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- 2021-11-06 发布
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2020-2021 学年初三数学上册各单元同步练习:二次函数(二)
一、单选题
1.定义[a,b,c]为函数 y=ax2+bx+c 的特征数,下面给出特征数为[m﹣1,1+m,﹣2m]的函数的一些结论:
①当 m=3 时,函数图象的顶点坐标是(﹣1,﹣ 8); ②当 m>1 时,函数图象截 x 轴所得的线段长度大于 3;
③当 m<0 时,函数在 x> 1
2
时,y 随 x 的增大而减小;④不论 m 取何值,函数图象经过两个定点.其中正
确的结论有( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
【答案】D
【解析】试题分析:①抛物线的顶点坐标为(
2
b
a ,
24
4
acb
a
),当 m=3 时,特征数为[2,4-6],可求得
顶点坐标为(-1,-8),所以①正确.②函数图像与 x 轴交点坐标为(
2 4 ,02
bbac
a
),特征数为 [m-1,
1+ m ,-2m]的函数与 x 轴交点坐标分别为(1,0)、( 4
22
m
m
,0),所以截得 x 轴所得的线段长为 1-
=1+
4
22
m
m
, 当 m > 1 时, 1+ >3,所以②正确.③函数对称轴为 x= =
11211
222(1)21
mm
mmm
, 当 m<0 时,对称轴 x= 11
21m <
,a=m-1<0,所以函数抛物线图像开口向下,当 x> 时 y 随 x 的增大而减小,又因为 x=
< ,所以当 m < 0 时,函数在 x > 时,y 随 x 的增大而减小,③正确.④ 不论 m 取何值,函数图象经过两
个定点(1,0)和(-2,-6),所以④正确.故选 D
点睛:本题主要考查二次函数 y=ax2+bx+c 的性质:①二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小.当 a>0
时,抛物线向上开口;当 a<0 时,抛物线向下开口.②抛物线是轴对称图形,对称轴为直线 x = -b/2a,当 a
>0 时 x< 2
b
a ,y 随 x 的增大而减小,x> 时,y 随 x 的增大而增大.当 a<0 时,x< ,y 随 x 的增
大而增大,x>
2
b
a 时,y 随 x 的增大而减小.③函数图像与 x 轴交点坐标为(
2 4 ,02
bbac
a
),所以
函数图像截 x 轴所得的线段长为
2 4b a c
a
等.二次函数的性质极为重要,是易考点,及难点.
2.已知二次函数 2 0yaxbxca 的图象如图所示,且关于 x 的一元二次方程 2 0axbxcm 没
有实数根,有下列结论:① 2 40b a c② 0abc ③ 20ab④ 2m 其中,正确的是结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】【分析】
由抛物线与 x 轴的交点可判断①;由对称轴 x= 12
b
a可知 ab<0,再由图像可知 c>0,据此可判断②;
由抛物线对称即可判断③;关于 的一元二次方程 没有实数根,即为二次函数
2y ax bx c 与 y=m 无交点,据此判断④.
【详解】
解:由图可知抛物线与 x 轴有两个交点,则△ = ,故 ①正确;由对称轴 x= 可知 ab<0,
再由图像可知 c>0,则 ,故②正确;抛物线对称轴 x= ,则 2a+b=0,故③错误;由题意可
知二次函数 与 y=m 无交点,由图可知,当 m>2 时,两者无交点,故 m>2,故④正确.
正确的是①②④,故选择 C.
【点评】本题考查了二次函数的性质及与一元二次方程的关系.
3.如图,抛物线 y=-x2+mx 的对称轴为直线 x=2,若关于 x 的-元二次方程-x2+mx-t=0 (t 为实数)在 l-5
【答案】B
【解析】【分析】
先利用抛物线的对称轴方程求出 m 得到抛物线解析式为 y=-x2+4x,配方得到抛物线的顶点坐标为(2,4),
再计算出当 x=1 或 3 时,y=3,结合函数图象,利用抛物线 y=-x2+4x 与直线 y=t 在 1<x<3 的范围内有公共
点可确定 t 的范围.
