新人教版初中数学9年级下册27章精品导学案(52页) 52页

1 课题 27.1 图形的相似 1 班级： 姓名： 导学目标知识点：从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似 理解相似图形概念． 了解成比例线段的概念，会确定线段的比． 课 时： 课时 导学方法：整理、分析、归纳法 导学过程： 一、自主探究（课前导学） 、同学们，请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点 进行归纳吗？ 课本图 课本图 、小组讨论、交流．得到相似图形的概念 ． 相似图形 、思考：如图，是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗 2 观察思考，小组讨论回答： 二、合作探究（课堂导学） 实验探究：如果把老师手中的教鞭与铅笔，分别看成是两条线段 和 ，那 么这两条线段的比是多少？ 归纳：两条线段的比，就是两条线段长度的比． 成比例线段： 对于四条线段 , , ,a b c d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如 ac bd （即 ad bc ），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 【注意】 （ ）两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统 一单位；线段的比是一个没有单位的正数； （ ）四条线段 成比例，记作 或 ::a b c d ； （ ）若四条线段满足 ，则有 ． 例 如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形相似的是（ ） 例 一张桌面的长 1.25am ，宽 0.75bm ，那么长与宽的比是多少？ （ ）如果 125a cm ， 75b cm ，那么长与宽的比是多少？ （ ）如果 1250a mm ， 750b mm ，那么长与宽的比是多少？小结：上 面分别采用 ,,m cm mm三种不同的长度单位，求得的 a b 的值是 的，所以 说，两条线段的比与所采用的长度单位 ，但求比时两条线段的长度单位必 须 ． 3 三、讨论交流（展示点评） 四、课堂检测（当堂训练） 已知：一张地图的比例尺是 ，量得北京到上海的图上距离大约为 ，求北京到上海的实际距离大约是多少 ？ 分析：根据比例尺 实际距离 图上距离 ，可求出北京到上海的实际距离． 拓展延伸（课外练习）： 如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺 相似吗？ ．如图，图形 ～ 中，哪些是与图形（ ）或 相似的？ 、下列说法正确的是（ ） ．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似 ．商店新买来的一副三角板是相似的 ．所有的课本都是相似的 ．国旗的五角星都是相似的 、填空题 形状 的图形叫相似形；两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一 个图形的 或 而得到的。 ．观察下列图形，指出哪些是相似图形： 4 ．如图，请测量出右图中两个形似的长方形的长和宽， （ ）（小）长是 ，宽是 ； （大）长是 ，宽是 ； （ ）（小） 长 宽 ；（大） 长 宽 ． （ ）你由上述的计算，能得到什么结论吗？ ．在比例尺是 的 中国政区 地图上，量得福州与上海之间的距离时 ，那么福州与上海之间的实际距离是多少？ ． 两地的实际距离为 ，在一张平面图上的距离是 ，那么这张平面 地图的比例尺是多少？ 5 课题 27.1 图形的相似 2 班级： 姓名： 导学目标知识点：知道相似多边形的主要特征，即：相似多边形的对应角相等，对应边 的比相等；会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进 行相关的计算． 课 时： 课时 导学方法：整理、分析、归纳法 导学过程： 一、自主探究（课前导学） 、观察图片，体会相似图形性质 图中的 1 1 1A B C 是由正 ABC 放大后得到的 观察这两个图形 它们的对应角有 什么关系？对应边又有什么关系呢？ 对于图中两个相似的正六边形，是否也能得到类似的结论？ 什么叫成比例线段？ 阅读课本回答 二、合作探究（课堂导学） 实验探究：如图的左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与 该四边形相似的图形． 6 问题：对于图中两个相似的四边形，它们的对应角，对应边的比是否相等． 结论： （ ）相似多边形的特征：相似多边形的对应角 ，对应边的比 ． 反之，如果两个多边形的对应角 ，对应边的比 ，那么这两个 多边形 ． 几何语言：在 ABC 和 1 1 1A B C 中 若 1 1 1;;A A B B C C         ． 111111 CA AC CB BC BA AB  则 和 相似 （ ）相似比：相似多边形 的比称为相似比． 