2018-2020年广西各市中考复习数学真题汇编压轴题综合练：《圆》 25页

2018-2020 年广西各市中考复习数学真题汇编 压轴题综合练：《圆》 1．（2020•河池）如图，AB 是⊙O 的直径，AB＝6，OC⊥AB，OC＝5，BC 与⊙O 交于点 D，点 E 是 的中点，EF∥BC，交 OC 的延长线于点 F． （1）求证：EF 是⊙O 的切线； （2）CG∥OD，交 AB 于点 G，求 CG 的长． 2．（2020•广西）如图，在△ACE 中，以 AC 为直径的⊙O 交 CE 于点 D，连接 AD，且∠DAE ＝∠ACE，连接 OD 并延长交 AE 的延长线于点 P，PB 与⊙O 相切于点 B． （1）求证：AP 是⊙O 的切线； （2）连接 AB 交 OP 于点 F，求证：△FAD∽△DAE； （3）若 tan∠OAF＝ ，求 的值． 3．（2020•玉林）如图，AB 是⊙O 的直径，点 D 在直径 AB 上（D 与 A，B 不重合），CD⊥AB， 且 CD＝AB，连接 CB，与⊙O 交于点 F，在 CD 上取一点 E，使 EF＝EC． （1）求证：EF 是⊙O 的切线； （2）若 D 是 OA 的中点，AB＝4，求 CF 的长． 4．（2019•桂林）如图，BM 是以 AB 为直径的⊙O 的切线，B 为切点，BC 平分∠ABM，弦 CD 交 AB 于点 E，DE＝OE． （1）求证：△ACB 是等腰直角三角形； （2）求证：OA2＝OE•DC； （3）求 tan∠ACD 的值． 5．（2019•玉林）如图，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，以 AB 为直径作⊙O 分别交于 AC， BC 于点 D，E，过点 E 作⊙O 的切线 EF 交 AC 于点 F，连接 BD． （1）求证：EF 是△CDB 的中位线； （2）求 EF 的长． 6．（2019•柳州）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，点 F 是⊙O 上一点，且 ＝ ， 连接 FB，FD，FD 交 AB 于点 N． （1）若 AE＝1，CD＝6，求⊙O 的半径； （2）求证：△BNF 为等腰三角形； （3）连接 FC 并延长，交 BA 的延长线于点 P，过点 D 作⊙O 的切线，交 BA 的延长线于点 M．求证：ON•OP＝OE•OM． 7．（2019•河池）如图，五边形 ABCDE 内接于⊙O，CF 与⊙O 相切于点 C，交 AB 延长线于点 F． （1）若 AE＝DC，∠E＝∠BCD，求证：DE＝BC； （2）若 OB＝2，AB＝BD＝DA，∠F＝45°，求 CF 的长． 8．（2019•广西）如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 为⊙O 直径，AB＝6，AD 平分∠BAC， 交 BC 于点 E，交⊙O 于点 D，连接 BD． （1）求证：∠BAD＝∠CBD； （2）若∠AEB＝125°，求 的长（结果保留π）． 9．（2019•贺州）如图，BD 是⊙O 的直径，弦 BC 与 OA 相交于点 E，AF 与⊙O 相切于点 A， 交 DB 的延长线于点 F，∠F＝30°，∠BAC＝120°，BC＝8． （1）求∠ADB 的度数； （2）求 AC 的长度． 10．（2019•贵港）如图，在矩形 ABCD 中，以 BC 边为直径作半圆 O，OE⊥OA 交 CD 边于点 E， 对角线 AC 与半圆 O 的另一个交点为 P，连接 AE． （1）求证：AE 是半圆 O 的切线； （2）若 PA＝2，PC＝4，求 AE 的长． 11．（2018•河池）如图，⊙O 的直径为 AB，点 C 在⊙O 上，点 D，E 分别在 AB，AC 的延长 线上，DE⊥AE，垂足为 E，∠A＝∠CDE． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若 AB＝4，BD＝3，求 CD 的长． 