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  • 2021-11-06 发布

2020-2021九年级数学上册二次函数单元同步练习2(新人教版pdf格式)

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2020-2021 学年初三数学上册各单元同步练习:二次函数(二) 一、单选题 1.定义[a,b,c]为函数 y=ax2+bx+c 的特征数,下面给出特征数为[m﹣1,1+m,﹣2m]的函数的一些结论: ①当 m=3 时,函数图象的顶点坐标是(﹣1,﹣ 8); ②当 m>1 时,函数图象截 x 轴所得的线段长度大于 3; ③当 m<0 时,函数在 x> 1 2 时,y 随 x 的增大而减小;④不论 m 取何值,函数图象经过两个定点.其中正 确的结论有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【答案】D 【解析】试题分析:①抛物线的顶点坐标为( 2 b a , 24 4 acb a  ),当 m=3 时,特征数为[2,4-6],可求得 顶点坐标为(-1,-8),所以①正确.②函数图像与 x 轴交点坐标为( 2 4 ,02 bbac a  ),特征数为 [m-1, 1+ m ,-2m]的函数与 x 轴交点坐标分别为(1,0)、( 4 22 m m   ,0),所以截得 x 轴所得的线段长为 1- =1+ 4 22 m m  , 当 m > 1 时, 1+ >3,所以②正确.③函数对称轴为 x= = 11211 222(1)21 mm mmm  , 当 m<0 时,对称轴 x= 11 21m  < ,a=m-1<0,所以函数抛物线图像开口向下,当 x> 时 y 随 x 的增大而减小,又因为 x= < ,所以当 m < 0 时,函数在 x > 时,y 随 x 的增大而减小,③正确.④ 不论 m 取何值,函数图象经过两 个定点(1,0)和(-2,-6),所以④正确.故选 D 点睛:本题主要考查二次函数 y=ax2+bx+c 的性质:①二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小.当 a>0 时,抛物线向上开口;当 a<0 时,抛物线向下开口.②抛物线是轴对称图形,对称轴为直线 x = -b/2a,当 a >0 时 x< 2 b a ,y 随 x 的增大而减小,x> 时,y 随 x 的增大而增大.当 a<0 时,x< ,y 随 x 的增 大而增大,x> 2 b a 时,y 随 x 的增大而减小.③函数图像与 x 轴交点坐标为( 2 4 ,02 bbac a  ),所以 函数图像截 x 轴所得的线段长为 2 4b a c a  等.二次函数的性质极为重要,是易考点,及难点. 2.已知二次函数  2 0yaxbxca 的图象如图所示,且关于 x 的一元二次方程 2 0axbxcm 没 有实数根,有下列结论:① 2 40b a c② 0abc  ③ 20ab④ 2m  其中,正确的是结论的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】【分析】 由抛物线与 x 轴的交点可判断①;由对称轴 x= 12 b a可知 ab<0,再由图像可知 c>0,据此可判断②; 由抛物线对称即可判断③;关于 的一元二次方程 没有实数根,即为二次函数 2y ax bx c   与 y=m 无交点,据此判断④. 【详解】 解:由图可知抛物线与 x 轴有两个交点,则△ = ,故 ①正确;由对称轴 x= 可知 ab<0, 再由图像可知 c>0,则 ,故②正确;抛物线对称轴 x= ,则 2a+b=0,故③错误;由题意可 知二次函数 与 y=m 无交点,由图可知,当 m>2 时,两者无交点,故 m>2,故④正确. 正确的是①②④,故选择 C. 【点评】本题考查了二次函数的性质及与一元二次方程的关系. 3.如图,抛物线 y=-x2+mx 的对称轴为直线 x=2,若关于 x 的-元二次方程-x2+mx-t=0 (t 为实数)在 l-5 【答案】B 【解析】【分析】 先利用抛物线的对称轴方程求出 m 得到抛物线解析式为 y=-x2+4x,配方得到抛物线的顶点坐标为(2,4), 再计算出当 x=1 或 3 时,y=3,结合函数图象,利用抛物线 y=-x2+4x 与直线 y=t 在 1<x<3 的范围内有公共 点可确定 t 的范围. 