初中数学中考复习课件章节考点专题突破：聚焦中考专题4 情境应用型问题 51页

专题四　情境应用型问题 要点梳理 情境应用问题是以现实生活为背景 ， 取材新颖 ， 立意巧妙 ， 重在考查阅读理解能力和数学建模能力 ， 让学生在阅读理解的基础上 ， 将实际问题转化为数学问题．其主要类型有代数型 ( 包括方程型、不等式型、函数型、统计型 ) 和几何型两大类． 要点梳理 解决代数型应用问题：关键是审题 ， 弄清关键词句的含义；重点是分析 ， 找出问题中的数量关系 ， 并将其转化为数学式子 ， 进行整理、运算、解答． 解决几何型应用问题：一般是先将实际问题转化为几何问题 ， 再运用相关的几何知识进行解答 ， 要注重数形结合 ， 充分利用 “ 图形 ” 的直观性和 “ 数 ” 的细微性． 三个解题方法 (1) 方程 ( 组 ) 、不等式、函数型情境应用题：解决这类问题的关键是针对背景材料 ， 设定合适的未知数 ， 找出相等关系 ， 建立方程 ( 组 ) 、不等式、函数型模型来解决； (2) 统计概率型应用题：解决这类问题：①要能从多个方面去收集数据信息 ， 特别注意统计图表之间的相互补充和利用；②通过对数据的整理 ， 能从统计学角度出发去描述、分析 ， 并作出合理的推断和预测； (3) 几何型情境应用题：解决这类问题的关键是在理解题意的基础上 ， 对问题进行恰当地抽象与概括 ， 建立恰当的几何模型 ， 从而确定某种几何关系 ， 利用相关几何知识来解决．几何求值问题 ， 当未知量不能直接求出时 ， 一般需设出未知数 ， 继而建立方程 ( 组 ) ， 用解方程 ( 组 ) 的方法去求结果 ， 这是解题中常见的具有导向作用的一种思想． 1 ． ( 2014 · 钦州 ) 如图 ， 在 6 个边长为 1 的小正方形及其部分对角线构成的图形中 ， 如图从 A 点到 B 点只能沿图中的线段走 ， 那么从 A 点到 B 点的最短距离的走法共有 ( ) A ． 1 种　　 B ． 2 种　　 C ． 3 种　　 D ． 4 种 C 2 ． ( 2014 · 随州 ) 某通讯公司提供了两种移动电话收费方式：方式 1 ， 收月基 本费 20 元 ， 再以每分钟 0.1 元的价格按通话时间计费；方式 2 ， 收月基本费 20 元 ， 送 80 分钟通话时间 ， 超过 80 分钟的部分 ， 以每分钟 0.15 元的价格计费． 下列结论： ① 如图描述的是方式 1 的收费方法； ② 若月通话时间少于 240 分钟 ， 选择方式 2 省钱； ③ 若月通讯费为 50 元 ， 则方式 1 比方式 2 的通话时间多； ④ 若方式 1 比方式 2 的通讯费多 10 元 ， 则方式 1 比方式 2 的通话时间多 100 分钟． 其中正确的是 ( ) A ． 只有①② B ．只有③④ C ． 只有①②③ D ．①②③④ C 3 ． ( 2014· 贺州 ) 张华在一次数学活动中 ， 利用 “ 在面积一定的矩形中 ， 正方形的周长最短 ” 的结论 ， 推导出 “ 式子 x ＋ 1 x (x ＞ 0) 的最小值是 2 ” ． 其推导方法如下：在面积是 1 的矩形中设矩形的一边长为 x ， 则另一边长是 1 x ， 矩形的周长是 2(x ＋ 1 x ) ；当矩形成为正方形时 ， 就 有 x ＝ 1 x (x ＞ 0) ， 解得 x ＝ 1 ， 这时矩形的周长 2 (x ＋ 1 x ) ＝ 4 最小 ， 因此 x ＋ 1 x (x ＞ 0) 的最小值是 2. 模仿张华的推导 ， 你求得式子 x 2 ＋ 9 x (x ＞ 0) 的最小值是 ( ) A ． 2 B ． 4 C ． 6 D ． 