【详解】
∵ 抛物线 y=-x2+mx 的对称轴为直线 x=2,
∴ 222(1)
bm
a ,
解之:m=4,
∴y=-x2+4x,
当 x=2 时,y=-4+8=4,
∴顶点坐标为(2,4),
∵ 关于 x 的-元二次方程-x2+mx-t=0 (t 为实数)在 l0,b<0,
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限,故本选项错误;
C. ∵二次函数图象开口向下,对称轴在 y 轴左侧,
∴a<0,b<0,
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限,故本选项正确;
D. ∵二次函数图象开口向下,对称轴在 y 轴左侧,
∴a<0,b<0,
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限,故本选项错误.
故选 C.
【点评】本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合,掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系,
是解题的关键.
7.在同一平面直角坐标系中,反比例函数 y b
x (b≠0)与二次函数 y=ax2+bx(a≠0)的图象大致是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
直接利用二次函数图象经过的象限得出 a,b 的值取值范围,进而利用反比例函数的性质得出答案.
【详解】
A、抛物线 y=ax2+bx 开口方向向上,则 a>0,对称轴位于 y 轴的右侧,则 a,b 异号,即 b<0.所以反比例
函数 y b
x 的图象位于第二、四象限,故本选项错误;
B、抛物线 y=ax2+bx 开口方向向上,则 a>0,对称轴位于 轴的左侧,则 a,b 同号,即 b>0.所以反比例
函数 y 的图象位于第一、三象限,故本选项错误;
C、抛物线 y=ax2+bx 开口方向向下,则 a<0,对称轴位于 轴的右侧,则 a,b 异号,即 b>0.所以反比例
函数 y 的图象位于第一、三象限,故本选项错误;
D、抛物线 y=ax2+bx 开口方向向下,则 a<0,对称轴位于 轴的右侧,则 a,b 异号,即 b>0.所以反比例
函数 y 的图象位于第一、三象限,故本选项正确;
故选 D.
【点评】本题考查了反比例函数的图象以及二次函数的图象,要熟练掌握二次函数,反比例函数中系数与
图象位置之间关系.
8.加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率 p
与加工时间 t(单位:分钟)满足的函数关系 p=at2+bt+c(a,b,c 是常数),如图记录了三次实验的数据.根
据上述函数模型和实验数据,可得到最佳加工时间为( )
A.4.25 分钟 B.4.00 分钟 C.3.75 分钟 D.3.50 分钟
【答案】C
【解析】【分析】
根据题目数据求出函数解析式,根据二次函数的性质可得.
【详解】
根据题意,将(3,0.7)、(4,0.8)、(5,0.5)代入 p=at2+bt+c,
得:
930.7
1640.8
2550.5
abc
abc
abc
解得:a=−0.2,b=1.5,c=−2,
即 p=−0.2t2+1.5t−2,
当 t=− 1.5
- 0.2 2 =3.75 时,p 取得最大值,
故选 C.
【点评】本题考查了二次函数的应用,熟练掌握性质是解题的关键.
9.已知二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过(0,1),(4,0),当该二次函数的自变量分别取 x1,x2(0<x1
<x2<4)时,对应的函数值是 y1,y2,且 y1=y2,设该函数图象的对称轴是 x=m,则 m 的取值范围是( )
A.0<m<1 B.1<m≤2 C.2<m<4 D.0<m<4
【答案】C
【解析】【分析】
根据二次函数图象上点的坐标特征即可求得.
【详解】
解:当 a>0 时,抛物线开口向上,则点(0,1)的对称点为(x0,1),
∴x0>4,
∴对称轴为 x=m 中 2<m<4,
故选 C.
【点评】本题考查了二次函数的性质,二次函数图象上点的坐标特征,画出草图更直观.
10.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,根据图象可得 a,b,c 与 0 的大小关系是( )
A.a>0,b<0,c<0 B.a>0,b>0,c>0
C.a<0,b<0,c<0 D.a<0,b>0,c<0
【答案】D
【解析】【分析】
由抛物线的开口方向判断 a 的符号,由抛物线与 y 轴的交点判断 c 的符号,然后根据对称轴及抛物线与 x
轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.
【详解】
解:由抛物线的开口向下知 a<0,
与 y 轴的交点为在 y 轴的负半轴上,
∴c<0,
∵对称轴为 x=
2
b
a >0,
∴a、b 异号,即 b>0.
故选:D.
【点评】本题考查了二次函数一般形式 y=ax2+bx+c 中各系数的意义,掌握 a,b,c 意义是解题关键.