问题：相似比为 时，相似的两个图形有什么关系？ 结论：相似比为 时，相似的两个图形 ，因此 形是一种特殊 的相似形． 例 下列说法正确的是（ ） ．所有的平行四边形都相似 ．所有的矩形都相似 ．所有的菱形都相似 ．所有的正方形都相似 例 、如图，四边形 ABCD 和 EFGH 相似，求角 和 的大小和 的长度 x ． 三、讨论交流（展示点评） 四、课堂检测（当堂训练） 已 知 四 边 形 ABCD 与四边形 1 1 1 1A B C D相 似 ， 且 1 1 1 1 1 1 1 1: : : 7 : 8 : 11 : 14AB BC C D D A  ，若四边形 的周长为 ，求四边 形 的各边的长． 分析：因为两个四边形相似，因此可根据相似多边形的对应边的比相等来解题． 7 解： 拓展延伸（课外练习）： ． ABC 与 DEF 相似，且相似比是 2 3 ，则 与 与的相似比是（ ）． ． ． 3 2 ． 2 5 ． 4 9 ．下列所给的条件中，能确定相似的有（ ） （ ）两个半径不相等的圆；（ ）所有的正方形；（ ）所有的等腰三角形；（ ） 所有的等边三角形；（ ）所有的等腰梯形；（ ）所有的正六边形． ． 个 ． 个 ． 个 ． 个 ．在比例尺为 ﹕ 的地图上，量得甲、乙两地的距离是 ，求两 地的实际距离． ．如图所示的两个五边形相似，求未知边 a 、b 、c 、 d 的长度． ．已知四边形 ABCD 和四边形 1 1 1 1A B C D 相似，四边形 的最长边和最短边 的长分别是 和 ，如果四边形 的最短边的长是 ，那么四边 形 中最长的边长是多少？ ．如图，AB ∥ EF ∥CD ， 4CD  ， 9AB  ，若梯形CDEF 与梯形 FEAB 相 似，求 EF 的长． 8 ．如图，一个矩形 ABCD的长 AD acm ，宽 AB bcm ， ,EF分别是 ,AD BC 的中点，连接 ，所得新矩形 ABFE 与原矩形 ABCD 相似，求 :ab的值． 课后反思： 小组评价： 教师评价： 9 课题 27.2.1 相似三角形的判定 1 班级： 姓名： 导学目标知识点：会用符号 ∽ 表示相似三角形如 ABC ∽ ' ' 'A B C 知道当 与 的相似比为 k 时， 与 的相似比为 1 k ．理解掌握平行线 分线段成比例定理 课 时： 课时 导学方法：整理、分析、归纳法 导学过程： 一、自主探究（课前导学） 、相似多边形的主要特征是什么？相似三角形有什么性质？ 、在相似多边形中，最简单的就是相似三角形． 在 与 中， 如果∠ ∠ ′ ∠ ∠ ′ ∠ ∠ ′ 且 kAC CA CB BC BA AB  ． 我们就说 与 相似，记作 ∽ ， 就是它们的相似比． 反之如果 ∽ ， 则有∠ ∠ ∠ 且 AC CA CB BC BA AB  ． 问题：如果 1k  ，这两个三角形有怎样的关系？ 明确 （ ）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形。 （ ）用符号 ∽ 表示相似三角形如 ∽ （ ）相似比是带有顺序性和对应性的： 当 与 的相似比为 时， 与 的相似比为 ． 二、合作探究（课堂导学） 10 实验探究： 如图 任意画两条直线 1l 2l 再画三条与 相交的平行线 3l 4l ， 5l 分别量度 ， 在 上截得的两条线段 和在 上截得的两条线 段 的长度 :AB BC 与 :DE EF 相等吗 任意平移 再量度 的长度 与 相等吗 问题，  ::AB AC DE ，  ::BC AC DF ．强调 对应线段的比是 否相等 归纳总结： 平行线分线段成比例定理 三条 截两条直线，所得的 线段的比 。 应重点关注：平行线分线段成比例定理中相比线段同线； 做一做 如图，若 ， ， ，写出 EK KF ， AB AC  。求 的长 实验探究： 平行线分线段成比例定理推论 思考： 、如果把图中 两条直线相交，交点 刚落到 上，如下左图，所得 的对应线段的比会相等吗？依据是什么？ 11 思考、如果把图中 两条直线相交，交点 刚落到 上，如图上右图，所得的 对应线段的比会相等吗？依据是什么？ 归纳总结： 平行线分线段成比例定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两 边延长线），所得的 线段的比 做一做： 三、讨论交流（展示点评） 四、课堂检测（当堂训练） 如图，在△ 中， ∥ ， ， ， 求 和 12 拓展延伸（课外练习）： ．如图，△ ∽△ 其中 ∥ ，找出对应角并写出对应边的比例式． ．如图，△ ∽△ ，其中∠ ∠ ， 找出对应角并写出对应边的比例式． 、已知：梯形 中， ∥ ， ∥ ， ， 36 4EB  ， 15 3DF  ，求： 的长。 13 课题 27.2.1 相似三角形的判定 2 班级： 姓名： 导学目标知识点：经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程． 会运用 两个三角形相似的判定条件 和 三角形相似的预备定理 解决简单的问题． 课 时： 课时 导学方法：整理、分析、归纳法 导学过程： 一、自主探究（课前导学） 、相似多边形的主要特征是什么？ 