2020-2021九年级数学上册一元二次方程单元同步练习2（新人教版pdf格式） 22页

2020-2021 学年初三数学上册各单元同步练习：一元二次方程（二） 一、单选题 1．关于 x 的一元二次方程 2 2 2 0x mx n   有两个整数根且乘积为正，关于 y 的一元二次方程 2 2 2 0y n y m   同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；② 22(1)(1)2mn ；③ 1 2 2 1mn    ，其中正确结论的个数是（ ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 【答案】D 【解析】 【分析】设方程 的两根为 x1、x2，方程 同的两根为 y1、y2．①根据方 程解的情况可得出 x1•x2=2n＞0、y1•y2=2m＞0，结合根与系数的关系可得出 x1+x2=-2m、y1+y2=-2n，进而得 出这两个方程的根都是负根，①正确；②由方程有两个实数根结合根的判别式即可得出 m2-2n≥0、n2-2m≥0， 将（m-1）2+（n-1）2 展开代入即可得出②正确；③根据根与系数的关系可得出 2m-2n=（y1+1）（ y2+1）-1、 2n-2m=（x1+1）（ x2+1）-1，结合 x1、x2、y1、y2 均为负整数即可得出-1≤2m-2n≤1，③成立．综上即可得出 结论． 【详解】 设方程 的两根为 x1、x2，方程 同的两根为 y1、y2． ①∵关于 x 的一元二次方程 x2+2mx+2n=0 有两个整数根且乘积为正，关于 y 的一元二次方程 y2+2ny+2m=0 同样也有两个整数根且乘积为正， ∴x1•x2=2n＞0，y1•y2=2m＞0， ∵x1+x2=-2m，y1+y2=-2n， ∴这两个方程的根都是负根，①正确； ②∵关于 x 的一元二次方程 x2+2mx+2n=0 有两个整数根且乘积为正，关于 y 的一元二次方程 y2+2ny+2m=0 同样也有两个整数根且乘积为正， ∴4m2-8n≥0，4n2-8m≥0， ∴m2-2n≥0，n2-2m≥0， ∴（m-1）2+（n-1）2=m2-2n+1+n2-2m+1≥2，②正确； ③∵y1•y2=2m，y1+y2=-2n， ∴2m-2n=y1•y2+y1+y2=（y1+1）（ y2+1）-1， ∵y1、y2 均为负整数， ∴（y1+1）（ y2+1）≥0， ∴2m-2n≥-1． ∵x1•x2=2n，x1+x2=-2m， ∴2n-2m=x1•x2+x1+x2=（x1+1）（ x2+1）-1， ∵x1、x2 均为负整数， ∴（x1+1）（ x2+1）≥0， ∴2 n -2 m≥-1，即 2m-2n≤1． ∴-1≤2m-2n≤1，③成立． 综上所述：成立的结论有①②③． 故选 D． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的根的判别式，根据不同结论灵活运用根与系数 的关系是解决本题的关键,也是解决问题的难点． 2．若实数 a、b 满足 a2﹣8a+5=0，b2﹣8b+5=0，则 11 11 ba ab  的值是（ ） A．﹣20 B．2 C．2 或﹣20 D． 1 2 【答案】C 【解析】 【分析】分两种情况进行讨论：①当 a=b 时，可直接得出答案；②当 a≠b 时，根据实数 a、b 满足 a2﹣8a+5=0， b2﹣8b+5=0，即可看成 a、b 是方程 x2﹣8x+5=0 的解，根据根与系数的关系列出关于 a，b 的等式即可求解． 【详解】 解：①当 a=b 时，原式=2； ②当 a≠b 时，根据实数 a、b 满足 a2﹣8a+5=0，b2﹣8b+5=0，即可看成 a、b 是方程 x2﹣8x+5=0 的解，∴a+b=8， ab=5． 则 11 11 ba ab = 2211 11 ba ab     （ ） （ ） （ ）（ ） = 2 222 1 ababab abab   （ ） （ ） （ ） ， 把 a+b=8，ab=5 代入得： = 28 10 16 2 5 8 1   =﹣20． 综上可得： 的值为 2 或﹣20． 故选 C． 【点评】本题考查了根与系数的关系，难度适中，关键是把 a、b 是方程 x2﹣8x+5=0 的解，然后根据根与系 数的关系解题． 3．某校办工厂生产的某种产品，今年产量为 200 件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增 长一个相同的百分数，使得三年的总产量达到 1 400 件．若设这个百分数为 x ，则可列方程（ ） A．   220020011400x B．    2200200120011400xx C．   220011400x D．    2200120011400xx 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意：第一年的产量+第二年的产量+第三年的产量=1400 且今后两年的产量都比前一年增长 一个相同的百分数 x． 