2019九年级数学上册 专题突破讲练 相似中的“射影定理”试题 （新版）青岛版 10页

相似中的“射影定理”‎ ‎1. 射影定理 直角三角形射影定理（又叫欧几里德（Euclid）定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。‎ 如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：‎ ‎（1）　　（2）　　（3）‎ ‎△ABC∽△ABD∽△DAC 注意：‎ ‎（1）在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，图中共有6条线段：AC、BC、CD、AD、DB、AB，已知任意两条，便可求出其余四条；‎ ‎（2）射影定理的每个乘积式中含三条线段，若已知两条线段，可求第三条；‎ ‎（3）平方项一定是两相似三角形的公共边。‎ ‎2. 定理推论 在△ABC中，D是BC边上的一点，且满足，则有。‎ ‎△ABD∽△CBA 例题1 已知CD是△ABC的高，DE⊥CA，DF⊥CB，求证：△CEF∽△CBA。‎ 解析：根据△CDE∽△CAD和△CDB∽△CFD得和利用等量代换和变形，即可证明△CEF∽△CBA。‎ 答案：证明：在Rt△ADC中，由射影定律得，，‎ 10‎ 在Rt△BCD中，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴△CEF∽△CBA 点拨：本题主要考察了相似三角形的基本模型射影定理的应用。做题时要善于发现相似，找出等量关系，进行适当的变形。‎ 例题2 已知：如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，CD⊥AB于D。若AE＝AC，BE交⊙O于点F，连接CF、DE。‎ 求证：（1） （2）‎ 解析：（1）根据AE＝AC，可以把结论转化为证明，只需连接BC，证明△ACD∽△ABC即可。（2）根据（1）中的结论，即可证明三角形ADE相似于三角形AEB，得到∠AED＝∠B，再根据同弧所对的圆周角相等即可证明。‎ 答案：（1）连接BC，‎ ‎∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB＝90°‎ ‎∵CD⊥AB，‎ ‎∴△ACD∽△ABC，‎ ‎∴‎ ‎∵AC＝AE，‎ ‎∴‎ ‎（2）∵，∠EAD＝∠BAE，‎ ‎∴△ADE∽△AEB，‎ ‎∴∠AED＝∠B 10‎ ‎∵∠ACF＝∠B，∴∠ACF＝∠AED 点拨：本题主要考查了对相似三角形的判定和性质的掌握和应用，注意转化思想的应用是解决本题的关键。‎ ‎【要点总结】‎ 射影定理是相似三角形中的特殊形式，经常结合圆、矩形、平面直角坐标系和函数考查，因此要善于在复杂的图形中发现满足射影定理的模型，并对其进行代数式的变形，以及等量代换，从而达到解题目的。‎ 例题 如图，在Rt△ABC中，CD，CE分别是斜边AB上的高和中线，BC＝a，AC＝b（b＞a），若，求的值。‎ 解析：在Rt△ABC中，利用射影定理得到，进而得到BD的表达式，由面积法可求出CD的长，根据CE为中线，建立关系式DE＝BE﹣BD，再根据正切函数的定义，建立关于a、b的关系式。‎ 答案：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB∴，‎ 即：。由等面积法知：，∴。‎ 又因为CE是中线，则。‎ 在Rt△CDE中，， 得：，‎ 解得，于是有或（舍负值）。‎ 点拨：本题考查了射影定理、勾股定理、解直角三角形，综合性较强，要认真对待。‎ ‎（答题时间：30分钟）‎ 一、选择题 10‎ ‎1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，若AD：BD＝9：4，则AC：BC的值为（     ） ‎ A. 9：4  B. 3：‎2 ‎ C. 4：9  D. 2：3 ‎ ‎*2. 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若，则＝（    ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎*3. 已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，M为BC中点。下列关系式中正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎**4. 若正实数x，y，z满足①， ②。则下列关系式中正确的是（ ）‎ A. B. C. D. 无法确定 二、填空题 ‎*5. 如图，△ABC中，点D在BC上，以为直径作⊙O，恰过A点，若AC与⊙O相切，则AB的长为 。‎ ‎*6. 如图，矩形ABCD中， ，点E在BC上，点F在CD上，且，，FG⊥AE于G，则AG：GE＝　 　。‎ ‎*7. 两个任意大小的正方形，都可以适当剪开，拼成一个较大的正方形，如用两个边长分别为a，b的正方形拼成一个大正方形。图中Rt△ABC的斜边AB的长等于 （用a，b的代数式表示）。