【详解】 ∵ 抛物线 y=-x2+mx 的对称轴为直线 x=2, ∴ 222(1) bm a   , 解之:m=4, ∴y=-x2+4x, 当 x=2 时,y=-4+8=4, ∴顶点坐标为(2,4), ∵ 关于 x 的-元二次方程-x2+mx-t=0 (t 为实数)在 l0,b<0, ∴一次函数图象应该过第一、三、四象限,故本选项错误; C. ∵二次函数图象开口向下,对称轴在 y 轴左侧, ∴a<0,b<0, ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限,故本选项正确; D. ∵二次函数图象开口向下,对称轴在 y 轴左侧, ∴a<0,b<0, ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限,故本选项错误. 故选 C. 【点评】本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合,掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系, 是解题的关键. 7.在同一平面直角坐标系中,反比例函数 y b x (b≠0)与二次函数 y=ax2+bx(a≠0)的图象大致是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】 直接利用二次函数图象经过的象限得出 a,b 的值取值范围,进而利用反比例函数的性质得出答案. 【详解】 A、抛物线 y=ax2+bx 开口方向向上,则 a>0,对称轴位于 y 轴的右侧,则 a,b 异号,即 b<0.所以反比例 函数 y b x 的图象位于第二、四象限,故本选项错误; B、抛物线 y=ax2+bx 开口方向向上,则 a>0,对称轴位于 轴的左侧,则 a,b 同号,即 b>0.所以反比例 函数 y 的图象位于第一、三象限,故本选项错误; C、抛物线 y=ax2+bx 开口方向向下,则 a<0,对称轴位于 轴的右侧,则 a,b 异号,即 b>0.所以反比例 函数 y 的图象位于第一、三象限,故本选项错误; D、抛物线 y=ax2+bx 开口方向向下,则 a<0,对称轴位于 轴的右侧,则 a,b 异号,即 b>0.所以反比例 函数 y 的图象位于第一、三象限,故本选项正确; 故选 D. 【点评】本题考查了反比例函数的图象以及二次函数的图象,要熟练掌握二次函数,反比例函数中系数与 图象位置之间关系. 8.加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率 p 与加工时间 t(单位:分钟)满足的函数关系 p=at2+bt+c(a,b,c 是常数),如图记录了三次实验的数据.根 据上述函数模型和实验数据,可得到最佳加工时间为( ) A.4.25 分钟 B.4.00 分钟 C.3.75 分钟 D.3.50 分钟 【答案】C 【解析】【分析】 根据题目数据求出函数解析式,根据二次函数的性质可得. 【详解】 根据题意,将(3,0.7)、(4,0.8)、(5,0.5)代入 p=at2+bt+c, 得: 930.7 1640.8 2550.5 abc abc abc      解得:a=−0.2,b=1.5,c=−2, 即 p=−0.2t2+1.5t−2, 当 t=− 1.5 - 0.2 2 =3.75 时,p 取得最大值, 故选 C. 【点评】本题考查了二次函数的应用,熟练掌握性质是解题的关键. 9.已知二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过(0,1),(4,0),当该二次函数的自变量分别取 x1,x2(0<x1 <x2<4)时,对应的函数值是 y1,y2,且 y1=y2,设该函数图象的对称轴是 x=m,则 m 的取值范围是( ) A.0<m<1 B.1<m≤2 C.2<m<4 D.0<m<4 【答案】C 【解析】【分析】 根据二次函数图象上点的坐标特征即可求得. 【详解】 解:当 a>0 时,抛物线开口向上,则点(0,1)的对称点为(x0,1), ∴x0>4, ∴对称轴为 x=m 中 2<m<4, 故选 C. 【点评】本题考查了二次函数的性质,二次函数图象上点的坐标特征,画出草图更直观. 