、平行线分线段成比例定理及其推论的内容是什么？ 、在相似多边形中，最简单的就是相似三角形． 在 ABC 和 1 1 1A B C 中 若 1 1 1;;A A B B C C         ．且 1 1 1 1 11 =AB BC AC kA B B C AC 我们就说 与 相似，记作 ∽ ， k 就是它们的相似比． 反之，如果 ∽ ， 则有若 ．且 、问题：如果 1k  ，这两个三角形有怎样的关系？ 二、合作探究（课堂导学） 实验探究：如果 ABC ∽ ADE 那么你能找出哪些角 的关系？边呢？ 问题： 如图，在 中， DE BC， DE 分别交 AB ， AC 于点 ,DE。 14 （ ） ADE 与 ABC 满足 对应角相等 吗？为什么？ （ ） 与 满足对应边成比例吗？由 DE BC 的条件可得到哪些线段的比相等？ （ ）根据以前学习的知识如何把 DE 移到 BC 上 去？你能证明 ::AE AC DE BC 吗？ （ ）写出△ ∽△ 的证明过程。 归纳总结：判定三角形相似的（预备）定理： 例 如图 ABC ∽ DCA ， AD BC ， B DCA   ． （ ）写出对应边的比例式； （ ）写出所有相等的角； （ ）若 10 12 6AB BC CA  ， ， ．求 ,AD DC 、 的长． 分析：可类比全等三角形对应边、对应角的关系来寻找相似三角形中的对应 元素．对于（ ）可由相似三角形对应边的比相等求出 与 的长． 解： 三、讨论交流（展示点评） 四、课堂检测（当堂训练） 15 如图，在 ABC 中，DE BC ，AD EC ， 1DB cm ， 4AE cm ， 5BC cm ， 求 DE 的长． 拓展延伸（课外练习）： 下列各组三角形一定相似的是（ ） ．两个直角三角形 ．两个钝角三角形 ．两个等腰三角形 ．两个等边三角形 如图， ∥ ， ∥ ，则图中相似三角形一共有（ ） ． 对 ． 对 ． 对 ． 对 如图， ∥ ∥ ，图中共有 对相似三角形，写出来并说明理由； 如图，在□ 中， ∥ ， ， ，求 的长． 如图，△ ∽△ ，其中∠ ∠ ，写出对应边的比例式． 如图， ∥ ，（ ）如果 ， ，求 的值； （ ）如果 ， ， ， ，求 和 的长． 16 如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网 米的位置上，求球拍击球的 高度 ． 设网球是直线运动 17 课题 27.2.1 相似三角形的判定 3 导学目标知识点：初步掌握 三组对应边的比相等的两个三角形相似 的判定方法，以及 两 组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似 的判定方法 能够运用三角形相似 的条件解决简单的问题． 课 时： 课时 导学方法：整理、分析、归纳法 导学过程： 一、自主探究（课前导学） 两个三角形全等有哪些判定方法？我们学习过哪些判定三角形相似的方法？ 二、合作探究（课堂导学） 实验探究 ：任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长 是的 k 倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同学交流一 下，看看是否有同样的结论。 探求证明方法． 如 图 ， 在 ABC 和 ' ' 'A B C 中， AC CA CB BC BA AB  ， 求 证 ∽ 证明 ： 归纳 三角形相似的判定方法 实验探究 ：可否用类似于判定三角形全等的 方法，能否通过两个三角形的两组对应 18 边的比相等和它们对应的夹角相等，来判定两个三角形相似呢？ （画图，自主展开探究活动） 归纳 三角形相似的判定方法 例 根据下列条件，判断 ABC 与 ' ' 'A B C 是否相似，并说明理由： （ ） 120 , 7 14 ' 120 , ' ' 3 , ' ' A AB cm AC cm A A B cm A C cm          ， （ ） 4 , 6 , 8 ' ' 12 , ' ' 21 , ' ' 18 AB cm BC cm AC cm A B cm A C cm B C cm       三、讨论交流（展示点评） 四、课堂检测（当堂训练） 已知：如图，在四边形 中， B ACD   ， ， ， ， 2 17 ， 求 的长． 提示：由已知一对对应角相等及四条边长，猜想应用 两组对应边的比相等且它们的夹角相等 来证明．计 算得出 AB BC CD AC ，结合 ，证明 ABC DCA∽ ，再利用相似三角形的定义得出关于 的比例式 BC AC AC AD ，从而求出 的长． 19 拓展延伸（课外练习）： 如果在 ABC 中 30B  ， 5 , 4AB cm AC cm，在 ' ' 'A B C 中， ' ' '30 , 10B A B cm    ， '' 8AC cm ，这两个三角形一定相似吗？试着画一画、看一看？ 如图， ABC 中，点 ,,D E F 分别是 ,,AB BC AC 的中点，求证： ABC DEF∽ ． ．如图， 为正方形 边 上的点，且 ， 为 的中点， 求证： ADQ QCP∽ ．