角形法 1.构成 Rt△,常连接半径 例 1. 过⊙O 内一点 M ,最长弦 AB = 26cm,最短弦 CD = 10cm ,求 AM 长; 2.遇有直径,常作直径上的圆周角 例 2. AB 是⊙O 的直径,AC 切⊙O 于 A,CB 交⊙O 于 D,过 D 作⊙O 的切线,交 AC 于 E. 求证:CE = AE; 3.遇有切线,常作过切点的半径 例 3 .割线 AB 交⊙O 于 C、D,且 AC=BD,AE 切⊙O 于 E,BF 切⊙O 于 F. 求证:∠OAE = ∠OBF; 4.遇有公切线,常构造 Rt△(斜边长为圆心距,一直角边为两半径的差,另一直角边为公切线长) 例 4 .小 ⊙O1 与大⊙O2 外切于点 A,外公切线 BC、DE 分别和⊙O1、⊙O2 切于点 B、C 和 D、 E，并相交于 P，∠P = 60°。 求证：⊙O1 与⊙O2 的半径之比为 1：3； 5．正多边形相关计算常构造 Rt△ 例 5.⊙O 的半径为 6,求其内接正方形 ABCD 与内接正六边形 AEFCGH 的公共部分的面积. 二、欲用垂径定理常作弦的垂线段 例 6. AB 是⊙O 的直径,CD 是弦,AE⊥CD 于 E,BF⊥CD 于 F.(1)求证:EC = DF; (2)若 AE = 2,CD=BF=6,求⊙O 的面积; 三、转换割线与弦相交的角，常构成圆的内接四边形 例 7. AB 是⊙O 直径,弦 CD⊥AB,M 是 AC 上一点,AM 延长线交 DC 延长线于 F. 求证: ∠F = ∠ACM; 四、切线的综合运用 1．已知过圆上的点，常_________________ 例 8.如图， 已知：⊙O1 与⊙O2 外切于 P，AC 是过 P 点的割线交⊙O1 于 A，交⊙O2 于 C，过点 O1 的直线 AB ⊥BC 于 B.求证： BC 与⊙O2 相切. 例 9.如图，AB 是⊙O 的直径，AE 平分∠BAF 交⊙O 于 E，过 E 点作直线与 AF 垂直交 AF 延长线于 D 点，且交 AB 于 C 点． 求证：CD 与⊙O 相切于点 E． C E B O A D 2.两个条件都没有,常___________________ 例 10. 如图，AB 是半圆的直径， AM⊥MN，BN⊥MN，如果 AM+BN＝AB，求证: 直线 MN 与半圆相切； 例 11.等腰△ABC 中,AB=AC,以底边中点 D 为圆心的圆切 AB 边于 E 点. 求证:AC 与⊙D 相 切; 例 12．菱形 ABCD 两对角线交于点 O，⊙O 与 AB 相切。 求证：⊙O 也与其他三边都相切； 五、两圆相关题型 1．两圆相交作_____________________ 例 13.⊙O1 与⊙O2 相交于 A、B，过 A 点作直线交⊙O1 于 C 点、交⊙O2 于 D 点，过 B 点作 直线交⊙O1 于 E 点、交⊙O2 于 F 点. 求证:CE∥DF; 2.相切两圆作________________________ 例 14. ⊙O1 与⊙O2 外切于点 P,过 P 点的直线分别交⊙O1 与⊙O2 于 A、B 两点，AC 切⊙O1 于 A 点，BC 交⊙O2 于 D 点。 求证：∠BAC = ∠BDP； 3．两圆或三圆相切作_________________ 例 15.以 AB=6 为直径作半⊙O,再分别以 OA、OB 为直径在半⊙O 内作半⊙O1 与半⊙O2，又 ⊙O3 与三个半圆两两相切。求⊙O3 的半径； 4．一圆过另一圆的圆心，作____________ 例 16.两个等圆⊙O1 与⊙O2 相交于 A、B 两点，且⊙O1 过点 O2，过 B 点作直线交⊙O1 于 C 点、交⊙O2 于 D 点. 求证：△ACD 是等边三角形； 六、开放性题目 例 17．已知：如图，以 ABC△ 的边 AB 为直径的 O 交边 AC 于点 D ，且过点 D 的切线 DE 平分边 BC ． （1） BC 与 O 是否相切？请说明理由； （2）当 ABC△ 满足什么条件时，以点O ，B ，E ，D 为顶点的四边形是平行四边形？并 说明理由． （第 23 题） 四边形辅助线做法 一、和平行四边形有关的辅助线作法 1．利用一组对边平行且相等构造平行四边形 例 1 如图 1，已知点 O 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的中点，四边形 OCDE 是平行四 边形. 求证:OE 与 AD 互相平分. 2．利用两组对边平行构造平行四边形 例 2 如图 2，在 △ABC 中，E、F 为 AB 上两点，AE=BF，ED//AC，FG//AC 交 BC 分别为 D， G.求证:ED+FG=AC. 3．利用对角线互相平分构造平行四边形 例 3 如图 3，已知 AD 是△ABC 的中线，BE 交 AC 于 E，交 AD 于 F，且 AE=EF.求证 BF=AC. 二、和菱形有关的辅助线的作法 和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理 解决问题. 