‎ 10‎ ‎*8. Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，则 三者之间的等量关系式为 。‎ 三、解答题 ‎*9. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于点D，交AE于点G，弦CE交AB于点F，求证：。‎ ‎*10. （沈阳模拟）已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，DF⊥AC，垂足为F，DE⊥AB，垂足为E。‎ 求证：（Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎**11. 已知：如图，BD、CE是△ABC的高，DG⊥BC与CE交于F，GD的延长线与BA的延长线交于点H。求证：。‎ ‎**12. （莆田）（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D。求证：‎ 10‎ ‎；‎ ‎（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F。，求的值；‎ ‎（3）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的动点（点D不与B、C重合），直线BE⊥AD于点E，交直线AC于点F。若，请探究并直接写出的所有可能的值（用含n的式子表示），不必证明。‎ 10‎ ‎1. B 解析：由射影定理得，又∵，‎ ‎∴，∴，故选B。‎ ‎2. C 解析：由勾股定理得： ‎ ‎∵，可得：△ABC∽△DBA∽△DAC ‎∴，‎ ‎，选C。‎ ‎3. A 解析：由∠BAC＝90°，AD⊥BC， ‎ ‎∴△ABC∽△DBA∽△DAC，‎ 可得，。‎ 又∵M为BC中点，可得，‎ ‎∴。‎ ‎4. B 解析：如图，由条件①可构造Rt△ABC，‎ 由条件②联想到射影定理，作斜边z上的高r，‎ 由三角形的面积可得：，即。‎ ‎5. 解析：连接AD，作于H点，‎ 设，， ‎ 由△CAD∽△CBA 得：①‎ 由射影定理得：，故，‎ 又知H为BC中点，故，即②　　‎ 由①、②解得：。‎ 10‎ ‎6. 4∶1 解析：矩形ABCD中，，点E在BC上，点F在CD上，且，，FG⊥AE于G，∴，∴，，∴，‎ 又∵∠ECF＝∠FDA，∴△CEF∽△DFA，∴，∠AFD＝∠FEC，‎ ‎∴∠AFD＋∠CFE＝∠FEC＋∠CFE＝90°，∴∠AFE＝90°‎ 又∵FG⊥AE，∴△AFE∽△AGF，△AFG∽△FEG，‎ ‎∴，则AG＝2FG，＝2，∴，‎ ‎∴AG＝4EG，AG：GE＝4：1。 ‎ ‎7. 解析：Rt△ABC的边BC在斜边AB上的射影为a，由BC2＝a•AB可得。‎ ‎8. ‎ 解析：由射影定理可得：，，；‎ ‎∴，‎ 化简可得。‎ ‎9. 证明：延长CG，交⊙O于点M，∵AB⊥CM，∴，∴∠ACG＝∠E 又∵∠CAG＝∠EAC ∴△CAG∽△EAC ∴ ∴‎ ‎10. 证明：（Ⅰ）因为Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC。显然△ABD∽△CBA ‎∴，即 ‎（Ⅱ）∵由射影定理知 又由三角形相似可知，且DF＝AE ‎∴，结合射影定理 ‎ ‎∴‎ ‎11. 证明：∵BD⊥AC，DG⊥BC，∴∠DGC＝∠DGB＝90°，∠CDB＝90°，‎ 由射影定理得：△CGD∽△DGB，∴ ，‎ ‎∵CE⊥AB，∴∠ECB＋∠CBE＝90°，‎ 又∠H＋∠GBH＝90°，∴∠ECB＝∠H，∠FGC＝∠HGB＝90°，‎ 10‎ ‎∴△CGF∽△HGB，∴，‎ ‎∴ ∴‎ ‎12. （1）证明：如图①，∵BD⊥AC，∠ABC＝90°，∴∠ADB＝∠ABC，‎ 又∵∠A＝∠A，∴△ADB∽△ABC，∴，∴。‎ ‎（2）解：方法一：‎ 如图②，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G，∵BE⊥AD，∴∠CGD＝∠BED＝90°，CG∥BF。‎ ‎∵，∴AB＝BC＝2BD＝2DC，BD＝DC，‎ 又∵∠BDE＝∠CDG，∴△BDE≌△CDG，∴‎ 由（1）可得：，，‎ ‎∴，∴AE＝4DE，∴。‎ ‎∵CG∥BF，∴。‎ 方法二：‎ 如图③，过点D作DG∥BF，交AC于点G，‎ ‎∵，∴，AB＝BC。‎ ‎∵DG∥BF，∴，FC＝2FG。‎ 由（1）可得：，，‎ ‎∴，‎ ‎∵DG∥BF，∴，∴。‎ 10‎ ‎（3）解：点D为直线BC上的动点（点D不与B、C重合），有三种情况：‎ ‎（I）当点D在线段BC上时，如图④所示：‎ 过点D作DG∥BF，交AC边于点G。‎ ‎∵，∴‎ ‎∵DG∥BF，∴，∴‎ 由（1）可得：，，‎ ‎∴；‎ ‎∵DG∥BF，∴，即，化简得：；‎ ‎（Ⅱ）当点D在线段BC的延长线上时，如图⑤所示：‎ 过点D作DG∥BE，交AC边的延长线于点G。同理可求得：；‎ ‎（Ⅲ）当点D在线段CB的延长线上时，如图⑥所示：‎ 过点D作DG∥BF，交CA边的延长线于点G。同理可求得：。‎ 10‎