10 C 4 ． ( 2014· 绍兴 ) 如图 ， 汽车在东西向的公路 l 上行驶 ， 途中 A ， B ， C ， D 四个十字 路口都有红绿灯． AB 之间的距离为 800 米 ， BC 为 1000 米 ， CD 为 1400 米 ， 且 l 上各路口的红绿灯设置为：同 时亮红灯或同时亮绿灯 ， 每次红 ( 绿 ) 灯亮的时间相同 ， 红灯亮的时间与绿灯亮的时间也相同． 若绿灯刚亮时 ， 甲汽车从 A 路口以每小时 30 千米的速度沿 l 向东行驶 ， 同时乙汽车从 D 路口以相同的速度沿 l 向西行驶 ， 这 两辆汽车通过四个路口时都没有遇到红灯 ， 则每次绿灯亮的时间可能设置为 ( ) A ． 50 秒 B ． 45 秒 C ． 40 秒 D ． 35 秒 D 5 ． ( 2014· 山西 ) 一走廊拐角的横截面如图 ， 已知 AB ⊥ BC ， AB ∥ DE ， BC ∥ FG ， 且两组平行墙壁间的走廊宽度都是 1 m ， EF ︵ 的圆心为 O ， 半径为 1 m ， 且 ∠ EOF ＝ 90 ° ， DE ， FG 分别与 ⊙ O 相切于 E ， F 两点．若水平放置的木棒 MN 的两个端点 M ， N 分别在 AB 和 BC 上 ， 且 MN 与 ⊙ O 相切于点 P ， P 是 EF ︵ 的 中点 ， 则木棒 MN 的长度为 m. 方程型情境应用题 【 例 1 】 　 ( 2013 · 温州 ) 某校举办八年级学生数学素养大赛 ， 比赛共设四个项目：七巧板拼图、趣题巧解、数学应用、魔方复原 ， 每个项目得分都按一定百分比折算后记入总分 ， 下表为甲、乙、丙三位同学得分情况 ( 单位：分 ) ： 七巧板拼图 趣题巧解 数学应用 魔方复原 甲 66 89 86 68 乙 66 60 80 68 丙 66 80 90 68 (1) 比赛后 ， 甲猜测七巧板拼图、趣题巧解、数学应用、魔方复原这四个项目得分分别按 10% ， 40% ， 20% ， 30% 折算记入总分 ， 根据猜测 ， 求出甲的总分； 解： ( 1 ) 由题意 ， 得甲的总分为： 66×10% ＋ 89×40% ＋ 86 × 20% ＋ 68×30% ＝ 79.8 ； (2) 本次大赛组委会最后决定 ， 总分为 80 分以上 ( 包含 80 分 ) 的学生获一等奖 ， 现获悉乙、丙的总分分别是 70 分 ， 80 分．甲的七巧板拼图、魔方复原两项得分折算后的分数和是 20 分 ， 问甲能否获得这次比赛的一等奖？ 【 点评 】 本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用、加权平均数的运用 ， 在解答时建立方程组求出趣题巧解和数学运用的百分比是解答本题的关键． 1 ． ( 2014 · 山西 ) 某新建火车站站前广场需要绿化的面积为 46000 平方米 ， 施工队在绿化了 22000 平方米后 ， 将每天的工作量增加为原来的 1.5 倍 ， 结果提前 4 天完成了该项绿化工程． (1) 该项绿化工程原计划每天完成多少平方米？ (2) 该项绿化工程中有一块长为 20 米 ， 宽为 8 米的矩形空地 ， 计划在其中修建两块相同的矩形绿地 ， 它们的面积之和为 56 平方米 ， 两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道 ( 如图所示 ) ， 问人行通道的宽度是多少米？ 不等式型情境应用题 【 例 2 】 　 ( 2014 · 河北 ) 某景区内的环形路是边长为 800 米的正方形 ABCD ， 如图①和图② . 