11.如图 1,菱形纸片 ABCD 的边长为 2,∠ABC=60°,将菱形 ABCD 沿 EF,GH 折叠,使得点 B,D 两
点重合于对角线 BD 上一点 P(如图 2),则六边形 AEFCHG 面积的最大值是( )
A. 33
2
B. 33
4
C.2﹣ 3 D.1+
【答案】A
【解析】【分析】
由六边形 AEFCHG 面积=菱形 ABCD 的面积﹣△ EBF 的面积﹣△ GDH 的面积.得出函数关系式,进而求
出最大值.
【详解】
六边形 AEFCHG 面积=菱形 ABCD 的面积﹣△ EBF 的面积﹣△ GDH 的面积.
∵菱形纸片 ABCD 的边长为 2,∠ABC=60°,∴AC=2,∴BD=2 3 ,∴S 菱形 ABCD
1
2 AC•BD 1
22×2
3 2 3 ,设 AE=x,则六边形 AEFCHG 面积=2 13 2(2﹣x)• 3
2
(2﹣x) 1
2 x• x
3
2 x2 33x
(x﹣1)2 3 32 ,∴六边形 AEFCHG 面积的最大值是 3 32
.
故选 A.
【点评】本题考查了翻折变换(折叠问题),二次函数最值问题,本题关键是设出未知数表示六边形面积,
把图形问题转化为函数问题,有一定的难度.
12.如图,二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与 x 轴交于点 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,对称轴为直线
x=-1,点 B 的坐标为(1,0),则下列结论:①AB=4;②b2-4ac>0;③ab<0;④a2-ab+ac<0,其中正确的
结论有( )个.
A.3 B.4 C.2 D.1
【答案】A
【解析】【分析】
利用抛物线的对称性可确定 A 点坐标为(-3,0),则可对①进行判断;利用判别式的意义和抛物线与 x 轴
有 2 个交点可对②进行判断;由抛物线开口向下得到 a>0,再利用对称轴方程得到 b=2a>0,则可对③进
行判断;利用 x=-1 时,y<0,即 a-b+c<0 和 a>0 可对④进行判断.
【详解】
∵抛物线的对称轴为直线 x=-1,点 B 的坐标为(1,0),
∴A(-3,0),
∴AB=1-(-3)=4,所以①正确;
∵抛物线与 x 轴有 2 个交点,
∴△=b2-4ac>0,所以②正确;
∵抛物线开口向下,
∴a>0,
∵抛物线的对称轴为直线 x=-
2
b
a =-1,
∴b=2a>0,
∴ab>0,所以③错误;
∵x=-1 时,y<0,
∴a-b+c<0,
而 a>0,
∴a(a-b+c)<0,所以④正确.
故选 A.
【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点:对于二次函数 y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数,a≠0), △ =b2-4ac
决定抛物线与 x 轴的交点个数:△ =b2-4ac>0 时,抛物线与 x 轴有 2 个交点;△ =b2-4ac=0 时,抛物线与 x
轴有 1 个交点;△ =b2-4ac<0 时,抛物线与 x 轴没有交点.也考查了二次函数的性质.
二、填空题
13.当 21x 时,二次函数 22( ) 1y x m m 有最大值 4,则实数 m 的值为________.
【答案】2 或 3
【解析】【分析】
求出二次函数对称轴为直线 x=m,再分 m<-2,-2≤m≤1,m>1 三种情况,根据二次函数的增减性列方程求
解即可.
【详解】
解:二次函数 的对称轴为直线 x=m,且开口向下,
①m<-2 时,x=-2 取得最大值,-(-2-m)2+m2+1=4,
解得 7m 4 ,
7 24 ,
∴不符合题意,
②-2≤m≤1 时,x=m 取得最大值,m2+1=4,
解得 3m ,
所以 3m ,
③m>1 时,x=1 取得最大值,-(1-m)2+m2+1=4,
解得 m=2,
综上所述,m=2 或 3 时,二次函数有最大值.
故答案为:2 或 .
【点评】本题考查了二次函数的最值,熟悉二次函数的性质及图象能分类讨论是解题的关键.
14.若 A(- 13
4
,y1)、B(- 2 ,y2)、C(3,y3)为二次函数 y=-x2-4x+5 的图象上的三点,则 y1、y2、y3
的大小关系是_________(用“<”连接).
【答案】 31yy < 2y
【解析】【分析】
先求出二次函数对称轴,再根据二次函数的增减性从点到对称轴的距离的大小考虑求解.