10.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,根据图象可得 a,b,c 与 0 的大小关系是( ) A.a>0,b<0,c<0 B.a>0,b>0,c>0 C.a<0,b<0,c<0 D.a<0,b>0,c<0 【答案】D 【解析】【分析】 由抛物线的开口方向判断 a 的符号,由抛物线与 y 轴的交点判断 c 的符号,然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断. 【详解】 解:由抛物线的开口向下知 a<0, 与 y 轴的交点为在 y 轴的负半轴上, ∴c<0, ∵对称轴为 x= 2 b a >0, ∴a、b 异号,即 b>0. 故选:D. 【点评】本题考查了二次函数一般形式 y=ax2+bx+c 中各系数的意义,掌握 a,b,c 意义是解题关键. 11.如图 1,菱形纸片 ABCD 的边长为 2,∠ABC=60°,将菱形 ABCD 沿 EF,GH 折叠,使得点 B,D 两 点重合于对角线 BD 上一点 P(如图 2),则六边形 AEFCHG 面积的最大值是( ) A. 33 2 B. 33 4 C.2﹣ 3 D.1+ 【答案】A 【解析】【分析】 由六边形 AEFCHG 面积=菱形 ABCD 的面积﹣△ EBF 的面积﹣△ GDH 的面积.得出函数关系式,进而求 出最大值. 【详解】 六边形 AEFCHG 面积=菱形 ABCD 的面积﹣△ EBF 的面积﹣△ GDH 的面积. ∵菱形纸片 ABCD 的边长为 2,∠ABC=60°,∴AC=2,∴BD=2 3 ,∴S 菱形 ABCD 1 2 AC•BD 1 22×2 3 2 3 ,设 AE=x,则六边形 AEFCHG 面积=2 13 2(2﹣x)• 3 2 (2﹣x) 1 2 x• x 3 2 x2 33x (x﹣1)2 3 32 ,∴六边形 AEFCHG 面积的最大值是 3 32 . 故选 A. 【点评】本题考查了翻折变换(折叠问题),二次函数最值问题,本题关键是设出未知数表示六边形面积, 把图形问题转化为函数问题,有一定的难度. 12.如图,二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与 x 轴交于点 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,对称轴为直线 x=-1,点 B 的坐标为(1,0),则下列结论:①AB=4;②b2-4ac>0;③ab<0;④a2-ab+ac<0,其中正确的 结论有( )个. A.3 B.4 C.2 D.1 【答案】A 【解析】【分析】 利用抛物线的对称性可确定 A 点坐标为(-3,0),则可对①进行判断;利用判别式的意义和抛物线与 x 轴 有 2 个交点可对②进行判断;由抛物线开口向下得到 a>0,再利用对称轴方程得到 b=2a>0,则可对③进 行判断;利用 x=-1 时,y<0,即 a-b+c<0 和 a>0 可对④进行判断. 【详解】 ∵抛物线的对称轴为直线 x=-1,点 B 的坐标为(1,0), ∴A(-3,0), ∴AB=1-(-3)=4,所以①正确; ∵抛物线与 x 轴有 2 个交点, ∴△=b2-4ac>0,所以②正确; ∵抛物线开口向下, ∴a>0, ∵抛物线的对称轴为直线 x=- 2 b a =-1, ∴b=2a>0, ∴ab>0,所以③错误; ∵x=-1 时,y<0, ∴a-b+c<0, 而 a>0, ∴a(a-b+c)<0,所以④正确. 故选 A. 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点:对于二次函数 y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数,a≠0), △ =b2-4ac 决定抛物线与 x 轴的交点个数:△ =b2-4ac>0 时,抛物线与 x 轴有 2 个交点;△ =b2-4ac=0 时,抛物线与 x 轴有 1 个交点;△ =b2-4ac<0 时,抛物线与 x 轴没有交点.也考查了二次函数的性质. 二、填空题 13.当 21x   时,二次函数 22( ) 1y x m m     有最大值 4,则实数 m 的值为________. 