现有 1 号、 2 号两游览车分别从出口 A 和景点 C 同时出发 ， 1 号车顺时针、 2 号车逆时针沿环形路连续循环行驶 ， 供游客随时免费乘车 ( 上、下车的时间忽略不计 ) ， 两车速度均为 200 米 / 分． 探究：设行驶时间为 t 分． (1) 当 0≤t≤8 时 ， 分别写出 1 号车、 2 号车在左半环线离出口 A 的路程 y 1 ， y 2 ( 米 ) 与 t( 分 ) 的函数关系式 ， 并求出当两车相距的路程是 400 米时 ， t 的值； 解：探究： ( 1 ) 由题意 ， 得 y 1 ＝ 200t ， y 2 ＝－ 200t ＋ 1600 ， 当相遇前相距 400 米时 ， － 200t ＋ 1600 － 200t ＝ 400 ， t ＝ 3 ， 当相遇后相距 400 米时 ， 200t － ( － 200t ＋ 1600 ) ＝ 400 ， t ＝ 5. 答：当两车相距的路程是 400 米时 t 的值为 3 分钟或 5 分钟 (2)t 为何值时 ， 1 号车第三次恰好经过景点 C ？并直接写出这一段时间内它与 2 号车相遇过的次数． 发现：如图② ， 游客甲在 BC 上的一点 K( 不与点 B ， C 重合 ) 处候车 ， 准备乘车到出口 A ， 设 CK ＝ x 米． 情况一：若他刚好错过 2 号车 ， 便搭乘即将到来的 1 号车； 情况二：若他刚好错过 1 号车 ， 便搭乘即将到来的 2 号车． 比较哪种情况用时较多？ ( 含候车时间 ) ( 2 ) 由题意 ， 得 1 号车第三次恰好经过景点 C 行驶的路程为： 800 × 2 ＋ 800 × 4 × 2 ＝ 8000 ， ∴ 1 号车第三次经过景点 C 需要的时间为： 8000÷200 ＝ 40 分钟 ， 两车第一次相遇的时间为： 1600 ÷ 400 ＝ 4. 第 一次相遇后两车每相遇一次需要的时间为： 800 × 4÷400 ＝ 8 ， ∴ 两 车相遇的次数为： ( 40 － 4 ) ÷8 ＋ 1 ＝ 5 次 ． ∴ 这一段时间内它与 2 号 车相遇的次数为： 5 次 ． 发现：由题意 ， 得情况一需要时间为： 800 × 4 － x 200 ＝ 16 － x 200 ， 情况二需要的时间为： 80 0 × 4 ＋ x 200 ＝ 16 ＋ x 200 ， ∵ 16 － x 200 ＜ 16 ＋ x 200 ， ∴ 情况二用时较多 ． 决策：已知游客乙在 DA 上从 D 向出口 A 走去．步行的速度是 50 米 / 分．当行进到 DA 上一点 P( 不与点 D ， A 重合 ) 时 ， 刚好与 2 号车迎面相遇． (1) 他发现 ， 乘 1 号车会比乘 2 号车到出口 A 用时少 ， 请你简要说明理由； (2) 设 PA ＝ s(0 ＜ s ＜ 800) 米．若他想尽快到达出口 A ， 根据 s 的大小 ， 在等候乘 1 号车还是步行这两种方式中．他该如何选择？ 【 点评 】 现实世界中的不等关系是普遍存在的．许多问题有时并不需要研究他们之间的相等关系 ， 而只需确定某个量的变化范围即可对所研究的问题有比较清楚的认识．本题主要考查了一元一次不等式的应用 ， 根据已知得出不等式 ， 求出所有方案是解题关键． 