【详解】
对称轴为直线
4 2221
bx a
,
∵a=−1<0,
∴当 x<−2 时,y 随 x 的增大而增大,
当 x>−2 时,y 随 x 的增大而减小,
∵ 13 13 5224 4 4
,
2 2 2 2 ,
3 2 3 2 5 ,
∴ <
故答案为: <
【点评】考查抛物线上点的坐标特征以及二次函数的性质,求出二次函数的对称轴,根据二次函数的增减
性进行求解即可.
15.若抛物线 C1:y=x2+mx+2 与抛物线 C2:y=x2﹣3x+n 关于 y 轴对称,则 m+n=_____.
【答案】5.
【解析】【分析】
根据关于 y 轴对称的点的坐标规律,将解析式中的 x 换成-x,y 不变,化简即可得出答案.
【详解】
抛物线 C1:y=x2+mx+2 与抛物线 C2:y=x2﹣3x+n 关于 y 轴对称
x2+mx+2=(-x)2-3(-x)+n= x2+3x+n
m=3,n=2
m+n=3+2=5
故答案为 5
【点评】本题考查了二次函数图像与几何变换,掌握关于 y 轴对称的点的坐标规律是解题的关键.
16.抛物线 y=n(n+1)x2﹣(3n+1)x+3 与直线 y=﹣nx+2 的两个交点的横坐标分别是 x1、x2,记 dn=|x1
﹣x2|,则代数式 d1+d2+d3+…+d2018 的值为__.
【答案】2018
2019
【解析】【分析】
联立抛物线和直线的解析式,求得两个交点的横坐标,然后观察 dn 表达式的规律,根据规律进行求解即可.
【详解】
依题意,联立抛物线和直线的解析式有:
n(n+1)x2−(3n+1)x+3=−nx+2,
整理得:n(n+1)x2−(2n+1)x+1=0,
解得 x1=1
푛,x2= 1
푛+1;
所以当 n 为正整数时,dn=1
푛- 1
푛+1,
故代数式 d1+d2+d3+…+d2018=1−1
2+1
2-1
3+.......+ 1
2018- 1
2019=1- 1
2019=2018
2019
故答案为:2018
2019
【点评】本题考查了二次函数的综合题,解题的关键是观察规律.
三、解答题
17.已知二次函数 2 220yaxaxa .
(1)该二次函数图象的对称轴是;
(2)若该二次函数的图象开口向上,当 15x 时,函数图象的最高点为 M ,最低点为 N ,点 的
纵坐标为 11
2
,求点 和点 的坐标;
(3)对于该二次函数图象上的两点 11,A x y , 22,Bxy ,设 1 1txt ,当 2 3x 时,均有 12yy ,
请结合图象,直接写出 t 的取值范围.
【答案】(1)x=1;(2) 11 5, 2M
, 5 1, 2N
;(3) 12t
【解析】【分析】
(1)二次函数的对称轴为直线 x=- 2
b
a ,带入即可求出对称轴,
(2)在区间内发现能够取到函数的最低点,即为顶点坐标,当开口向上是,距离对称轴越远,函数值越大,所以当
x=5 时,函数有最大值.
(3)分类讨论,当二次函数开口向上时不满足条件,所以函数图像开口只能向下,且 1x 应该介于-1 和 3 之间,
才会使 12yy ,解不等式组即可.
【详解】
(1)该二次函数图象的对称轴是直线 2 12
ax a;
(2)∵该二次函数的图象开口向上,对称轴为直线 1x , 15x ,
∴当 5x 时, y 的值最大,即 115, 2M
.
把 代入 2 22y a x a x ,解得 1
2a .
∴该二次函数的表达式为 21 22yxx .
当 时, 5
2y ,
∴ 51, 2N
.
(3)易知 a 0,
∵当 2 3x 时,均有 ,
∴
1
13
t
t
,解得 12t
∴ t 的取值范围 .
【点评】本题考查了二次函数的对称轴,定区间内求函数值域,以及二次函数图像的性质,难度较大,综合性强,
熟悉二次函数的单调性是解题关键.