【详解】 解：已设这个百分数为 x． 200+200（1+x）+200（1+x）2=1400． 故选：B． 【点评】本题考查对增长率问题的掌握情况，理解题意后以三年的总产量做等量关系可列出方程． 4．教育局组织学生篮球赛，有 x 支球队参加，每两队赛一场时，共需安排 45 场比赛，则符合题意的方程 为（ ） A．  1 1 452 xx B．  1 1 452 xx C．  145xx D．  145xx 【答案】A 【解析】 【分析】先列出 x 支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛 x（x-1）场，再根据题意列出方程为 ． 【详解】 解：∵有 x 支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场， ∴共比赛场数为  1 1 4 52 xx ， 故选：A． 【点评】本题是由实际问题抽象出一元二次方程，主要考查了从实际问题中抽象出相等关系． 5．已知关于 x 的方程 x2+mx+1＝0 根的判别式的值为 5，则 m＝（ ） A．±3 B．3 C．1 D．±1 【答案】A 【解析】 【分析】根据根的判别式得出方程 m2﹣4×1×1＝5，求出方程的解即可． 【详解】 解：∵关于 x 的方程 x2+mx+1＝0 根的判别式的值为 5， ∴m2﹣4×1×1＝5， 解得：m＝±3 ， 故选 A． 【点评】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键． 6．若 α，β 是方程 x2+2x﹣2005=0 的两个实数根，则 α2+3α+β 的值为（ ） A．2005 B．2003 C．﹣2005 D．4010 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解则可．设 x1，x2 是关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c 为常数）的两个实数根，则 x1+x2=- b a ，x1x2= c a ．而 α2+3α+β=α2+2α+（α+β）， 即可求解． 【详解】 α,β 是方程 x2+2x−2005=0 的两个实数根，则有 α+β=−2. α 是方程 x2+2x−2005=0 的根,得 α2+2α−2005=0,即：α2+2α=2005. 所以 α2+3α+β=α2+2α+(α+β)=α2+2α−2=2005−2=2003， 故选 B. 【点评】此题考查根与系数的关系，一元二次方程的解，解题关键在于掌握运算法则. 7．甲公司前年缴税 a 万元，去年和今年缴税的年平均增长率均为 b，则今年该公司应缴税（ ）万元。 A． 2(1 % )ab B． 2(1 )ab C． 2( % )a a b D． 2(1 % )ab 【答案】B 【解析】 【分析】解答此题运用的数量关系：前年缴税数×（1+年平均增长率）2=今年缴税数，由此直接列式解答即 可． 【详解】 因为公司前年缴税 a 万元，两年的年平均增长率均为 b，所以今年缴税数=a（1+b）2 万元． 故选 B． 【点评】解答此题的关键是找准单位“1”，去年是前年的（1+b）倍，今年是去年的（1+b）倍，由此解决问 题． 8．已知关于 x 的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0 有实数根，则 m 的取值范围是（ ） A．m≤ 5 4 B．m≤ 且 m≠1 C．m＜ D．m＜ ，且 m≠1 【答案】B 【解析】 【分析】根据根的判别式和一元二次方程的定义得出不等式组，求出不等式组的解集即可． 【详解】 ∵关于 x 的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0 有实数根， ∴△＝12﹣4（m﹣1）•1≥0 且 m﹣1≠0， 解得：m≤ 5 4 且 m≠1， 故选：B． 【点评】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义等知识点，能根据题意得出不等式组是解此题的关 键． 9．将方程 2 650xx 化为 2()x m n的形式，则 m，n 的值分别是（ ） A．3 和 5 B．-3 和 5 C．3 和 14 D．-3 和 14 【答案】D 【解析】 ∵x2−6x−5=0， ∴x2−6x=5， ∴x2−6x+9=5+9， ∴(x−3)2=14， ∴m=−3，n=14. 故选：D. 10．微信红包是沟通人们之间感情的一种方式，已知小明在 2016 年“元旦节”收到微信红包为 300 元，2018 年为 675 元，若这两年小明收到的微信红包的年平均增长率为 x，根据题意可列方程为( ) A．300(1+2x)＝675 B．