如图， ABD ACE∽ 求证： ABC ACE∽ 20 21 课题 27.2.1 相似三角形的判定 4 导学目标知识点：掌握 两角对应相等，两个三角形相似 的判 定方法． 能够运用三角形相似的条件解决简单的问 题． 课 时： 课时 导学方法：整理、分析、归纳法 导学过程： 一、自主探究（课前导学） 、我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？ 、如图，△ 中，点 在 上，如果 ，那么△ 与△ 相似吗？ 说说你的理由． 二、合作探究（课堂导学） 实验探究：如（ ）题图，△ 中，点 在 上，如果∠ ∠ ，那么△ 与△ 相似吗？ 归纳 三角形相似的判定方法 例 ．如图， ABC 与 ABD 都是 O 的内接三角形，AC 和 BD 相 交与点 E 找出图中的一对相似三角形，并说明理由。 例 弦 和 相交于⊙ 内一点 求证 PA PB PC PD 22 例 已知：如图，在 Rt ABC 和 ' ' 'Rt A B C 中， ' 90CC     ' ' ' ' AB AC A B AC 求证： ∽ 三、讨论交流（展示点评） 四、课堂检测（当堂训练） 、填一填 （ ）如图，点 在 上，当∠ ＝∠ 时， △ ∽△ 。 （ ）如图，已知点 在 上，若点 在 上，则满足条件 ，就可 以使△ 与原△ 相似。 ．下列说法是否正确，并说明理由． （ ）有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形； （ ）有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形； （ ）底角相等的两个等腰三角形相似。 ．如图，在 Rt ABC 中， 是斜边上的高， ACD 和 CBD 都与 ABC 相似 吗？证明你的结论。 23 如图，△ 中， ∥ ， ∥ ，试说明△ ∽△ 拓展延伸（课外练习）： 、图 中 ∥ ∥ ，找出图中所有的相似三角形。 、图 中 ∥ ∥ ，找出图中所有的相似三角形。 、在 ABC 和 ' ' 'A B C 中，如果 80A  ， 60C   ， ' 80A   ， ' 40B   ，那么 这两个三角形是否相似？为什么？ 、已知：如图，△ 的高 、 交于点 ．求证： AF EF BF FD ． 24 、已知：如图， 是△ 的外接圆 的直径， 是△ 的高． （ ）求证： AC BC BE CD ； （ ）若 ， ， ，求⊙ 的直径 的长． 课题 27.2.1 相似三角形的判定（复习） 导学目标知识点：掌握两个三角形相似的判定方法；会用其解决问题。 课 时： 课时 导学方法：整理、分析、归纳法 导学过程： 一、自主探究（课前导学） 两个三角形相似的判断方法： 、定义：两个三角形的 ， ，这个两个三角形相似。 、预备定理： 于三角形一边的直线和其他两边（或 ）相交，所构成 的三角形与原三角形 。 、判定定理 ： 。→（ ） 、判定定理 ： 。→（ ） 、判定定理 ： 。→（ 或 ） 、相似三角形的判定方法 25 二、合作探究（课堂导学） 例 如图所示，给出下列条件：⑴∠ ＝∠ ；⑵∠ ＝∠ ；⑶ BC AB CD AC  ；⑷ ＝ 。其中能够单独判定△ ∽△ 的有 （填序号） 例 如图所示，若∠ ＝∠ ，再添加一个条件 （添加一条即 可），则△ ∽△ ′ ′ ′。 例 如图，点 、 、 、 、 、 、 、 、 都是 方格纸中的格点，为使△ ∽△ ， 则点 应是 、 、 、 四点中的（ ） 、 、 、 、 例 如图所示，∠ ＝∠ ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ，则 的长为多少 B C E D A 8 6 4 26 例 、如图，在矩形 ABCD 中，延着 折叠，使 落在 边的 E 处。找出与 ABE△ 相 似的三角形，并加以证明。 三、讨论交流（展示点评） 四、课堂检测（当堂训练） 、如图所示，正方形 边长是 ， ， ，线段 的端点 、 分别在 、 上滑动，当 时，△ 与以 、 、 为顶点的三角形相似． 如图，在△ 中， 是 边上的中线，点 在 边上，且 ： ： ， 交 与 点，则 ： 的比为（ ） 、 ： 、 ： 、 ： 、 ： 27 、如图所示，已知 是矩形 的边 上一点， ⊥ 于 。试证明： ＝ 四、拓展延伸（课外练习）： 、在△ 与△ ′ ′ ′中，有下列条件：⑴ CB BC BA AB  ；⑵ CB BC CA AC  ；⑶∠ ＝ ∠ ′ ； ⑷∠ ＝ ∠ ′ 。 如 果 从 中 任 取 两 个 条 件 组 成 一 组 ， 那 么 能 判 断 △ ∽△ ′ ′ ′的共有（ ） 、 组 、 组 、 组 、 组 、如图上图所示，已知点 在 上，若点 在 上，则满足 条件（只 填一个条件），使△ 与原△ 相似 并写出证明过程。 、在直角坐标系中，已知点 （﹣ ， ）， （ ， ）， （ ， ），过点 作直线交 轴 于点 ，使得以 ， ， 为顶点的三角形与△ 相似，求点 的坐标． 、如图所示，在正方形 中，有一块直角三板按图摆放。 （ ）写出图中的相似的三角形； 28 （ ）从上面任选一组进行证明 29 课题 27.2.2 相似三角形应用举例 1 导学目标知识点：能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如 测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题． 课 时： 课时 导学方法：整理、分析、归纳法 导学过程： 一、自主探究（课前导学） 测量旗杆的高度 操作：在旗杆影子的顶部立一根标杆，借助太阳光线构造相似三角形，旗杆 的影长 BD a 米，标杆高 FD m 米，其影长 DE b 米，求 ： 分析：∵太阳光线是平行的 ∴∠ ＝∠ 又∵∠ ＝∠ ＝ ∴△ ∽△ ∴ ，即 二、合作探究（课堂导学） 实验探究 ：据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理， 在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高 度． 如图，如果木杆 长 ，它的影长 为 ，测得 为 ，求金字塔的高度 ． 分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体 的影子互相平行，从而构造相似三角 形，再利用相似三角形的判定和性质， 根据已知条件，求出金字塔的高度． 解： 实验探究 ： 如图，我们想要测量河两岸相对应两点 、 之间的距离 即河宽 ，你有什 么方法？ 方案一：先从 点出发与 成 角方向走 到 处立一标杆，然后方向不变，继续向 30 前走 到 处，在 处转 ，沿 方向再走 到达 处，使得 、 、 在同一条 直线上．那么 、 之间的距离是多少？ 三、讨论交流（展示点评） 四、课堂检测（当堂训练） 在某一时刻，测得一根高为 米的竹竿的影长为 米，同时测得一栋高楼的影长为 米，这栋高楼的高度为多少米？ 、如图，为了测量水塘边 、 两点之间的距离，在可以看到的 、 的点 处，取 、 延长线上的 、 两点 使得 ∥ ，若测得 ＝ ， ＝ ， 则 、 两点 间的距离为多少？ 、如图所示 要测量河两岸相对的两点 的距离 先从 处出发与 成 角方向 向前走 米到 处立一标杆 然后方向不变向前走 米至 处 在 处转 沿 方向走 米 到 处 使 目标物 标杆 与 在同一条直线上 那么可测得 间的 距离是 D C O O B A A B D C E 31 拓展延伸（课外练习）： 、如图， 是斜靠在墙上的长梯，梯脚 距墙脚 ，梯上点 距墙 ， 长 ，求该梯子的长。 、如图，一圆柱形油桶 高 米 用一根长 米的木棒从桶盖小口 处斜插桶内另一端的 处 抽出木棒后 量得上面没浸油的部分为 米 求桶内油面的高度 如图，小明站在C 处看甲乙两楼楼顶上的点 A 和点 E ．C E A， ， 三点在同一条直线上， 点 BD， 分别在点 EA， 的正下方且 D B C， ， 三点在同一条直线上． BC， 相距30米， D，B 相距 40 米，乙楼高 BE 为15米，甲楼高 AD 为多少米（小明身高忽略不计） ．马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目．跷跷板支柱 的高度为 米． A B C D E 甲 乙 32 （ ）若吊环高度为 米，支点 为跷跷板 的 中点，狮子能否将公鸡送到吊环上？为什么？ （ ）若吊环高度为 米，在不改变其他条件的 前提下移动支柱，当支点 移到跷跷板 的什么 位置时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上？ P A B Q C 33 课题 27.2.2 相似三角形应用举例 2 导学目标知识点： 了解视点、视角、盲区等概念，掌握利用视线构造相似三角形来解决视区等问题 课 时： 课时 导学方法：整理、分析、归纳法 导学过程： 一、自主探究（课前导学） 甲站在一座木板 AB 前，乙在墙后活动，你 认为乙在什么区域内活动，才能不被甲发现，请 在图中画出乙的活动范围 由图可知： 叫做 视点， 叫 做 视 线 ， 叫做盲区 二、合作探究（课堂导学） 实验探究 ：小明把手臂水平向前伸直，手持长为 的小尺竖直，瞄准小尺的两 端 、 ，不断调整站立的位置，使站在点 处正好看到旗杆的底部和顶部，如 果小明的手臂长为 ＝ ，小尺的长 ＝ ，点 到旗杆底部的距离 ＝ 求旗杆的高度。 实验探究 ：已知左、右并排的两棵大树的高分别是 ＝ 和 ＝ ，两 树的根部的距离 ＝ ．一个身高 的人沿着正对这两棵树的一条水平直 路 从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边 较高的树的顶端点 ？ 分析：如图，说观察者眼睛的位置为点 ，画出观察者的水平视线 ，它交 、 于点 、 ．视线 、 的夹角∠ 是观察点 时的仰角．由于树的遮挡，区域 和 都在观察者 34 看不到的区域（盲区）之内． 三、讨论交流（展示点评） 四、课堂检测（当堂训练） 甲蹲在地上，乙站在甲和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼顶 ，乙的头顶 及甲的眼睛 恰好在一条直线上时，两人分别标定自己的位置 、 ，然后测出两人之间的 距离 ，乙与楼之间的距离 ，（ 、 、 在一条直线上），乙的身高 ， 甲蹲地观测时，眼睛到地面的距离 ，你能画出示意图，算出大楼的高度吗？ 