18.随着地铁和共享单车的发展,“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择.李华从文化宫站出发,先乘坐
地铁,准备在离家较近的 A,B,C,D,E 中的某一站出地铁,再骑共享单车回家.设他出地铁的站点与文
化宫站的距离为 x (单位:km),乘坐地铁的时间 1y (单位:min)是关于 的一次函数,其关系如下表:
地铁站 A B C D E
x/km 7 9 11 12 13
y1/min 16 20 24 26 28
(1)求 关于 的函数解析式;
(2)李华骑单车的时间 2y (单位:min)也受 的影响,其关系可以用 = 1
2
2-11 +78 来描述.求李华应选
择在哪一站出地铁,才能使他从文化宫站回到家所需的时间最短,并求出最短时间.
【答案】(1) y1=2x+2 ;(2) 李华应选择在 B 站出地铁,才能使他从文化宫站回到家所需的时间最短,最短
时间为 39.5 min
【解析】【分析】
(1)将(7,16),(9,20)代入一次函数解析式,便可求解.
(2)回到家所需的时间为 y,则 y=y1+y2,y= = 1
2 x2-9x+80 配方便可解决.
【详解】
解:(1)设 y1 关于 x 的函数解析式为 y1=kx+b.将(7,16),(9,20)代入,
得
7 16
9 20
kb
kb
解得
2
2
k
b
∴y1 关于 x 的函数解析式为 y1=2x+2.
(2)设李华从文化宫站回到家所需的时间为 y min,y=y1+y2
则 y=y1+y2=2x+2+ x2-11x+78= x2-9x+80= (x-9)2+39.5.
∴当 x=9 时,y 取得最小值,最小值为 39.5.
所以李华应选择在 B 站出地铁,才能使他从文化宫站回到家所需的时间最短,最短时间为 39.5 min.
【点评】本题考查利用待定系数求函数表达式,代入点便可求出,配方法的解决最值问题常用的方法,掌
握即可.
19.如图,在矩形 ABCD 中, 4A B C D c m , 6A D B C c m , 3A E D E c m ,点 P 从点 E 出发,
沿 EB 方向匀速运动,速度为 1cm/s;同时,点 Q 从点 C 出发,沿 CD 方向匀速运动,速度为 2cm/s,连接
PQ,设运动时间为 t(s)( 02t ),解答下列问题:
(1)当 t 为何值时, //P Q B C ?
(2)设四边形 PBCQ 的面积为 y(cm2),求 y 与 t 的函数关系式;
(3)是否存在某一时刻 t,使四边形 PBCQ 的面积是四边形 PQDE 的面积的 4 倍?若存在,求出 t 的值;
若不存在,说明理由.
(4)连接 BD,点 O 是 BD 的中点,是否存在某一时刻 t,使 P,O,Q 在同一直线上?若存在,求出 t 的
值;若不存在,说明理由.
【答案】(1) 10
7t ;( 2) 2331255ytt ;( 3)存在. 171t 2
(4)不存在,详见解析。
【解析】【分析】
根据题意可知(1)根据勾股定理可得出 BE 的值,再由平行线分线段成比例 PEDQ
BECD 可得出答案。(2)
根据三角形相似对应边成比例可得到 BF 与 PF 的值,再利用面积的和得出结论。(3)先求出梯形 BCDE 的
面积,进而得到四边形 BCQP 的面积,建立方程联系进行求解(4)分别讨论当点 P 在点 O 上方和下方两种
情况,利用平行线分线段成比例,建立联系,进行证明。
【详解】
解:(1)由题意,得 90A , E P t c m , 2Q C t c m .
在 Rt△ ABE 中, 4A B c m , 3A E c m ,
∴ 225cmBEABAE .
则 5PB t cm( ) .若 //P Q B C .则 EP DQ
PB QC ,即 42
52
tt
tt
,∴ 10
7t .
(2)如图,过点 P 作 P F B C ,则 //P F A B ,
∴ BPFEBA .
又∵ 90BFPEAB ,
∴ BPF EBA .
∴ BFBPPF
EAEBBA,即 5
354
BFPF ,
∴ 3(5) cm5
tBF , 4(5) cm5
tPF .
∴ 3(5 ) 3(5 )6 cm55
ttCF BC BF .
∴ 11()22PBF OQPFy SSBF PFCQ PF 梯形 .
21 3(5 ) 4(5 ) 14(5 ) 3(5 ) 3 3[2]122552555 5
ttttCFttt .
∴y 与 t 的函数关系式为 2331255y t t .
(3)存在.由题意,得
14634182ABEABCDBCDESSS 矩形四边形 .