300(1+x2)＝675 C．300(1+x)2＝675 D．300+x2＝675 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得 2017 年收到的微信红包为 300(1+x)元，2018 年收到的微信红包为 300(1+x)(1+x)元， 进而可列出方程. 【详解】 这两年小明收到的微信红包的年平均增长率为 x，由题意得： 300(1+x)2＝675， 故选 C． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，正确理解题意，表示出 2017、2018 年微信收到 的红包是解题的关键. 11．已知关于 x 的一元二次方程 2(1)210axx 有实数根，则 a 的取值范围是（ ） A． 2a  B． 2a  C． 且 1a  D． 2a  【答案】C 【解析】 【分析】根据方程有两个实数根列出关于 a 的不等式，求出 a 的取值范围即可． 【详解】 解：∵关于 x 的一元二次方程（a－1）x2－2x＋1＝0 有两个实数根， ∴ 10 44(1)0 a a    … ， 解得 a≤2 且 a≠1． 故选：C． 【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与△ ＝b2－4ac 的关系是 解答此题的关键． 12．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上 4 的是（ ） A．x2﹣2x＝5 B．x2+4x＝5 C．2x2﹣4x＝5 D．4x2+4x＝5 【答案】B 【解析】 【分析】配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为 1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 【详解】 A、因为本方程的一次项系数是-2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方 1；故本选项错误； B、因为本方程的一次项系数是 4，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方 4；故本选项正确； C、将该方程的二次项系数化为 x 2 -2x= 5 2 ，所以本方程的一次项系数是-2，所以等式两边同时加上一次项 系数一半的平方 1；故本选项错误； D、将该方程的二次项系数化为 x 2 +x= 5 4 ，所以本方程的一次项系数是 1，所以等式两边同时加上一次项 系数一半的平方 1 4 ；故本选项错误； 故选 B． 【点评】本题考查的知识点是配方法解一元二次方程，解题关键是注意选择用配方法解一元二次方程时， 最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2 的倍数． 二、填空题 13．已知关于 x 的方程 2 25 21 x px x   =5x+p 有且只有一个正实数根，则 p 的范围为__________. 【答案】p≥-5 【解析】 【分析】把方程 =5x+p 转化为 9x2-5x-p-5=0,然后根据一元二次方程根与系数的关系求解即可. 【详解】 原方程变形为 9x2-5x-p-5=0, ∵关于 x 的方程 =5x+p 有且只有一个正实数根, ∴设方程的两个实根为 x1,x2, 即∆≥0 且 x1,x2≤0, ∴25+36(p+5) ≥0 且-p-5≤0, 解得 p≥-5, 故答案为 p≥-5. 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac 与根的关系，熟练掌握根的 判别式与根的关系式解答本题的关键.当∆>0 时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0 时，一元二 次方程有两个相等的实数根；当∆<0 时，一元二次方程没有实数根. 14．若 a 与b 是关于 x 的方程 2 2 2012 0xx   的两根，则 2 3 ________a a b   ． 【答案】2010 【解析】 【详解】 ∵a 是关于 x 的方程 2 220120xx 的根， ∴a2+2a﹣2012=0，即 a2+2a=2012， ∴原式=a+b+2012， 又∵ a 与 b 是关于 的方程 的两根， ∴a+b=﹣2， 则原式=﹣2+2012=2010. 故答案为 2010. 15．某电解金属锰厂从今年 1 月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），这样既改善了环境，又降低了 原料成本，根据统计，在使用回收净化设备后的 至 月的利润的月平均值 w （万元）满足 1090wx， 问前________个月的利润等于 1620 万元？ 