【答案】2 或 3 【解析】【分析】 求出二次函数对称轴为直线 x=m,再分 m<-2,-2≤m≤1,m>1 三种情况,根据二次函数的增减性列方程求 解即可. 【详解】 解:二次函数 的对称轴为直线 x=m,且开口向下, ①m<-2 时,x=-2 取得最大值,-(-2-m)2+m2+1=4, 解得 7m 4 , 7 24 , ∴不符合题意, ②-2≤m≤1 时,x=m 取得最大值,m2+1=4, 解得 3m  , 所以 3m  , ③m>1 时,x=1 取得最大值,-(1-m)2+m2+1=4, 解得 m=2, 综上所述,m=2 或 3 时,二次函数有最大值. 故答案为:2 或 . 【点评】本题考查了二次函数的最值,熟悉二次函数的性质及图象能分类讨论是解题的关键. 14.若 A(- 13 4 ,y1)、B(- 2 ,y2)、C(3,y3)为二次函数 y=-x2-4x+5 的图象上的三点,则 y1、y2、y3 的大小关系是_________(用“<”连接). 【答案】 31yy < 2y 【解析】【分析】 先求出二次函数对称轴,再根据二次函数的增减性从点到对称轴的距离的大小考虑求解. 【详解】 对称轴为直线   4 2221 bx a      , ∵a=−1<0, ∴当 x<−2 时,y 随 x 的增大而增大, 当 x>−2 时,y 随 x 的增大而减小, ∵ 13 13 5224 4 4        ,  2 2 2 2      ,  3 2 3 2 5     , ∴ < 故答案为: < 【点评】考查抛物线上点的坐标特征以及二次函数的性质,求出二次函数的对称轴,根据二次函数的增减 性进行求解即可. 15.若抛物线 C1:y=x2+mx+2 与抛物线 C2:y=x2﹣3x+n 关于 y 轴对称,则 m+n=_____. 【答案】5. 【解析】【分析】 根据关于 y 轴对称的点的坐标规律,将解析式中的 x 换成-x,y 不变,化简即可得出答案. 【详解】 抛物线 C1:y=x2+mx+2 与抛物线 C2:y=x2﹣3x+n 关于 y 轴对称  x2+mx+2=(-x)2-3(-x)+n= x2+3x+n m=3,n=2 m+n=3+2=5 故答案为 5 【点评】本题考查了二次函数图像与几何变换,掌握关于 y 轴对称的点的坐标规律是解题的关键. 16.抛物线 y=n(n+1)x2﹣(3n+1)x+3 与直线 y=﹣nx+2 的两个交点的横坐标分别是 x1、x2,记 dn=|x1 ﹣x2|,则代数式 d1+d2+d3+…+d2018 的值为__. 【答案】2018 2019 【解析】【分析】 联立抛物线和直线的解析式,求得两个交点的横坐标,然后观察 dn 表达式的规律,根据规律进行求解即可. 【详解】 依题意,联立抛物线和直线的解析式有: n(n+1)x2−(3n+1)x+3=−nx+2, 整理得:n(n+1)x2−(2n+1)x+1=0, 解得 x1=1 푛,x2= 1 푛+1; 所以当 n 为正整数时,dn=1 푛- 1 푛+1, 故代数式 d1+d2+d3+…+d2018=1−1 2+1 2-1 3+.......+ 1 2018- 1 2019=1- 1 2019=2018 2019 故答案为:2018 2019 【点评】本题考查了二次函数的综合题,解题的关键是观察规律. 三、解答题 17.已知二次函数  2 220yaxaxa . (1)该二次函数图象的对称轴是; (2)若该二次函数的图象开口向上,当 15x 时,函数图象的最高点为 M ,最低点为 N ,点 的 纵坐标为 11 2 ,求点 和点 的坐标; (3)对于该二次函数图象上的两点  11,A x y ,  22,Bxy ,设 1 1txt ,当 2 3x  时,均有 12yy , 请结合图象,直接写出 t 的取值范围. 【答案】(1)x=1;(2) 11 5, 2M   , 5 1, 2N  ;(3) 12t 【解析】【分析】 (1)二次函数的对称轴为直线 x=- 2 b a ,带入即可求出对称轴, (2)在区间内发现能够取到函数的最低点,即为顶点坐标,当开口向上是,距离对称轴越远,函数值越大,所以当 x=5 时,函数有最大值. (3)分类讨论,当二次函数开口向上时不满足条件,所以函数图像开口只能向下,且 1x 应该介于-1 和 3 之间, 才会使 12yy ,解不等式组即可. 