拓展延伸（课外练习）： ．已知一棵树的影长是 ，同一时刻一根长 的标杆的影长为 ，则这 棵树的高度是 ． ． ． ． m310 ．一斜坡长 ，它的高为 ，将某物从斜坡起点推到坡上 处停止下， 停下地点的高度为 ． m7 11 ． m7 10 ． m7 9 ． m2 3 ．如图，某测量工作人员与标杆顶端 、电视塔顶端在同一直线上，已知此人 眼睛距地面 米，标杆为 米，且 米， 米，求电视塔的高 。 35 如图，花丛中有一路灯杆 在灯光下，小明在 点处的影长 米，沿 方向行走到达 点， 米，这时小明的影长 ＝ 米 如果小明的身高为 米，求路灯杆 的高度 精确到 米 ． 、如图为了测量一棵树 的高度 测量者在 点立一高为 米的标杆 观测者从 处可以看到杆顶 树顶 在同一条直线上 若测得 米 米 米 求树高 如图：小明想测量一颗大树 的高度，发现树的影子恰好落在土坡的坡面 和地面 上，测得 ， 与地面成 度角，且测得 米竹杆的 影子长为 米，那么树的高度是多少？ 第 4 题图 36 37 课题 27.2.3 相似三角形的周长与面积 导学目标知识点：理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相 似比的平方．利用相似三角形及相似多边形的性质解决相关的问题． 课 时： 课时 导学方法：整理、分析、归纳法 导学过程： 一、自主探究（课前导学） 如图，已知 Rt ABC ∽ ' ' 'Rt A B C ，且 ' 90CC     3AC  4BC  '' 6AC  '' 8BC  （ ）计算出两个三角形的周长以及周长之比。 （ ）计算出两个三角形的面积以及面积之比。 （ ）两个相似三角形的周长之比、面积之比、 相似比之间有怎样的关系？ 二、合作探究（课堂导学） 实验探究 ：如图， ABC ∽ ' ' 'A B C ，相似比为 1k ，它们对应边上的高之比为多少？ 面积之比为多少？ 38 实验探究 ：如图，四边形 ABCD与四边形 ' ' ' 'A BCD 相似，相似比为 2k ，它们的 面积之比为多少？ 归纳 ： 例 如图，在 ABC 和 DEF 中， AD   的 周长为 ，面积是12 5 ，求 的面积与周长？ 39 例 如果两个三角形相似，它们的对应边上的中线之间有什么关系？写出推导 过程。 三、讨论交流（展示点评） 四、课堂检测（当堂训练） 、 若 2 1 f e d c b a 则 fdb eca   、两个相似三角形的一组对应边的长分别是 和 它们周长的差是 则这两个三角形的 周长分别为 、将一个五边形改成与它相似的五边形 如果面积扩大为原来的 倍 那么周长扩大为原来的 倍 倍 倍 倍 、某块地的平面如图 ∠ 其比例尺为 ∶ 根据图中标注的尺寸 单位 求这块地 的实际周长和面积 40 拓展延伸（课外练习）： ．如果两个相似三角形对应边的比为 ∶ ，那么它们的相似比为 ，周长的 比为 ，面积的比为 ． 如图，点 、 分别是△ 边 、 上的点，且 ∥ ， ＝ ， 那 么 :ADE ABCCC ． :ADE ABCSS 如图 在△ 和△ 中 ∠ ∠ △ 的周长是 面积是 求△ 的周长和面积 、 如图 蛋糕店制作两种圆形蛋糕 一种半径是 一种半径是 如果半径 的蛋糕够 个人吃 那么半径是 的蛋糕够多少人吃 假设两种蛋糕高度相同 、如图 △ 中 ∠ 为 上一点 为 上一点 且 ⊥ 若△ 的面积等 于四边形 面积的 4 1 求△ 的面积 课题 27.3 位 似 1 A B C D E F 41 导学目标知识点：了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位 似图形的性质．掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形 放大或缩小． 课 时： 课时 导学方法：整理、分析、归纳法 导学过程： 一、自主探究（课前导学） 图中多边形相似吗？观察下面的四个图，你发现每个图中的两个多边形各 对应点的连线有什么特征？ （ ）位似图形：如果两个多边形不仅 ，而且对应顶点的连线 ， 对应边 或 ，那么这样的两个图形叫做位似图形，这 个点叫做 ，这时的相似比又称为 ． （ ）掌握位似图形概念，需注意： ①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是 图 形，而相似图形不一定是 图形； ②两个位似图形的位似中心只有一个； ③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧； ④位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似． （ ）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于 ． （ ）两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线；不经过位 似中心的对应线段平行． 