2 ． ( 2012 · 宁波 ) 为了鼓励市民节约用水 ， 某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民 “ 一户一表 ” 生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元 / 吨 单价：元 / 吨 17 吨以下 a 0.80 超过 17 吨但不超过 30 吨的部分 b 0.80 超过 30 吨的部分 6.00 0.80 ( 说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量； ② 水费＝自来水费用＋污水处理费用 ) 已知小王家 2012 年 4 月份用水 20 吨 ， 交水费 66 元； 5 月份用水 25 吨 ， 交水费 91 元． (1) 求 a ， b 的值； (2) 随着夏天的到来 ， 用水量将增加．为了节省开支 ， 小王计划把 6 月份的水费控制在不超过家庭月收入的 2%. 若小王家的月收入为 9200 元 ， 则小王家 6 月份最多能用水多少吨？ 当用水量为 30 吨时 ， 水费为： 17 × 3 ＋ 13×5 ＝ 116 元 ， ∵ 9200 × 2% ＝ 184 元 ， 116 ＜ 184 ， ∴小王家六月份的用水量可以超过 30 吨．设小王家六月份用水量为 x 吨 ， 由题意 ， 得 17×3 ＋ 13×5 ＋ 6.8 ( x － 30 ) ≤184 ， 6.8 ( x － 30 ) ≤68 ， 解得 x≤40. 答：小王家六月份最多能用水 40 吨． 统计与概率型情境应用题 【 例 3 】 　 ( 2013 · 潍坊 ) 随着我国汽车产业的发展 ， 城市道路拥堵问题日益严峻．某部门对 15 个城市的交通状况进行了调查 ， 得到的数据如下表所示： 　城市 项目　 北京 太原 杭州 沈阳 广州 深圳 上海 桂林 南通 海口 南京 温州 威海 兰州 中山 上班花费 时间 ( 分钟 ) 52 33 34 34 48 46 47 23 24 24 37 25 24 25 18 上班堵车 时间 ( 分钟 ) 14 12 12 12 12 11 11 7 7 6 6 5 5 5 0 ( 1 ) 根据上班花费时间 ， 将下面的频数分布直方图补充完 整； (2) 求 15 个城市的平均上班堵车时间； ( 计算结果保留一位小数 ) 平均上班堵车时间＝ ( 14 ＋ 12×4 ＋ 11×2 ＋ 7×2 ＋ 6 × 2 ＋ 5×3 ＋ 0 ) ÷15≈8.3 ( 分钟 ) (3) 规定：城市的堵车率＝ 上班堵车时间 上班花费时间－上班堵车时间 × 100 % ， 比如：北京的堵车 率＝ 14 52 － 14 × 100 % ＝ 36.8% ；沈阳的堵车率＝ 12 34 － 12 × 100 % ＝ 54.5 %. 某人欲从北京、 沈阳、上海、温州四个城市中任意选取两个作为出发目的地 ， 求选取的两个城市的堵 车率都超过 30 % 的概率． 【 点评 】 此题主要考查了概率公式的应用以及加权平均数的应用和条形图的应用 ， 根据图表得出正确的数据关系是解题关键．第三问先确定堵车率超过 30% 的城市 ， 再根据概率的意义 ， 用列表或树形图表示出所有可能出现的结果 ， 找出关注的结果 ， 从而求出它的概率． 3 ． ( 2014 · 宁夏 ) 如图是银川市 6 月 1 日至 15 日的空气质量指数趋势折线统计图 ， 空气质量指数小于 100 表示空气质量优良 ， 空气质量指数大于 200 表示空气质量重度污染．某人随机选择 6 月 1 日至 6 月 14 日中的某一天到达银川 ， 共停留 2 天． (1) 求此人到达当天空气质量优良的天数； 解： ( 1 ) 此人到达当天空气质量优良的有：第 1 天、第 2 天、第 3 天、第 7 天、第 12 天 ， 共 5 天 (2) 求此人在银川停留 2 天期间只有一天空气质量是重度污染的概率； (3) 由折线统计图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大． ( 只写结论 ) 根据折线图可得从第 5 天开始的第 5 天、第 6 天、第 7 天连续三天的空气质量指数方差最大． 