例 4 如图 5，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，E 是 AB 上一点， 且 AE=AC，EF//BC 交 AD 于点 F，求证：四边形 CDEF 是菱形. 例 5 如图 6，四边形 ABCD 是菱形，E 为边 AB 上一个定点，F 是 AC 上一个动点，求证 EF+BF 的最小值等于 DE 长. 3． 与矩形有辅助线作法 和矩形有关的题型一般有两种：（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾 股定理解决问题；（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解 决问题和矩形有关的试题的辅助线的作法较少. 例 6 如图 7，已知矩形 ABCD 内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求 PD 的长. 例 7 如图 8，过正方形 ABCD 的顶点 B 作 BE//AC，且 AE=AC，又 CF//AE.求证： ∠BCF= 2 1 ∠AEB. 五、与梯形有关的辅助线的作法 和梯形有关的辅助线的作法是较多的.主要涉及以下几种类型：（1）作一腰的平行线构造平 行四边形和特殊三角形；（2）作梯形的高，构造矩形和直角三角形；（3）作一对角线的平 行线，构造直角三角形和平行四边形；（4） 延长两腰构成三角形；（5）作两腰的平行线等. 例 8 已知，如图 9，在梯形 ABCD 中，AD//BC，AB=AC，∠BAC=90°，BD=BC，BD 交 AC 于点 0.求证：CO=CD. 例 9 如图 10，在等腰梯形 ABCD 中，AD//BC，AC⊥BD，AD+BC=10，DE⊥BC 于 E.求 DE 的长. 六、和中位线有关辅助线的作法 例 10 如图 11，在四边形 ABCD 中，AC 于 BD 交于点 0，AC=BD，E、F 分别是 AB、CD 中 点，EF 分别交 AC、BD 于点 H、G.求证：OG=OH. 中考数学经典几何证明题 1. （1）如图 1 所示，在四边形 ABCD中， AC = BD ， 与 相交于点O ， EF、 分 别是 AD BC、 的中点，联结 EF ，分别交 、 于点 MN、 ，试判断 OMN△ 的形状， 并加以证明； （2）如图 2，在四边形 中，若 AB CD ， EF、 分别是 AD BC、 的中点，联结 FE 并延长，分别与 BA CD、 的延长线交于点 MN、 ，请在图 2 中画图并观察，图中是否 有相等的角，若有，请直接写出结论： ； （3）如图 3，在 ABC△ 中，AC AB ，点 D 在 AC 上，AB CD ，EF、 分别是 的中点，联结 FE 并延长，与 BA 的延长线交于点 M ，若 45FEC   ，判断点 与以 AD 为直径的圆的位置关系，并简要说明理由． 练习 1、为了让州城居民有更多休闲和娱乐的地方，政府又新建了几处广场，工人师傅在铺设地 面时，准备选用同一种正多边形地砖.现有下面几种形状的正多边形地砖，其中不能．．进行平 面镶嵌的是（ ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 2、矩形纸片 ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使 AD 边与对角线 BD 重合，折痕为 DG， 则 AG 的长为（ ） A．1 B． 3 4 C． 2 3 D．2 3、把正方形 ABCD绕着点 A ，按顺时针方向旋转得到正方形 AEFG ，边 FG 与 BC 交于 点 H （如图）．试问线段 HG 与线段 HB 相等吗？ 请先观察猜想，然后再证明你的猜想． 图 1 图 2 图 3 M F E D CB B F E D C A A B A C D E F M N O D C A B G H F E 二、与梯形有关的辅助线的作法 和梯形有关的辅助线的作法是较多的.主要涉及以下几种类型：（1）作一腰的平行线构造平 行四边形和特殊三角形；（2）作梯形的高，构造矩形和直角三角形；（3）作一对角线的平 行线，构造直角三角形和平行四边形；（4） 延长两腰构成三角形；（5）作两腰的平行线等. 例 1 已知，如图，在梯形 ABCD 中，AD//BC，AB=AC，∠BAC=90°，BD=BC，BD 交 AC 于点 0.求证：CO=CD. 例 2 如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD//BC，AC⊥BD，AD+BC=10，DE⊥BC 于 E.求 DE 的 长. 三、和中位线有关辅助线的作法 例 3 如图，在四边形 ABCD 中，AC 于 BD 交于点 0，AC=BD，E、F 分别是 AB、CD 中点， EF 分别交 AC、BD 于点 H、G.求证：OG=OH.