二、合作探究（课堂导学） 实验探究 ：如图，点 是△ 外的一点，分别在射线 、 、 上取一点 、 、 ， A D 42 使得 3 OC OF OB OE OA OD 连接 、 、 ，所得△ 与△ 是否相似？证明你的结 论。 实验探究 ：把图中的四边形 缩小到原来的 2 1 ． 分析：把原图形缩小到原来的 ，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形 各对应顶点到位似中心的距离之比为 ∶ ． 作图时要注意 、首先确定位似中心，位似中心的位置可随意选择； 、确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点； 、确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小； 、符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关， 并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形 三、讨论交流（展示点评） 四、课堂检测（当堂训练） 、如图，以 为位似中心，将 ABC 放大为原来的两倍。 43 ．画出所给图中的位似中心． 拓展延伸（课外练习）： 、四边形 和四边形 是位似图形，位似中心是点 ，则它们的对 应点的连线一定经过 。 、四边形 和四边形 是位似图形，点 是位似中心。如果 ： ，那么 ： 、如果四边形 与四边形 是位似图形，且位似比为 a 下列说法正确 的是 。①△ ∽△ ② aFH BD EG AC  ③ aHEGHFGEF DACDBCAB   。 、如果正五边形 是由正五边形 经过位似变换得到的，若 ： ： ，则下列结论正确的是 、 、 、 ∠ ∠ 、 ∠ ∠ 、用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可选在 、原图形的外部 、原图形的内部 、原图形的边上 、任意位置 、如图，△ 与是位似图形，位似比为 ：，已知 ，则 的长等于 、 、 、 、 8 3 A B C F E D O 44 ．已知：如图，△ ，画 ' ' 'A B C ，使 ∽△ ，且使相似比为 ， 要求 （ ）位似中心在△ 的外部； （ ）位似中心在△ 的内部； （ ）位似中心在△ 的一条边上； （ ）以点 为位似中心． 课题 27.3 位 似 2 导学目标知识点：掌握位似图形在直角坐标系下的点的坐标的变化规律 能利用直角坐标系下位似图形对应点坐标变化的规律来解决问题 课 时： 课时 导学方法：整理、分析、归纳法 导学过程： 一、自主探究（课前导学） ．如图，△ 三个顶点坐标分别为 ， ， （ ）将△ 向左平移三个单位得到△ ，写出 、 、 三点的坐标； （ ）写出△ 关于 轴对称的△ 三个顶点 、 、 的坐标； （ ）将△ 绕点 旋转 得到△ ，写出 、 、 三点的坐标． 45 、在平面直角坐标系中有两点 （ ， ）， （ ， ），以原点 为位似中心，相似比为1 : 2， 把线段 缩小 方法一： 方法二： 探究：（ ）在方法一中， 'A 的坐标是 ， 'B 的坐标是 ，对应点坐标之比 是 ；（ ）在方法二中， ''A 的坐标是 ， ''B 的坐标是 ，对应点坐标 之比是 二、合作探究（课堂导学） 实验探究 ：如图， ABC 三个顶点坐标分别为  2,3A  2,1B  3,1C ，以点O 为位似 中心，相似比为２，将 放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？ 位似变换后 ,,A B C 的对应点坐标为： 'A 'B 'C 46 归纳：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k ， 那么位似图形对应点的坐标的比等于 ； 实验探究 ：如图，在平面直角坐标系中，四边形 的坐标分别为 （ ）， （ ）， （ ）画出一个以原点 为位似中心，相似比为 ： 的位似图形。 y x D B A C O 三、讨论交流（展示点评） 四、课堂检测（当堂训练） 如图，在 的正方形网格中， △ 的顶点坐标分别为 （ ， ）、 （ ， ）、 （ ， ）． （ ）以点 （ ， ）为位似中心，按比例 尺 ′∶ ∶ 在位似中心的同侧将 △ 放大为△ ′ ′，放大后点 、 的 对应点分别为 ′、 ′．画出△ ′ ′， y x B T A O 47 并写出点 ′、 ′的坐标； （ ）在（ ）中，若 （ ， ）为线段 上任一点，写出变化后点 的对应点 ′的坐标． 拓展延伸（课外练习）： 、如图， ABC△ 与 ABC  △ 是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 、如图，四边形 和四边形 ′ ′ ′ ′位似，位似比 1 2k  ，四边形 ′ ′ ′ ′ 和四边形 ″ ″ ″ ″位似，位似比 2 1k  ．四边形 ″ ″ ″ ″和四边形 是位 似图形吗？位似比是多少？ 、如图表示△ 和把它缩小后得到的△ ，求△ 和△ 的相似比． y x A C BD O y x C ' B' B C A O A ' 48 、如图，△ 三个顶点坐标分别为 （ ，－ ）， （ ，－ ）， （ ，－ ），以原点 为位似中心，将这个三角形放大为原来的 倍． 