12．（2018•贺州）如图，AB 是⊙O 的弦，过 AB 的中点 E 作 EC⊥OA，垂足为 C，过点 B 作直 线 BD 交 CE 的延长线于点 D，使得 DB＝DE． （1）求证：BD 是⊙O 的切线； （2）若 AB＝12，DB＝5，求△AOB 的面积． 13．（2018•贵港）如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，且 AB＝BC＝CD，AB∥CD，连接 BD． （1）求证：BD 是⊙O 的切线； （2）若 AB＝10，cos∠BAC＝ ，求 BD 的长及⊙O 的半径． 14．（2018•柳州）如图，△ABC 为⊙O 的内接三角形，AB 为⊙O 的直径，过点 A 作⊙O 的切 线交 BC 的延长线于点 D． （1）求证：△DAC∽△DBA； （2）过点 C 作⊙O 的切线 CE 交 AD 于点 E，求证：CE＝ AD； （3）若点 F 为直径 AB 下方半圆的中点，连接 CF 交 AB 于点 G，且 AD＝6，AB＝3，求 CG 的长． 15．（2018•桂林）如图 1，已知⊙O 是△ADB 的外接圆，∠ADB 的平分线 DC 交 AB 于点 M， 交⊙O 于点 C，连接 AC，BC． （1）求证：AC＝BC； （2）如图 2，在图 1 的基础上做⊙O 的直径 CF 交 AB 于点 E，连接 AF，过点 A 做⊙O 的切 线 AH，若 AH∥BC，求∠ACF 的度数； （3）在（2）的条件下，若△ABD 的面积为 ，△ABD 与△ABC 的面积比为 2：9，求 CD 的长． 16．（2018•玉林）如图，在△ABC 中，以 AB 为直径作⊙O 交 BC 于点 D，∠DAC＝∠B． （1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）点 E 是 AB 上一点，若∠BCE＝∠B，tan∠B＝ ，⊙O 的半径是 4，求 EC 的长． 参考答案 1．证明：（1）连接 OE，交 BD 于 H， ∵点 E 是 的中点，OE 是半径， ∴OE⊥BD，BH＝DH， ∵EF∥BC， ∴OE⊥EF， 又∵OE 是半径， ∴EF 是⊙O 的切线； （2）∵AB 是⊙O 的直径，AB＝6，OC⊥AB， ∴OB＝3， ∴BC＝ ＝ ＝ ， ∵S△OBC＝ ×OB×OC＝ ×BC×OH， ∴OH＝ ＝ ， ∵cos∠OBC＝ ， ∴ ＝ ， ∴BH＝ ， ∴BD＝2BH＝ ， ∵CG∥OD， ∴ ， ∴ ＝ ， ∴CG＝ ． 2．解：（1）∵AC 为直径， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ACD+∠DAC＝90°， ∵∠DAE＝∠ACE， ∴∠DAC+∠DAE＝90°， 即∠CAE＝90°， ∴AP 是⊙O 的切线； （2）连接 DB，如图 1， ∵PA 和 PB 都是切线， ∴PA＝PB，∠OPA＝∠OPB，PO⊥AB， ∵PD＝PD， ∴△DPA≌△DPB（SAS）， ∴AD＝BD， ∴∠ABD＝∠BAD， ∵∠ACD＝∠ABD， 又∠DAE＝∠ACE， ∴∠DAF＝∠DAE， ∵AC 是直径， ∴∠ADE＝∠ADC＝90°， ∴∠ADE＝∠AFD＝90°， ∴△FAD∽△DAE； （3）∵∠AFO＝∠OAP＝90°，∠AOF＝∠POA， ∴△AOF∽△POA， ∴ ， ∴ ， ∴PA＝2AO＝AC， ∵∠AFD＝∠CAE＝90°，∠DAF＝∠ABD＝∠ACE， ∴△AFD∽△CAE， ∴ ， ∴ ， ∵ ， 不妨设 OF＝x，则 AF＝2x， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 3．