【详解】 (1)该二次函数图象的对称轴是直线 2 12 ax a; (2)∵该二次函数的图象开口向上,对称轴为直线 1x  , 15x   , ∴当 5x  时, y 的值最大,即 115, 2M   . 把 代入 2 22y a x a x   ,解得 1 2a  . ∴该二次函数的表达式为 21 22yxx . 当 时, 5 2y  , ∴ 51, 2N  . (3)易知 a  0, ∵当 2 3x  时,均有 , ∴ 1 13 t t    ,解得 12t   ∴ t 的取值范围 . 【点评】本题考查了二次函数的对称轴,定区间内求函数值域,以及二次函数图像的性质,难度较大,综合性强, 熟悉二次函数的单调性是解题关键. 18.随着地铁和共享单车的发展,“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择.李华从文化宫站出发,先乘坐 地铁,准备在离家较近的 A,B,C,D,E 中的某一站出地铁,再骑共享单车回家.设他出地铁的站点与文 化宫站的距离为 x (单位:km),乘坐地铁的时间 1y (单位:min)是关于 的一次函数,其关系如下表: 地铁站 A B C D E x/km 7 9 11 12 13 y1/min 16 20 24 26 28 (1)求 关于 的函数解析式; (2)李华骑单车的时间 2y (单位:min)也受 的影响,其关系可以用 = 1 2 2-11 +78 来描述.求李华应选 择在哪一站出地铁,才能使他从文化宫站回到家所需的时间最短,并求出最短时间. 【答案】(1) y1=2x+2 ;(2) 李华应选择在 B 站出地铁,才能使他从文化宫站回到家所需的时间最短,最短 时间为 39.5 min 【解析】【分析】 (1)将(7,16),(9,20)代入一次函数解析式,便可求解. (2)回到家所需的时间为 y,则 y=y1+y2,y= = 1 2 x2-9x+80 配方便可解决. 【详解】 解:(1)设 y1 关于 x 的函数解析式为 y1=kx+b.将(7,16),(9,20)代入, 得 7 16 9 20 kb kb    解得 2 2 k b    ∴y1 关于 x 的函数解析式为 y1=2x+2. (2)设李华从文化宫站回到家所需的时间为 y min,y=y1+y2 则 y=y1+y2=2x+2+ x2-11x+78= x2-9x+80= (x-9)2+39.5. ∴当 x=9 时,y 取得最小值,最小值为 39.5. 所以李华应选择在 B 站出地铁,才能使他从文化宫站回到家所需的时间最短,最短时间为 39.5 min. 【点评】本题考查利用待定系数求函数表达式,代入点便可求出,配方法的解决最值问题常用的方法,掌 握即可. 19.如图,在矩形 ABCD 中, 4A B C D c m , 6A D B C c m , 3A E D E c m ,点 P 从点 E 出发, 沿 EB 方向匀速运动,速度为 1cm/s;同时,点 Q 从点 C 出发,沿 CD 方向匀速运动,速度为 2cm/s,连接 PQ,设运动时间为 t(s)( 02t ),解答下列问题: (1)当 t 为何值时, //P Q B C ? (2)设四边形 PBCQ 的面积为 y(cm2),求 y 与 t 的函数关系式; (3)是否存在某一时刻 t,使四边形 PBCQ 的面积是四边形 PQDE 的面积的 4 倍?若存在,求出 t 的值; 若不存在,说明理由. (4)连接 BD,点 O 是 BD 的中点,是否存在某一时刻 t,使 P,O,Q 在同一直线上?若存在,求出 t 的 值;若不存在,说明理由. 【答案】(1) 10 7t  ;( 2) 2331255ytt ;( 3)存在. 171t 2  (4)不存在,详见解析。 【解析】【分析】 根据题意可知(1)根据勾股定理可得出 BE 的值,再由平行线分线段成比例 PEDQ BECD 可得出答案。(2) 根据三角形相似对应边成比例可得到 BF 与 PF 的值,再利用面积的和得出结论。(3)先求出梯形 BCDE 的 面积,进而得到四边形 BCQP 的面积,建立方程联系进行求解(4)分别讨论当点 P 在点 O 上方和下方两种 情况,利用平行线分线段成比例,建立联系,进行证明。 【详解】 解:(1)由题意,得 90A   , E P t c m , 2Q C t c m . 在 Rt△ ABE 中, 4A B c m , 3A E c m , ∴ 225cmBEABAE . 