∵ 4PBCQ PQDESS四边形 四边形 ,
∴ 2334 1218555tt ,
解得 1
1 17
2t (舍去), 2
17 1
2t ,∴当 17 1t 2
时,四边形 PBCQ 的面积是四动形 PQDE 的
面积的 4 倍.
(4)不存在.理由:
①当点 P 在点 O 上方,点 Q 在点 O 下方时,如图 1,延长 QO 至点 Q'易得 '2A Q C Q t c m ,
过点 P 作 PMAE 于点 M,
∴ //PMAB ,∴ PMEF
ABEB ,即
45
PMt . 4 cm5PM t .
∵ 4 25 tt ,但实际 'PM AQ ,∴此时不存在.
②当点 P 在点 O 下方,点 Q 在点 O 上方时,如图 2,延长 QO 交 AB 于点 Q',作 OG AB 于点 G,PH AB
于点 H.
则 1 2cm2BGAB, 1 32OGADcm.
∵ 5P B t c m( ) ,
∴ 33(5 ) 3 cm55PH t t
, 44(5 ) 4 cm55BH t t
.
易证 (42)cmBQDQt ,
∴ 464 (4 2 ) cm55
tHQ BH BQ t t ,
2(42 )(22)cmGQBGBQtt ,
易证 ''Q H P Q G O ,
∴ PH HQ
OG GQ
,
∴
363 55
322
tt
t
,即 2 350tt ,
∴ 11 0 ,∴方程无解,∴不存在.
综上所述,不存在某一时刻 t,使 P,O,Q 在同一直线上.
【点评】本题综合性较强,做该类试题时,应该充分利用题干信息,灵活运用所学几何性质定理,且辅助
线务必正确简明,分情况讨论,不漏解。
20.某山西特产专卖店销售某种核桃,原来平均每天可销售 200 千克,每千克可盈利 6 元,为减少库存,
经市场调查,如果这种核桃每千克降价 1 元,则每天可多售出 20 千克.
(1)设每千克核桃降价 x 元,平均每天盈利 y 元,试写出 y 关于 x 的函数解析式;
(2)若要销售这种核桃平均每天盈利 960 元,则每千克应降价多少元?
【答案】(1)y=-20x2-80x+1 200. (2)2.
【解析】【分析】
(1)由题意,每千克核桃降价 x 元则可出售(200+20x)千克,获利(6-x),则可列 y=(200+20x)(6-x),化
简即可;
(2)令 y=960,再解出 x 即可.
【详解】
解:(1)根据题意,可得 y=(200+20x)(6-x).
化简,得 y=-20x2-80x+1200.
(2)当 y=960 时,-20x2-80x+1200=960.
即(x+2)2=16.
解得 x1=2,x2=-6(舍去).
答:要使平均每天盈利 960 元,则每千克应降价 2 元.
【点评】此题主要考察二次函数的应用,根据题意列出式子是解题的关键.
21.某超市销售一种水果,迸价为每箱 40 元,规定售价不低于进价.现在的售价为每箱 72 元,每月可销
售 60 箱.经市场调查发现:若这种牛奶的售价每降低 2 元,则每月的销量将增加 10 箱,设每箱水果降价 x
元(x 为偶数),每月的销量为 y 箱.
(1)写出 y 与 x 之间的函数关系式和自变量 x 的取值范围.
(2)若该超市在销售过程中每月需支出其他费用 500 元,则如何定价才能使每月销售水果的利润最大?最大
利润是多少元?
【答案】(1)y=60+5x,( 0≤x≤32,且 x 为偶数);(2)售价为 62 元时,每月销售水果的利润最大,最大利
润是 1920 元.
【解析】【分析】
(1)根据价格每降低 2 元,平均每月多销售 10 箱,由每箱降价 x 元,多卖5x ,据此可以列出函数关系式;
(2)由利润=(售价−成本)×销售量−每月其他支出列出函数关系式,求出最大值.
【详解】
解:(1)根据题意知 y=60+5x,( 0≤x≤32,且 x 为偶数);
(2)设每月销售水果的利润为 w,
则 w=(72﹣x﹣40)( 5x+60)﹣500
=﹣5x2+100x+1420
=﹣5(x﹣10)2+1920,
当 x=10 时,w 取得最大值,最大值为 1920 元,
答:当售价为 62 元时,每月销售水果的利润最大,最大利润是 1920 元.