几何型情境应用题 【 例 4 】 　 ( 2013 · 陕西 ) 一天晚上 ， 李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯 D 的高度．如图 ， 当李明走到点 A 处时 ， 张龙测得李明直立时身高 AM 与其影子长 AE 正好相等；接着李明沿 AC 方向继续向前走 ， 走到点 B 处时 ， 李明直立时身高 BN 的影子恰好是线段 AB ， 并测得 AB ＝ 1.25 m ．已知李明直立时的身高为 1.75 m ， 求路灯的高 CD 的长． ( 结果精确到 0.1 m ) 解：设 CD 长为 x 米 ， ∵ AM ⊥ EC ， CD ⊥ EC ， BN ⊥ EC ， EA ＝ MA ∴ MA ∥ CD ∥ BN ， ∴ EC ＝ CD ＝ x ， ∴△ ABN ∽△ ACD ， ∴ BN CD ＝ AB AC 即 1.75 x ＝ 1.25 x － 1.75 ， 解得： x ＝ 6.125 ≈ 6.1. ∴ 路灯高 CD 约为 6.1 米． 【 点评 】 本题考查了相似三角形的应用 ， 解题的关键是根据已知条件得到平行线 ， 从而证得相似三角形． 4 ． ( 2014 · 德州 ) 问题背景： 如图 ① ：在四边形 ABCD 中， AB ＝ AD ， ∠ BAD ＝ 120° ， ∠ B ＝ ∠ ADC ＝ 90°.E ， F 分别是 BC ， CD 上的点．且 ∠ EAF ＝ 60°. 探究图中线段 BE ， EF ， FD 之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是 ， 延长 FD 到点 G. 使 DG ＝ BE. 连结 AG ， 先证明 △ ABE ≌△ ADG ， 再证明 △ AEF ≌△ AGF ， 可得出结论 ， 他的结论应是 ； EF ＝ BE ＋ DF 探索延伸： 如图 ② ， 若在四边形 ABCD 中 ， AB ＝ AD ， ∠ B ＋ ∠ D ＝ 180 ° . E ， F 分别是 BC ， CD 上的点 ， 且 ∠ EAF ＝ 1 2 ∠ BAD ， 上述结论是否仍然 成立 ， 并说明理由； 实际应用： 如图 ③ ， 在某次军事演习中 ， 舰艇甲在指挥中心 ( O 处 ) 北偏西 30° 的 A 处 ， 舰艇乙在指挥中心南偏东 70° 的 B 处 ， 并且两舰艇到指挥中心的距离相等 ， 接到行动指令后 ， 舰艇甲向正东方向以 60 海里 / 小时的速度前进 ， 舰艇乙沿北偏东 50° 的方向以 80 海里 / 小时的速度前进 .1.5 小时后 ， 指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达 E ， F 处 ， 且两舰艇之间的夹角为 70° ， 试求此时两舰艇之间的距离． 实际应用：如图 ， 连接 EF ， 延长 AE 、 BF 相交于点 C ， ∵∠ AOB ＝ 30 ° ＋ 90 ° ＋ ( 90 ° － 70 ° ) ＝ 140 ° ， ∠ EOF ＝ 70 ° ， ∴∠ EAF ＝ 1 2 ∠ AOB ， 又 ∵ OA ＝ OB ， ∠ OAC ＋ ∠ OBC ＝ ( 90 ° － 30 ° ) ＋ ( 70 ° ＋ 50 ° ) ＝ 180 ° ， ∴ 符合探索延伸中的条件 ， ∴ 结论 EF ＝ AE ＋ BF 成 立 ， 即 EF ＝ 1.5 × ( 60 ＋ 80 ) ＝ 210 海里 ． 