（1）证明：连接 OF，如图 1 所示： ∵CD⊥AB， ∴∠DBC+∠C＝90°， ∵OB＝OF， ∴∠DBC＝∠OFB， ∵EF＝EC， ∴∠C＝∠EFC， ∴∠OFB+∠EFC＝90°， ∴∠OFE＝180°﹣90°＝90°， ∴OF⊥EF， ∵OF 为⊙O 的半径， ∴EF 是⊙O 的切线； （2）解：连接 AF，如图 2 所示： ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AFB＝90°， ∵D 是 OA 的中点， ∴OD＝DA＝ OA＝ AB＝ ×4＝1， ∴BD＝3OD＝3， ∵CD⊥AB，CD＝AB＝4， ∴∠CDB＝90°， 由勾股定理得：BC＝ ＝ ＝5， ∵∠AFB＝∠CDB＝90°，∠FBA＝∠DBC， ∴△FBA∽△DBC， ∴ ＝ ， ∴BF＝ ＝ ＝ ， ∴CF＝BC﹣BF＝5﹣ ＝ ． 4．证明：（1）∵BM 是以 AB 为直径的⊙O 的切线， ∴∠ABM＝90°， ∵BC 平分∠ABM， ∴∠ABC＝ ∠ABM＝45° ∵AB 是直径 ∴∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝∠CBA＝45° ∴AC＝BC ∴△ACB 是等腰直角三角形； （2）如图，连接 OD，OC ∵DE＝EO，DO＝CO ∴∠EDO＝∠EOD，∠EDO＝∠OCD ∴∠EDO＝∠EDO，∠EOD＝∠OCD ∴△EDO∽△ODC ∴ ∴OD2＝DE•DC ∴OA2＝DE•DC＝EO•DC （3）如图，连接 BD，AD，DO，作∠BAF＝∠DBA，交 BD 于点 F， ∵DO＝BO ∴∠ODB＝∠OBD， ∴∠AOD＝2∠ODB＝∠EDO， ∵∠CAB＝∠CDB＝45°＝∠EDO+∠ODB＝3∠ODB， ∴∠ODB＝15°＝∠OBD ∵∠BAF＝∠DBA＝15° ∴AF＝BF，∠AFD＝30° ∵AB 是直径 ∴∠ADB＝90° ∴AF＝2AD，DF＝ AD ∴BD＝DF+BF＝ AD+2AD ∴tan∠ACD＝tan∠ABD＝ ＝ ＝2﹣ 5．（1）证明：连接 AE，如图所示： ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB＝∠AEB＝90°， ∴AE⊥BC，BD⊥AC， ∵AB＝AC， ∴BE＝CE＝3， ∵EF 是⊙O 的切线， ∴OE⊥EF， ∵OA＝OB， ∴OE 是△ABC 的中位线， ∴OE∥AC， ∴OE⊥BD， ∴BD∥EF， ∵BE＝CE， ∴CF＝DF， ∴EF 是△CDB 的中位线； （2）解：∵∠AEB＝90°， ∴AE＝ ＝ ＝4， ∵△ABC 的面积＝ AC×BD＝ BC×AE， ∴BD＝ ＝ ＝ ， ∵EF 是△CDB 的中位线， ∴EF＝ BD＝ ． 6．解：（1）如图 1，连接 BC，AC，AD， ∵CD⊥AB，AB 是直径 ∴ ，CE＝DE＝ CD＝3 ∴∠ACD＝∠ABC，且∠AEC＝∠CEB ∴△ACE∽△CEB ∴ ∴ ∴BE＝9 ∴AB＝AE+BE＝10 ∴⊙O 的半径为 5 （2）∵ ＝ ∴∠ACD＝∠ADC＝∠CDF，且 DE＝DE，∠AED＝∠NED＝90° ∴△ADE≌△NDE（ASA） ∴∠DAN＝∠DNA，AE＝EN ∵∠DAB＝∠DFB，∠AND＝∠FNB ∴∠FNB＝∠DFB ∴BN＝BF， ∴△BNF 是等腰三角形 （3）如图 2，连接 AC，CE，CO，DO， ∵MD 是切线， ∴MD⊥DO， ∴∠MDO＝∠DEO＝90°，∠DOE＝∠DOE ∴△MDO∽△DEO ∴ ∴OD2＝OE•OM ∵AE＝EN，CD⊥AO ∴∠ANC＝∠CAN， ∴∠CAP＝∠CNO， ∵ ∴∠AOC＝∠ABF ∵CO∥BF ∴∠PCO＝∠PFB ∵四边形 ACFB 是圆内接四边形 ∴∠PAC＝∠PFB ∴∠PAC＝∠PFB＝∠PCO＝∠CNO，且∠POC＝∠COE ∴△CNO∽△PCO ∴ ∴CO2＝PO•NO， ∴ON•OP＝OE•OM． 7．