【答案】9 【解析】 【分析】设前 x 个月的利润和等于 1620 万元，根据 “总利润=月利润的平均值×月数”列出方程，解方程即 可求解． 【详解】 设前 x 个月的利润和等于 1620 万元， x（1090x  ）=1620 整理得：x2+9x-162=0 解得 x1=9，x2=-18（舍去）， 答：前 9 个月的利润和等于 1620 万元． 故答案为：9. 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据等量关系“总利润=月利润的平均值×月数”，正确列出方程 是解决问题的关键． 16．若 ABC 的一边为 4 ，另两边分别满足 2 5 6 0xx   的两根，则 的周长为________． 【答案】9 【解析】 【分析】设 x2-5x+6=0 的两个根分别为 x1、x2，由根与系数的关系可得出 x1+x2=5，再加上三角形的另外一 边长度即可求解． 【详解】 设 的两个根分别为 x1、x2，则有 x1+x2=- b a =5， ∴△ABC 的周长为 x1+x2+4=5+4=9． 故答案为：9． 【点评】本题考查了根与系数的关系以及三角形的周长，解题的关键是找出三角形的两边之和．解决该题 型题目时，由根与系数的关系得出两根之和，再结合三角形的周长公式即可解决问题． 三、解答题 17．已知关于 x 的方程 24 8 3 2x nx n   和  223220xnxn ，是否存在这样的 n 值，使第一个 方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的 值；若不存在，请说明 理由？ 【答案】存在，n=0. 【解析】 【分析】在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含 n 的式子表示出两个实数根的差的平方， 把方程②分解因式，建立方程求 n，要注意 n 的值要使方程②的根是整数. 【详解】 若存在 n 满足题意. 设 x1，x2 是方程①的两个根，则 x1+x2=2n，x1x2= 32 4 n  ，所以(x1-x2)2=4n2+3n+2， 由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0， ①若 4n2+3n+2=-n+1，解得 n=- 1 2 ，但 1-n= 3 2 不是整数，舍. ②若 4n2+3n+2=2(n+2)，解得 n=0 或 n=- 1 4 (舍)， 综上所述，n=0. 18．已知方程  2 160xkx 是关于 x 的一元二次方程． （1）求证；对于任意实数 k ，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是 2 ，求 的值及方程的另一个根． 【答案】（1）见详解；（2） 0k  ，另一个根是 3 . 【解析】 【分析】（1）直接利用一元二次方程根的判别式进行判断，即可得到结论成立； （2）直接把 2x  代入方程求出 k，然后利用根与系数的关系，即可得到另一个根. 【详解】 解：（1）∵ ， ∴ 22( 1) 4 1 ( 6) ( 1) 24kk          ， ∵ 2( 1 ) 0k  ≥ ， ∴ 2( 1 ) 2 4 0k    ， ∴对于任意实数 k ，原方程总有两个不相等的实数根； （2）∵  2 160xkx ， 当 2x  时，有  42160k ， 解得： 0k  ； ∴原方程为： 2 60xx   ， 设另一个根为 2x ，则 226x  ， ∴ 2 3x  ， ∴原方程的另一个根是 3 . 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，以及方程的解，解题的关键是熟练掌握 根的判别式和根与系数的关系进行解题. 19．某种服装平均每天可销售 20 件，每件盈利 44 元，若每件降价 1 元，每天可多售 5 件，若设每件降价 x 元． （1）根据题意，填表： 每件利润（元） 销售量（件） 利润（元） 降价前 44 20 880 降价后 ① ② （2）若每天盈利 1600 元，则每件应降价多少元？ 【答案】（1）见解析（2）降价 4 元或 36 元 【解析】 【分析】（1）根据题意确定出降价后的利润与销售量，以及利润即可； （2）根据盈利的钱数，确定出应降的价即可． 【详解】 （1）根据题意，填表： 每件利润（元） 销售量（件） 利润（元） 降价前 44 20 880 降价后 44﹣x 20+5x （44﹣x）（ 20+5x） （2）根据题意得：（44﹣x）（ 20+5x）=1600 整理得：（x﹣4）（ x﹣36）=0 解得：x=4 或 x=36． 答：每件应降价 4 元或 36 元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题中的等量关系是解答本题的关键． 20．