、如图，△ 是格点三角形．在建立平面直角坐标系后，点 的坐标为（ ， ）． 把△ 向左平移 格后得到△ ，则点 的坐标为 把△ 绕点 按顺时针方向旋转 后得到△ ，则点 的坐标为 把△ 以点 为位似中心放大，使放大前后对应边长的比为 ：，则 的坐标是 如图，每个小正方形边长均为 ，点 和△ 的顶点均在小正方形的顶点 （ ）以 为位似中心，在网格图中作△ ′ ′ ′和△ 位似，且位似比为 ︰ ； （ ）连接（ ）中的 ′ 求四边形 ′ ′ 的周长 （结果保留根号） y x A B CO 课题 相似 复习 y xC A B O B y xA C O 49 导学目标知识点：掌握相似三角形的概念，性质和判定三角形相似的条件 能利用相似比、相似的性质进行计算，判断是否相似 课 时： 课时 导学方法：整理、分析、归纳法 导学过程： 一、自主探究（课前导学） 一 比例 、第四比例项、比例中项、比例线段； 、比例基本性质： bcadd c b a  acbc b b a  2 、平行线分线段成比例定理 二、相似 、定义 我们把具有相同形状的图形称为相似形 、相似多边形的特性 ， ， 、相似三角形的判定     相似三角形的性质     、 相似三角形的应用 （ ）利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）； （ ）利用三角形相似，求线段的长等 （ ）利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求 建筑物的高度等。 三、位似 、、位位似似 如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那 么这样的两个图形叫做位似图形。这个点叫做位似中心 这时的相似比又称为位似比 、、位位似似性质： 二、合作探究（课堂导学） 例 已知   3:5:4 xx  ，则 x 50 例 如图，在平行四边形 中， ⊥ 于 ， ⊥ 于 求证： AFAEADAB ::  例 如图， 、 分别是△ 的两边上的高，过 作 ⊥ 于 ，分别交 及 的延长线于 、 ，求证：（ ） ＝ ；（ ） ＝ ． 三、讨论交流（展示点评） 四、拓展延伸（课外练习）： 、如图，在正三角形 中， ， 分别在 ， 上，且 AC AD ＝ 3 1 ， ＝ ，则（ ） （ ）△ ∽△ （ ）△ ∽△ （ ）△ ∽△ （ ）△ ∽△ 51 ．如图，∠ ＝∠ ，图中相似三角形的对数是（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ．如图， 是正方形， 是 的中点， 是 边上的一点，下列条件中，不能推出△ 与△ 相似的是（ ） （ ）∠ ＝∠ （ ）∠ ＝ （ ） 是 的中点（ ） ︰ ＝ ︰ ．如图，△ 中， ⊥ 于 ，且有下列条件：（ ）∠ ＋∠ ＝ ；（ ）∠ ＝∠ ； （ ） AD CD ＝ AB AC ；（ ） ＝ 其中 一定能够判定△ 是直角三角形的共有 （ ） （ ） 个 （ ） 个 （ ） 个 （ ） 个 ．如图，将△ 绕正方形 顶点 顺时针旋转 ，得△ ，连结 交 于 ，则下列结论中错误的是（ ） （ ） ⊥ （ ） ︰ ＝ 2 ︰ （ ） ＝ （ ） ︰ ＝ ︰ ．如图，在矩形 中，点 是 上任意一点，则有（ ） （ ）△ 的周长＋△ 的周长＝△ 的周长 （ ）△ ∽△ （ ）△ 的面积＋△ 的面积＝△ 的面积 （ ）△ ∽△ ．如图，矩形纸片 的长 ＝ ，宽 ＝ ，将其折叠，使点 与点 重合， 那么折叠后 的长和折痕 的长分别为（ ） （ ） 、 10 （ ） 、 （ ） 、 3 （ ） 、 ．如图， 是△ 的角平分线， ∥ ， ∥ ， ＝ ， ＝ ，则 的长等于 ． ．如图，△ 中， ＝ ， ⊥ 于 ， ＝ ， ＝ ， ＝ ，则△ 的面积 是 ． 第 3 题图 第 2 题图 第 1 题图 第 4 题图 第 8 题图 第 10 题 图 第 9 题图 第 8 题图 第 5 题图 第 6 题图 52 ．如图，已知 ∥ ∥ ，且 ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ，则 梯形 ︰ 梯形 ＝ ． 、我侦察员在距敌方 米的地方发现敌人的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建 筑物测量，机灵的侦察员食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好 将该建筑物遮住。若此时眼睛到食指的距离约为 ，食指的长约为 你能根据上述条 件计算出敌方建筑物的高度吗？ 、如图 在梯形 ABCD 中， AD BC∥ ， 6AB DC AD   ， 60ABC，点 EF， 分别在线段 AD DC， 上（点 E 与点 AD， 不重合），且 120BEF，设 AE x ， DF y ． （ ）求 y 与 x 的函数表达式； （ ）当 x 为何值时， y 有最大值，最大值是多少？ 食指位置 建筑物