答：此时两舰艇之间的距离 是 210 海里 ． 试题 为了鼓励居民节约用水 ， 我市某地水费按下表规定收取： 每户每月用 水量 不超过 10 吨 ( 含 10 吨 ) 超过 10 吨的 部分 水费单价 1.30 元 / 吨 2.00 元 / 吨 (1) 若某户用水量为 x 吨 ， 需付水费为 y 元 ， 则水费 y ( 元 ) 与用水量 x ( 吨 ) 之间的函数关系式是： y ＝ î ï í ï ì （ 0 ≤ x ≤ 10 ） ， （ x ＞ 10 ）； (2) 若小华家 4 月份付水费 17 元 ， 问他家 4 月份用水多少吨？ (3) 已知该住宅小区 100 户居民 5 月份交水费 1682 元 ， 且该月每户用水量不超过 15 吨 ( 含 15 吨 ) ， 求该月用水量不超过 10 吨的居民最多可能有多少户？ 错解 　 (1)1.3 x ； 13 ＋ 2( x － 10) (2) 设小华家 4 月份用水量为 x 吨 ， ∵ 17 ＞ 1.3×10 ， ∴小华家 4 月份用水量超过 10 吨 ， 由题意 ， 得 1.3×10 ＋ ( x － 10)×2 ＝ 17 ， 2 x ＝ 24 ， x ＝ 12 ， 即小华家 4 月份用水 12 吨． (3) 由题意 ， 要求这个月用水量不超过 10 吨的居民最多的户数 ， 则假设每户用水量均用了 10 吨 ， 即 1.3×1000 ＝ 1300 ， 那么 1682 － 1300 ＝ 382( 元 ) ．表明当每户用 10 吨水时 ， 还有一部分用户又用了 382 元的水 ， 则按 15 吨的用水量去计算用户数 ， 那么余下的表示不超过 10 吨的用户数 ， 此时不超过 10 吨的用户数将达到最多 ， 即 382÷[(15 － 10)×2] ＝ 38.2( 户 ) ， 四舍五入取 38 户．故不超过 10 吨的用户数为 100 － 38 ＝ 62( 户 ) ． 剖析 　此题在第 (3) 问的分析中 ， 没有按题意建立不等式去求解 ， 则容易造成与实际情况脱轨．若不超过 10 吨用水量的居民有 62 户 ， 则即使这 62 户都用了 10 吨水 ， 总水费为 13 × 62 ＝ 806( 元 ) ；还有 38 户即使都用了 15 吨水 ， 其总水费仅为： 38 × [13 ＋ (15 － 10) × 2] ＝ 874( 元 ) ．那么这 100 户居民的总水费仅为 806 ＋ 874 ＝ 1680( 元 ) ＜ 1682( 元 ) ．问题出在每户用水超过 10 吨时不能用四舍五入的方式取整数解 ， 而应该取大于 38.2 的整数解 ， 即 39 户．故这个月用水量不超过 10 吨的居民最多为 100 － 39 ＝ 61( 户 ) ． 正解　 (1)1.3 x ； 13 ＋ 2( x － 10) (2) 设小华家 4 月份用水量为 x 吨． ∵ 17 ＞ 1.30 × 10 ， ∴ 小华家 4 月份用水量超过 10 吨．由题意得 1.3 × 10 ＋ ( x － 10) × 2 ＝ 17 ， ∴ 2 x ＝ 24 ， ∴ x ＝ 12( 吨 ) ．即小华家 4 月份的用水量为 12 吨． (3) 设该月用水量不超过 10 吨的用户有 a 户 ， 则超过 10 吨不超过 15 吨的用户为 (100 － a ) 户 ， 由题意得 13 a ＋ [13 ＋ (15 － 10)×2](100 － a )≥1682 ， 化简得 10 a ≤618 ， ∴ a ≤61.8. 故正整数 a 的最大值为 61. 即这个月用水量不超过 10 吨的居民最多可能有 61 户．