则 5PB t cm( ) .若 //P Q B C .则 EP DQ PB QC ,即 42 52 tt tt  ,∴ 10 7t  . (2)如图,过点 P 作 P F B C ,则 //P F A B , ∴ BPFEBA  . 又∵ 90BFPEAB  , ∴ BPF EBA . ∴ BFBPPF EAEBBA,即 5 354 BFPF , ∴ 3(5) cm5 tBF  , 4(5) cm5 tPF  . ∴ 3(5 ) 3(5 )6 cm55 ttCF BC BF      . ∴ 11()22PBF OQPFy SSBF PFCQ PF 梯形 . 21 3(5 ) 4(5 ) 14(5 ) 3(5 ) 3 3[2]122552555 5 ttttCFttt     . ∴y 与 t 的函数关系式为 2331255y t t   . (3)存在.由题意,得 14634182ABEABCDBCDESSS 矩形四边形 . ∵ 4PBCQ PQDESS四边形 四边形 , ∴ 2334 1218555tt , 解得 1 1 17 2t  (舍去), 2 17 1 2t  ,∴当 17 1t 2  时,四边形 PBCQ 的面积是四动形 PQDE 的 面积的 4 倍. (4)不存在.理由: ①当点 P 在点 O 上方,点 Q 在点 O 下方时,如图 1,延长 QO 至点 Q'易得 '2A Q C Q t c m , 过点 P 作 PMAE 于点 M, ∴ //PMAB ,∴ PMEF ABEB ,即 45 PMt  . 4 cm5PM t . ∵ 4 25 tt ,但实际 'PM AQ ,∴此时不存在. ②当点 P 在点 O 下方,点 Q 在点 O 上方时,如图 2,延长 QO 交 AB 于点 Q',作 OG AB 于点 G,PH AB 于点 H. 则 1 2cm2BGAB, 1 32OGADcm. ∵ 5P B t c m( ) , ∴ 33(5 ) 3 cm55PH t t    , 44(5 ) 4 cm55BH t t    . 易证 (42)cmBQDQt  , ∴ 464 (4 2 ) cm55 tHQ BH BQ t t       , 2(42 )(22)cmGQBGBQtt , 易证 ''Q H P Q G O , ∴ PH HQ OG GQ   , ∴ 363 55 322 tt t    ,即 2 350tt , ∴ 11 0   ,∴方程无解,∴不存在. 综上所述,不存在某一时刻 t,使 P,O,Q 在同一直线上. 【点评】本题综合性较强,做该类试题时,应该充分利用题干信息,灵活运用所学几何性质定理,且辅助 线务必正确简明,分情况讨论,不漏解。 20.某山西特产专卖店销售某种核桃,原来平均每天可销售 200 千克,每千克可盈利 6 元,为减少库存, 经市场调查,如果这种核桃每千克降价 1 元,则每天可多售出 20 千克. (1)设每千克核桃降价 x 元,平均每天盈利 y 元,试写出 y 关于 x 的函数解析式; (2)若要销售这种核桃平均每天盈利 960 元,则每千克应降价多少元? 【答案】(1)y=-20x2-80x+1 200. (2)2. 【解析】【分析】 (1)由题意,每千克核桃降价 x 元则可出售(200+20x)千克,获利(6-x),则可列 y=(200+20x)(6-x),化 简即可; (2)令 y=960,再解出 x 即可. 【详解】 解:(1)根据题意,可得 y=(200+20x)(6-x). 化简,得 y=-20x2-80x+1200. (2)当 y=960 时,-20x2-80x+1200=960. 即(x+2)2=16. 解得 x1=2,x2=-6(舍去). 答:要使平均每天盈利 960 元,则每千克应降价 2 元. 【点评】此题主要考察二次函数的应用,根据题意列出式子是解题的关键. 21.某超市销售一种水果,迸价为每箱 40 元,规定售价不低于进价.现在的售价为每箱 72 元,每月可销 售 60 箱.经市场调查发现:若这种牛奶的售价每降低 2 元,则每月的销量将增加 10 箱,设每箱水果降价 x 元(x 为偶数),每月的销量为 y 箱. (1)写出 y 与 x 之间的函数关系式和自变量 x 的取值范围. (2)若该超市在销售过程中每月需支出其他费用 500 元,则如何定价才能使每月销售水果的利润最大?最大 利润是多少元? 