【点评】本题主要考查二次函数的应用,由利润=(售价−成本)×销售量列出函数关系式求最值,用二次函
数解决实际问题是解题的关键.
22.现有一面 12 米长的墙,某农户计划用 28 米长的篱笆靠墙围成一个矩形养鸡场 ABCD(篱笆只围 AB、
BC、CD 三边),其示意图如图所示.
(1)若矩形养鸡场的面积为 92 平方米,求所用的墙长 AD.(结果精确到 0.1 米)(参考数据: 2 =1.41,
3 =1.73, 5 =2.24)
(2)求此矩形养鸡场的最大面积.
【答案】(1)所用的墙长 AD 约为 10.5 米;(2)矩形养鸡场的最大面积为 96 平方米
【解析】【分析】
(1)直接根据题意表示出矩形的长与宽,再表示出矩形的面积即可得出答案;
(2)利用矩形的长与宽表示出其面积,再根据二次函数的性质即可得出答案.
【详解】
(1)设 AD=x 米,则 AB= 1
2
(28﹣x)=(14﹣ x)米,
根据题意,得:x(14﹣ x)=92,
解得:x1=14+2 3 ≈17.46>12,不合题意,舍去.
x2=14﹣2 =14﹣2×1.73≈10.5,
答:所用的墙长 AD 约为 10.5 米;
(2)设矩形养鸡场 ABCD 的面积为 S 平方米,则:
S=x(14﹣ x)=﹣ (x﹣14)2+98,
∵墙长 12 米,
∴0<x≤12.
∴当 x=12 时,S 取最大值为:﹣ (12﹣14)2+98=96,
答:此矩形养鸡场的最大面积为 96 平方米.
【点评】本题主要考查了一元二次方程与二次函数的实际应用,根据题中的数量关系正确表示出矩形面积
是解题的关键.
23.某工厂现有 20 台机器,每台机器平均每天生产 160 件产品,现准备增加一批同类机器以提高生产总量,
在试生产中发现,由于某种原因,每增加一台机器,每台机器平均每天将少生产 4 件产品.
(1)如果增加 x 台机器,每天的生产总量为 y 件,请你写出 y 与 x 之间的关系式及自变量的取值范围;
(2)增加多少台机器,可以使每天的生产总量最大,最大生产总量是多少?
(3)要使生产总量增加 300 件,则机器增加的台数应该是多少台?
【答案】(1)y=x2+80x+3200;( 2)3600;( 3)增加 5 台或 15 台;
【解析】【分析】
(1)根据题意增加 x 台机器,每台每天将少生产 4x 件产品,生产量为(160-4x)件,此时机器数为(20+x)
台,每天生产总量可求出;根据题意要提高生产总量,所以 y>160×20=3200,结合函数图象可求出 x 的取
值范围;
(2)根据函数性质和顶点坐标公式求最值;
(3)生产总量增加 300 件,即 y=3200+300=3500,解方程求解.
【详解】
(1)y=(20+x)( 160﹣4x)=﹣4x2+80x+3200,
(2)y=﹣4x2+80x+3200=﹣4(x﹣10)2+3600,
因为﹣4<0,
所以当 x=10 时,y 最大=3600.
即增加 10 台机器,可以使每天的生产总量最大,最大生产总量是 3600 件.
(3)生产总量增加 300 件,
即 y=3200+300=3500,
解方程﹣4x2+80x+3200=3500,得 x1=5,x2=15,
所以要使生 产总量增加 300 件,则机器增加的台数应该是 5 台或 15 台.
【点评】此题求自变量的取值范围较难点,运用二次函数的性质结合图象、解方程解决二次不等式的问题,
渗透了数形结合、方程与函数的解题思想和方法.
24.在平面直角坐标系中,直线 y=﹣ 1
2 x+2 与 x 轴交于点 B,与 y 轴交于点 C,二次函数 y=﹣ x2+bx+c
的图象经过 B,C 两点,且与 x 轴的负半轴交于点 A.
(1)求二次函数的表达式;
(2)如图 1,点 D 是抛物线第四象限上的一动点,连接 DC,DB,当 S△ DCB=S△ ABC 时,求点 D 坐标;
(3)如图 2,在(2)的条件下,点 Q 在 CA 的延长线上,连接 DQ,AD,过点 Q 作 QP∥y 轴,交抛物线于 P,
若∠AQD=∠ACO+∠ADC,请求出 PQ 的长.