阅读材料：各类方程的解法 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为 x=a 的形式．求解二元一次方程组，把它转化为 一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程， 把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根， 所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想 转化，把未 知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程 x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把 它转化为 x(x2+x-2)=0，解方程 x=0 和 x2+x-2=0，可得方程 x3+x2-2x=0 的解． （1）问题：方程 x3+x2-2x=0 的解是 x1=0,x2= ，x3= ； （2）拓展：用“转化”思想求方程 23xx的解； （3）应用：如图，已知矩形草坪 ABCD 的长 AD=8m，宽 AB=3m，小华把一根长为 10m 的绳子的一端固 定在点 B，沿草坪边沿 BA，AD 走到点 P 处，把长绳 PB 段拉直并固定在点 P，然后沿草坪边沿 PD、DC 走到点 C 处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点 C．求 AP 的长． 【答案】(1)-2，1；（ 2）x=3；（ 3）4m. 【解析】 【分析】（1）因式分解多项式，然后得结论； （2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根； （3）设 AP 的长为 xm，根据勾股定理和 BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理 方程转化为整式方程，求解， 【详解】 解：（1） 3220xxx ，  2 20x x x   ，   2 1 0x x x   所以 0x  或 20x 或 10x  1 0x， 2 2x  ， 3 1x  ； 故答案为 2 ，1； （2） 23xx， 方程的两边平方，得 223xx 即 2 2 3 0xx      3 1 0xx   30x   或 10x  1 3x， 2 1x  ， 当 1x  时， 23111x  ， 所以 1 不是原方程的解． 所以方程 的解是 3x  ； （3）因为四边形 A B C D 是矩形， 所以 90AD  ， 3ABCDm 设 AP xm ，则  8PD x m 因为 10BP CP， 22BP AP AB， 22CP CD PD   229 8 9 10xx       2 289109xx 两边平方，得 2 228 9 100 20 9 9x x x       整理，得 25949xx 两边平方并整理，得 2 8 1 6 0xx 即 240x  所以 4x  ． 经检验， 是方程的解． 答： AP 的长为 4 m ． 【点评】考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法．解无理方程是注意到验根．解决（3）时，根据 勾股定理和绳长，列出方程是关键． 21．每年的3月15日是“国际消费者权益日”，许多商家都会利用这个契机进行打折促销活动．甲卖家的퐴商 品成本为500元，在标价800元的基础上打9折销售． (1)现在甲卖家欲继续降价吸引买主，问最多降价多少元，才能使利润率不低于10%？ (2)据媒体爆料，有一些卖家先提高商品价格后再降价促销，存在欺诈行为．乙卖家也销售퐴商品，成本、 标价与甲卖家一致，以前每周可售出50件，为扩大销量，尽快减少库存，他决定打折促销．但他先将标价 提高3푚%，再大幅降价26푚元，使得퐴商品在3月15日那一天卖出的数量就比原来一周卖出的数量增加了 12 5 푚%，这样一天的利润达到了20000元，求푚． 【答案】（1）最多降价170元，才能使利润率不低于10%；（ 2）푚 = 250 3 【解析】 【分析】（1）设降价 x 元，根据“利润率不低于 10%”列出不等式求解即可； （2）设 m%=a，根据“A 商品在 3 月 15 日那一天卖出的数量就比原来一周卖出的数量增加了12 5 푚%，这样一 天的利润达到了 20000 元”列出方程求得 a 后即可求得 m 的值． 【详解】 解：（1）设降价 x 元，列不等式为： （800×0.9﹣x）≥500（1+10%） 解得：x≤170． 答：问最多降价 170 元，才能使利润率不低于 10%． （2）设 m%=a，根据题意得：[800（1+3a）﹣2600a﹣500]•50（1+12 5 a）=20000 整理得：24a2﹣26a+5=0 解得：a1=5 6，a2=1 4（舍去），∴m%=5 6，∴m=250 3 ． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是从题目中整理出等量关 系和不等关系，难度不大． 22．百货商店服装专柜在销售中发现：某商品的进价为每件 40 元．当售价为每件 60 元时，每星期可卖出 300 件，现需降价处理，且经市场调查：每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件．为占有市场份额，在确保盈利的 前提下．  1 降价多少元时，每星期盈利为 6125 元．  2 降价多少元时，每星期盈利额最大，最大盈利额是多少？ 【答案】(1) 见解析；（2）降价 2 . 5 元时，每星期盈利为 元. 【解析】 【分析】（1）设降价 x 元时，每星期盈利为 6125 元，根据等量关系“每件商品的利润×数量=总利润 6125 元”， 列出方程，解方程即可求解；（2）设降价?元时，每星期的盈利为?元，根据等量关系“每件商品的利润×数 量=总利润”，列出 y 与 x 的函数关系式，利用二次函数的性质解答即可. 【详解】 （1）设降价 x 元时，每星期盈利为 6125 元， 根据题意，得：（20-x）（ 300+20x）=6125， 解得： 12xx =2.5， 答：降价 2.5 元时，每星期盈利为 6125 元．  2 设降价 x 元时，每星期的盈利为 y 元， 则 2y20x30020x20x100x6000 （ ）（ ） ． 因为降价要确保盈利，所以 4 0 6 0 6 0 x   ， 解得： 020x ， ∴当   100 2.5220x  时， 有最大值     24206000100 6125420   ， 答：当降价 2 . 5 元时，利润最大且为 6125 元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的应用，根据题目中关键描述语，找到等量关系准确 的列出方程和二次函数解析式是解决问题的关键． 23．已知关于 x 的一元二次方程 tx2﹣6x+m+4=0 有两个实数根 x1、x2． （1）当 t=m=1 时，若 x1＜x2，求 x1、x2； （2）当 m=1 时，求 t 的取值范围； （3）当 t=1 时，若 x1、x2 满足 3|x1|=x2+4，求 m 的值． 【答案】（1）x1=1，x2=5（2）t≤ 9 5 且 t≠0（3）﹣59 或19 4 【解析】 【分析】⑴根据题意，直接代入即可求解方程的两根；⑵根据题意，直接代入即可求解；⑶根据一元二次 方程的判别式，求解出方程的两根，再根据题意求解即可. 【详解】 （1）当 t=m=1 时，方程变形为 x2﹣6x+5=0， （x﹣5）（ x﹣1）=0， ∵x1＜x2， ∴x1=1，x2=5； （2）当 m=1 时，方程变形为 tx2﹣6x+5=0， 根据题意得 t≠0 且（﹣6）2﹣4•t•5≥0， ∴t≤ 且 t≠0； （3）当 t=1 时，方程变形为 x2﹣6x+m+4=0， △ =（﹣6）2﹣4（m+4）≥0，解得 m≤5， 则 x1+x2=6，x1•x2=m+4， 当 x1＜0 时，﹣3x1=x2+4，解得 x1=﹣5，x2=11，m+4=﹣55，解得 m=﹣59， 当 x1＞0 时，3x1=x2+4，解得 x1= ，x2= ，m+4=，解得 m=， ∴m 的值为﹣59 或 【点评】本题考查了一元二次方程的性质，掌握一元二次方程的定义求解是解决本题的关键. 24．如图，矩形 ABCD 中，AB=6cm，BC=8cm，点 P 从点 A 沿边 AB 以 1cm/s 的速度向点 B 移动，同时点 Q 从点 B 沿边 BC 以 2cm/s 的速度向点 C 移动，当 P、Q 两点中有一个点到终点时，则另一个点也停止运动．当 △ DPQ 的面积比△ PBQ 的面积大 19.5cm2 时，求点 P 运动的时间． 【答案】当△ DPQ 的面积比△ PBQ 的面积大 19.5푐푚2时，点 P 经过了1 2秒. 【解析】 【分析】设 x 秒后△ DPQ 的面积比△ PBQ 的面积大 19.5푐푚2，用含 x 的代数式分别表示出△ DPQ 的面积和 △ PBQ 的面积，列出方程求值即可． 【详解】 解:设当△ DPQ 的面积比△ PBQ 的面积大 19.5푐푚2时，点 P 运动了 x 秒. 根据题意得：1 2 × 8 × 푥 + 1 2 × 2푥(6 − 푥) + 1 2 × 6(8 − 2푥) + [1 2 × 2푥(6 − 푥) + 19.5] = 6 × 8 化简得：2푥2 − 10푥 + 9 4 = 0 解这个方程得：x1 = 1 2，x2 = 9 2.（不符合题意，舍去） 答：当△ DPQ 的面积比△ PBQ 的面积大 19.5푐푚2时，点 P 经过了1 2秒. 【点评】考查一元二次方程的应用；表示出所给三角形的两条直角边长是解决本题的突破点；用到的知识 点为：直角三角形的面积=两直角边积的一半．