（1）证明：∵AE＝DC， ∴ ， ∴∠ADE＝∠DBC， 在△ADE 和△DBC 中， ， ∴△ADE≌△DBC（AAS）， ∴DE＝BC； （2）解：连接 CO 并延长交 AB 于 G，作 OH⊥AB 于 H，如图所示： 则∠OHG＝∠OHB＝90°， ∵CF 与⊙O 相切于点 C， ∴∠FCG＝90°， ∵∠F＝45°， ∴△CFG、△OGH 是等腰直角三角形， ∴CF＝CG，OG＝ OH， ∵AB＝BD＝DA， ∴△ABD 是等边三角形， ∴∠ABD＝60°， ∴∠OBH＝30°， ∴OH＝ OB＝1， ∴OG＝ ， ∴CF＝CG＝OC+OG＝2+ ． 8．（1）证明：∵AD 平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠BAD， ∵∠CAD＝∠CBD， ∴∠BAD＝∠CBD； （2）解：连接 OD， ∵∠AEB＝125°， ∴∠AEC＝55°， ∵AB 为⊙O 直径， ∴∠ACE＝90°， ∴∠CAE＝35°， ∴∠DAB＝∠CAE＝35°， ∴∠BOD＝2∠BAD＝70°， ∴ 的长＝ ＝ π． 9．解：（1）∵AF 与⊙O 相切于点 A， ∴AF⊥OA， ∵∠F＝30°， ∴∠AOF＝60°， ∵OA＝OD，∠AOF＝∠ADB+∠OAF， ∴∠ADB＝∠OAF＝30°． （2）∵∠ACB＝∠ADB＝30°，∠BAC＝120°， ∴∠ABC＝180°﹣120°﹣30°＝30°， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC， ∴ ， ∴OA⊥BC， ∴BE＝CE＝ BC＝4， ∵∠AOB＝60°，OA＝OB， ∴△AOB 是等边三角形， ∴AB＝OB， ∵∠OBE＝30°， ∴OE＝ OB，BE＝ OE＝4， ∴OE＝ ， ∴AC＝AB＝OB＝2OE＝ ． 10．（1）证明：∵在矩形 ABCD 中，∠ABO＝∠OCE＝90°， ∵OE⊥OA， ∴∠AOE＝90°， ∴∠BAO+∠AOB＝∠AOB+∠COE＝90°， ∴∠BAO＝∠COE， ∴△ABO∽△OCE， ∴ ＝ ， ∵OB＝OC， ∴ ， ∵∠ABO＝∠AOE＝90°， ∴△ABO∽△AOE， ∴∠BAO＝∠OAE， 过 O 作 OF⊥AE 于 F， ∴∠ABO＝∠AFO＝90°， 在△ABO 与△AFO 中， ， ∴△ABO≌△AFO（AAS）， ∴OF＝OB， ∴AE 是半圆 O 的切线； （2）解：连接 PB，∵以 BC 边为直径作半圆 O， ∴BP⊥AC， ∴AB2＝AP•AC＝2×6＝12， ∴AB＝2 ， ∴BC＝ ＝2 ， ∴BO＝OC＝ ， ∴AO＝ ＝3 ， ∵∠AOE＝∠ABO＝∠ECO＝90°， ∴∠BAO+∠AOB＝∠AOB+∠COE＝90°， ∴∠BAO＝∠COE， ∴△AOB∽△OEC， ∴ ， ∴ ＝ ， ∴OE＝3， ∴AE＝ ＝3 ． 11．（1）证明：连接 OC， ∵DE⊥AE， ∴∠E＝90°， ∴∠EDC+∠ECD＝90°， ∵∠A＝∠CDE， ∴∠A+∠DCE＝90°， ∵OC＝OA， ∴∠A＝∠ACO， ∴∠ACO+∠DCE＝90°， ∴∠OCD＝90°， ∴OC⊥CD， ∵点 C 在⊙O 上， ∴CD 是⊙O 的切线； （2）解：∵AB＝4，BD＝3， ∴OC＝OB＝ AB＝2， ∴OD＝2+3＝5， ∴CD＝ ＝ ＝ ． 12．（1）证明：∵OA＝OB，DB＝DE， ∴∠A＝∠OBA，∠DEB＝∠DBE， ∵EC⊥OA，∠DEB＝∠AEC， ∴∠A+∠DEB＝90°， ∴∠OBA+∠DBE＝90°， ∴∠OBD＝90°， ∵OB 是圆的半径， ∴BD 是⊙O 的切线； （2）过点 D 作 DF⊥AB 于点 F，连接 OE， ∵点 E 是 AB 的中点，AB＝12， ∴AE＝EB＝6，OE⊥AB， 又∵DE＝DB，DF⊥BE，DB＝5，DB＝DE， ∴EF＝BF＝3， ∴DF＝ ＝4， ∵∠AEC＝∠DEF， ∴∠A＝∠EDF， ∵OE⊥AB，DF⊥AB， ∴∠AEO＝∠DFE＝90°， ∴△AEO∽△DFE， ∴ ， 即 ，得 EO＝4.5， ∴△AOB 的面积是： ＝27． 13．