【答案】(1) 213222yxx ;( 2) ( 5 , 3 )D ;( 3)6
【解析】【分析】
(1)先求出 B、C 的坐标,然后代入二次函数的解析式,解方程组即可;
(2)过 D 作 DG⊥x 轴于 G,过 C 作 CF⊥DG 于 F,过 B 作 BE⊥CF 于 E.设 D(x,y),则 x>0,y<0.求
出 S△ ABC.根据 S△ CBD=S△ CDF-S△ CEB-S 梯形 EBDF 解方程解得到 x 的值,从而得到 D 的坐标;
(3)连接 AD,过 D 作 DM⊥x 轴于 M.先求出直线 CD 的解析式为 y=-x+2,得到 CO=OR=2,则 ∠ORC=45°.再
证明∠AQD=45°.通过勾股定理的逆定理得到 AC2+AD2= DC2,即有∠CAD=90°,从而有△ AQD 是等腰直角
三角形,由等腰三角形的性质得到 AQ=AD.通过证明△ QAN≌△ADM,得到 NA,QN 的长,进而得到 ON=4,
即可得到 N(-4,0),则 P 点横坐标为 x=-4,代入二次函数即可得到 y 的值,从而得到结论.
【详解】
(1)在 1 22yx 中,令 y=0,解得:x=4,∴B(4,0),令 x=0,得:y=2,∴C(0,2).把 B(4,0),C(0,
2)代入 21
2yxbxc 中,得:
2
840
c
bc
,解得:
2
3
2
c
b
,∴二次函数的表达式为:
213222y x x .
(2)过 D 作 DG⊥x 轴于 G,过 C 作 CF⊥DG 于 F,过 B 作 BE⊥CF 于 E.设 D(x,y).
∵D 在第四象限,∴x>0,y<0.
∵B(4,0), C(0,2),∴CE=OB=4,CO=BE=FG=2,EF=BG=x-4,DF=DG+FG=2-y,S△ ABC= 1
2 AB×OC=
×(4+1)×2=5.
S△ CBD=S△ CDF-S△ CEB-S 梯形 EBDF= 111(2)42(4)(4)5222xyyx ,化简得:x+2y=-1.
∵D(x,y)在二次函数 213222yxx 上,∴ 2132(2)122xxx ,化简得: 2 4 5 0xx ,
∴(x-5)( x+1)=0,∴x=5 或 x=-1(舍去).
当 x=5 时,y= 21355222 =-3,∴D(5,-3).
(3)如图,连接 AD,过 D 作 DM⊥x 轴于 M.设直线 CD 的解析式为 y=kx+b,把 C(0,2), D(5,-3)代
入得到:
2
53
b
kb
,解得:
1
2
k
b
,∴直线 CD 的解析式为 y=-x+2,令 y=0,解得:x=2,∴R(2,
0),∴CO=OR=2,∴∠ORC=45°.
∵∠ACO+∠CAO=90°,∠CAO+∠OAD=90°,∴∠ACO=∠OAD,
∴∠ACO+∠ADC=∠OAD+∠ADC=∠ARC=45°,∴∠AQD=45°.
∵AC2=12+22=5,AD2=(5+1)2+32=45,DC2=52+(2+3)2=50,∴AC2+AD2=5+45=50= DC2,∴∠CAD=90°,
∴∠QAD=90°.
∵∠AQD=45°,∴△AQD 是等腰直角三角形,∴AQ=AD.
∵∠QAD=90°,∴∠NAQ+∠DAM=90°.
∵∠NAQ+∠AQN=90°,∴∠AQN=∠MAD.在 △ QAN 和△ ADM 中,∵∠AQN=∠MAD,∠QNA=∠AMD=90°,
AQ=AD,∴△QAN≌△ADM,∴NA=DM=3,QN=AM=6,∴ON=4,∴N(-4,0).设 P(x,y).
∵QP∥y 轴,∴P 点横坐标为 x=-4,∴y= 2134 4 222 ( ) =-12,∴PN=12,∴PQ=PN-QN=12-
6=6.
【点评】本题是二次函数综合题.考查了用待定系数法求函数解析式,勾股定理及逆定理,全等三角形的
判定与性质.综合性强,难度较大.