【答案】(1)y=60+5x,( 0≤x≤32,且 x 为偶数);(2)售价为 62 元时,每月销售水果的利润最大,最大利 润是 1920 元. 【解析】【分析】 (1)根据价格每降低 2 元,平均每月多销售 10 箱,由每箱降价 x 元,多卖5x ,据此可以列出函数关系式; (2)由利润=(售价−成本)×销售量−每月其他支出列出函数关系式,求出最大值. 【详解】 解:(1)根据题意知 y=60+5x,( 0≤x≤32,且 x 为偶数); (2)设每月销售水果的利润为 w, 则 w=(72﹣x﹣40)( 5x+60)﹣500 =﹣5x2+100x+1420 =﹣5(x﹣10)2+1920, 当 x=10 时,w 取得最大值,最大值为 1920 元, 答:当售价为 62 元时,每月销售水果的利润最大,最大利润是 1920 元. 【点评】本题主要考查二次函数的应用,由利润=(售价−成本)×销售量列出函数关系式求最值,用二次函 数解决实际问题是解题的关键. 22.现有一面 12 米长的墙,某农户计划用 28 米长的篱笆靠墙围成一个矩形养鸡场 ABCD(篱笆只围 AB、 BC、CD 三边),其示意图如图所示. (1)若矩形养鸡场的面积为 92 平方米,求所用的墙长 AD.(结果精确到 0.1 米)(参考数据: 2 =1.41, 3 =1.73, 5 =2.24) (2)求此矩形养鸡场的最大面积. 【答案】(1)所用的墙长 AD 约为 10.5 米;(2)矩形养鸡场的最大面积为 96 平方米 【解析】【分析】 (1)直接根据题意表示出矩形的长与宽,再表示出矩形的面积即可得出答案; (2)利用矩形的长与宽表示出其面积,再根据二次函数的性质即可得出答案. 【详解】 (1)设 AD=x 米,则 AB= 1 2 (28﹣x)=(14﹣ x)米, 根据题意,得:x(14﹣ x)=92, 解得:x1=14+2 3 ≈17.46>12,不合题意,舍去. x2=14﹣2 =14﹣2×1.73≈10.5, 答:所用的墙长 AD 约为 10.5 米; (2)设矩形养鸡场 ABCD 的面积为 S 平方米,则: S=x(14﹣ x)=﹣ (x﹣14)2+98, ∵墙长 12 米, ∴0<x≤12. ∴当 x=12 时,S 取最大值为:﹣ (12﹣14)2+98=96, 答:此矩形养鸡场的最大面积为 96 平方米. 【点评】本题主要考查了一元二次方程与二次函数的实际应用,根据题中的数量关系正确表示出矩形面积 是解题的关键. 23.某工厂现有 20 台机器,每台机器平均每天生产 160 件产品,现准备增加一批同类机器以提高生产总量, 在试生产中发现,由于某种原因,每增加一台机器,每台机器平均每天将少生产 4 件产品. (1)如果增加 x 台机器,每天的生产总量为 y 件,请你写出 y 与 x 之间的关系式及自变量的取值范围; (2)增加多少台机器,可以使每天的生产总量最大,最大生产总量是多少? (3)要使生产总量增加 300 件,则机器增加的台数应该是多少台? 【答案】(1)y=x2+80x+3200;( 2)3600;( 3)增加 5 台或 15 台; 【解析】【分析】 (1)根据题意增加 x 台机器,每台每天将少生产 4x 件产品,生产量为(160-4x)件,此时机器数为(20+x) 台,每天生产总量可求出;根据题意要提高生产总量,所以 y>160×20=3200,结合函数图象可求出 x 的取 值范围; (2)根据函数性质和顶点坐标公式求最值; (3)生产总量增加 300 件,即 y=3200+300=3500,解方程求解. 【详解】 (1)y=(20+x)( 160﹣4x)=﹣4x2+80x+3200, (2)y=﹣4x2+80x+3200=﹣4(x﹣10)2+3600, 因为﹣4<0, 所以当 x=10 时,y 最大=3600. 即增加 10 台机器,可以使每天的生产总量最大,最大生产总量是 3600 件. (3)生产总量增加 300 件, 即 y=3200+300=3500, 解方程﹣4x2+80x+3200=3500,得 x1=5,x2=15, 所以要使生 产总量增加 300 件,则机器增加的台数应该是 5 台或 15 台. 【点评】此题求自变量的取值范围较难点,运用二次函数的性质结合图象、解方程解决二次不等式的问题, 渗透了数形结合、方程与函数的解题思想和方法. 24.