（1）证明：如图 1，作直径 BE，交⊙O 于 E，连接 EC、OC， 则∠BCE＝90°， ∴∠OCE+∠OCB＝90°， ∵AB∥CD，AB＝CD， ∴四边形 ABDC 是平行四边形， ∴∠A＝∠D， ∵OE＝OC， ∴∠E＝∠OCE， ∵BC＝CD， ∴∠CBD＝∠D， ∵∠A＝∠E， ∴∠CBD＝∠D＝∠A＝∠OCE， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∴∠OBC+∠CBD＝90°， 即∠EBD＝90°， ∴BD 是⊙O 的切线； （2）如图 2，∵cos∠BAC＝cos∠E＝ ， 设 EC＝3x，EB＝5x，则 BC＝4x， ∵AB＝BC＝10＝4x， x＝ ， ∴EB＝5x＝ ， ∴⊙O 的半径为 ， 过 C 作 CG⊥BD 于 G， ∵BC＝CD＝10， ∴BG＝DG， Rt△CGD 中，cos∠D＝cos∠BAC＝ ， ∴ ， ∴DG＝6， ∴BD＝12． 14．解：（1）∵AB 是⊙O 直径， ∴∠ACD＝∠ACB＝90°， ∵AD 是⊙O 的切线， ∴∠BAD＝90°， ∴∠ACD＝∠DAB＝90°， ∵∠D＝∠D， ∴△DAC∽△DBA； （2）∵EA，EC 是⊙O 的切线， ∴AE＝CE（切线长定理）， ∴∠DAC＝∠ECA， ∵∠ACD＝90°， ∴∠ACE+∠DCE＝90°，∠DAC+∠D＝90°， ∴∠D＝∠DCE， ∴DE＝CE， ∴AD＝AE+DE＝CE+CE＝2CE， ∴CE＝ AD； （3）如图，在 Rt△ABD 中，AD＝6，AB＝3， ∴tan∠ABD＝ ＝2， 过点 G 作 GH⊥BD 于 H， ∴tan∠ABD＝ ＝2， ∴GH＝2BH， ∵点 F 是直径 AB 下方半圆的中点， ∴∠BCF＝45°， ∴∠CGH＝∠CHG﹣∠BCF＝45°， ∴CH＝GH＝2BH， ∴BC＝BH+CH＝3BH， 在 Rt△ABC 中，tan∠ABC＝ ＝2， ∴AC＝2BC， 根据勾股定理得，AC2+BC2＝AB2， ∴4BC2+BC2＝9， ∴BC＝ ， ∴3BH＝ ， ∴BH＝ ， ∴GH＝2BH＝ ， 在 Rt△CHG 中，∠BCF＝45°， ∴CG＝ GH＝ ． 15．解：（1）∵DC 平分∠ADB， ∴∠ADC＝∠BDC， ∴ ， ∴AC＝BC （2）连接 AO 并延长交 BC 于 I 交⊙O 于 J， ∵AH 是⊙O 的切线且 AH∥BC， ∴AI⊥BC， 由垂径定理得，BI＝IC， ∵AC＝BC， ∴IC＝ AC， 在 Rt△AIC 中，IC＝ AC， ∴∠IAC＝30° ∴∠ABC＝60°＝∠F＝∠ACB， ∵FC 是直径， ∴∠FAC＝90°， ∴∠ACF＝180°﹣90°﹣60°＝30°； （3）过点 D 作 DG⊥AB，连接 AO 由（1）（2）知，△ABC 为等边三角形， ∵∠ACF＝30°， ∴AB⊥CF， ∴AE＝BE， ∴ ， ∴AB＝ ， ∴ ， 在 Rt△AEC 中，CE＝ AE＝9， 在 Rt△AEO 中，设 EO＝x，则 AO＝2x， ∴AO2＝AE2+OE2， ∴ ， ∴x＝6， ∴⊙O 的半径为 6， ∴CF＝12， ∵ ， ∴DG＝2， 过点 D 作 DP⊥CF，连接 OD， ∵AB⊥CF，DG⊥AB， ∴CF∥DG， ∴四边形 PDGE 为矩形， ∴PE＝DG＝2， ∴CP＝PE+CE＝2+9＝11 在 Rt△OPD 中，OP＝5，OD＝6， ∴DP＝ ＝ ， ∴在 Rt△CPD 中，根据勾股定理得，CD＝ ＝2 ． 16．（1）证明：∵AB 是直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠B+∠BAD＝90°， ∵∠DAC＝∠B， ∴∠DAC+∠BAD＝90°， ∴∠BAC＝90°， ∴BA⊥AC， ∴AC 是⊙O 的切线． （2）解：∵∠BCE＝∠B， ∴EC＝EB，设 EC＝EB＝x， 在 Rt△ABC 中，tan∠B＝ ＝ ，AB＝8， ∴AC＝4， 在 Rt△AEC 中，∵EC2＝AE2+AC2， ∴x2＝（8﹣x）2+42， 解得 x＝5， ∴CE＝5．