在平面直角坐标系中,直线 y=﹣ 1 2 x+2 与 x 轴交于点 B,与 y 轴交于点 C,二次函数 y=﹣ x2+bx+c 的图象经过 B,C 两点,且与 x 轴的负半轴交于点 A. (1)求二次函数的表达式; (2)如图 1,点 D 是抛物线第四象限上的一动点,连接 DC,DB,当 S△ DCB=S△ ABC 时,求点 D 坐标; (3)如图 2,在(2)的条件下,点 Q 在 CA 的延长线上,连接 DQ,AD,过点 Q 作 QP∥y 轴,交抛物线于 P, 若∠AQD=∠ACO+∠ADC,请求出 PQ 的长. 【答案】(1) 213222yxx ;( 2) ( 5 , 3 )D  ;( 3)6 【解析】【分析】 (1)先求出 B、C 的坐标,然后代入二次函数的解析式,解方程组即可; (2)过 D 作 DG⊥x 轴于 G,过 C 作 CF⊥DG 于 F,过 B 作 BE⊥CF 于 E.设 D(x,y),则 x>0,y<0.求 出 S△ ABC.根据 S△ CBD=S△ CDF-S△ CEB-S 梯形 EBDF 解方程解得到 x 的值,从而得到 D 的坐标; (3)连接 AD,过 D 作 DM⊥x 轴于 M.先求出直线 CD 的解析式为 y=-x+2,得到 CO=OR=2,则 ∠ORC=45°.再 证明∠AQD=45°.通过勾股定理的逆定理得到 AC2+AD2= DC2,即有∠CAD=90°,从而有△ AQD 是等腰直角 三角形,由等腰三角形的性质得到 AQ=AD.通过证明△ QAN≌△ADM,得到 NA,QN 的长,进而得到 ON=4, 即可得到 N(-4,0),则 P 点横坐标为 x=-4,代入二次函数即可得到 y 的值,从而得到结论. 【详解】 (1)在 1 22yx  中,令 y=0,解得:x=4,∴B(4,0),令 x=0,得:y=2,∴C(0,2).把 B(4,0),C(0, 2)代入 21 2yxbxc  中,得: 2 840 c bc   ,解得: 2 3 2 c b   ,∴二次函数的表达式为: 213222y x x    . (2)过 D 作 DG⊥x 轴于 G,过 C 作 CF⊥DG 于 F,过 B 作 BE⊥CF 于 E.设 D(x,y). ∵D 在第四象限,∴x>0,y<0. ∵B(4,0), C(0,2),∴CE=OB=4,CO=BE=FG=2,EF=BG=x-4,DF=DG+FG=2-y,S△ ABC= 1 2 AB×OC= ×(4+1)×2=5. S△ CBD=S△ CDF-S△ CEB-S 梯形 EBDF= 111(2)42(4)(4)5222xyyx ,化简得:x+2y=-1. ∵D(x,y)在二次函数 213222yxx 上,∴ 2132(2)122xxx ,化简得: 2 4 5 0xx   , ∴(x-5)( x+1)=0,∴x=5 或 x=-1(舍去). 当 x=5 时,y= 21355222 =-3,∴D(5,-3). (3)如图,连接 AD,过 D 作 DM⊥x 轴于 M.设直线 CD 的解析式为 y=kx+b,把 C(0,2), D(5,-3)代 入得到: 2 53 b kb    ,解得: 1 2 k b    ,∴直线 CD 的解析式为 y=-x+2,令 y=0,解得:x=2,∴R(2, 0),∴CO=OR=2,∴∠ORC=45°. ∵∠ACO+∠CAO=90°,∠CAO+∠OAD=90°,∴∠ACO=∠OAD, ∴∠ACO+∠ADC=∠OAD+∠ADC=∠ARC=45°,∴∠AQD=45°. ∵AC2=12+22=5,AD2=(5+1)2+32=45,DC2=52+(2+3)2=50,∴AC2+AD2=5+45=50= DC2,∴∠CAD=90°, ∴∠QAD=90°. ∵∠AQD=45°,∴△AQD 是等腰直角三角形,∴AQ=AD. ∵∠QAD=90°,∴∠NAQ+∠DAM=90°. ∵∠NAQ+∠AQN=90°,∴∠AQN=∠MAD.在 △ QAN 和△ ADM 中,∵∠AQN=∠MAD,∠QNA=∠AMD=90°, AQ=AD,∴△QAN≌△ADM,∴NA=DM=3,QN=AM=6,∴ON=4,∴N(-4,0).设 P(x,y). ∵QP∥y 轴,∴P 点横坐标为 x=-4,∴y= 2134 4 222     ( ) =-12,∴PN=12,∴PQ=PN-QN=12- 6=6. 【点评】本题是二次函数综合题.考查了用待定系数法求函数解析式,勾股定理及逆定理,全等三角形的 判定与性质.综合性强,难度较大.