2020-2021学年湖北省宜昌第二十五中学八年级上学期期中数学试卷 （解析版） 21页

2020-2021 学年湖北省宜昌二十五中八年级第一学期期中数学试 卷 一、选择题 1．（3 分）在以下四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．（3 分）下列线段能构成三角形的是（ ） A．3，3，5 B．2，2，5 C．1，2，3 D．2，3，6 3．（3 分）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′＝∠AOB 的依 据是（ ） A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS 4．（3 分）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．三角形具有稳定性 D．两直线平行，内错角相等 5．（3 分）若一个正多边形的一个内角是 144°，则它的边数是（ ） A．6 B．10 C．12 D．13 6．（3 分）小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示，实际时间是（ ） A．21：10 B．10：21 C．10：51 D．12：01 7．（3 分）已知图中的两个三角形全等，则∠ α 的度数为（ ） A．105° B．75° C．60° D．45° 8．（3 分）如图，已知 EA∥DF，AE＝DF，要使△AEC≌△DBF，则需要（ ） A．AB＝CD B．EC＝BF C．∠A＝∠D D．AB＝BC 9．（3 分）等腰三角形的周长是 20cm，其中一边长 4cm，则腰长为（ ） A．4cm B．8cm C．4cm 或 8cm D．无法确定 10．（3 分）如图，△ABC 中，AC＝BC，CD⊥AB 于 D，下列结论： ① CD 平分∠ACB； ② CD＝AB； ③ ∠A＝∠B； ④ AD＝BD．其中正确的结论有（ ） A． ①②③ B． ①②④ C． ①③④ D． ②③④二、填空题（共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分） 11．（3 分）三角形三边长分别为 3，a，8，则 a 的取值范围是 ． 12．（3 分）一副三角板按如图所示放置，AB∥DC，则∠CAE 的度数为 ． 13．（3 分）若三角形三个内角度数的比为 1：2：3，则这个三角形的最小角是 ． 14．（3 分）如图，△ABC 与△A′B′C′关于直线 l 对称，且∠A＝105°，∠C′＝30°， 则∠B 的度数为 °． 15．（3 分）如图所示的方格中，∠1+∠2+∠3＝ 度． 三、解答题（本大题共 9 小题，计 75 分） 16．（6 分）△ABC 中，∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+10°，求△ABC 的各内角的度数． 17．（6 分）如图，D 在 AB 上，E 在 AC 上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：AD＝AE． 18．（7 分）如图，在△ABC 中，∠C＝90°． （1）尺规作图：作斜边 AB 的垂直平分线 DE，分别交 AB，BC 于 D、E（不写作法， 保留作图痕迹）； （2）已知 AC＝6cm，CB＝8cm，求△ACE 的周长． 19．（7 分）如图，A，B 两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量 A、B 间的距 离：现在地上取一个可以直接到达 A 点和 B 点的点 C，连接 AC 并延长到 D，使 CD＝ AC；连接 BC 并延长到 E，使 CE＝CB；连接 DE 并测量出它的长度． （1）求证：DE＝AB； （2）如果 DE 的长度是 8m，则 AB 的长度是多少？ 20．（8 分）如图的三角形纸板中，AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝5cm，沿过点 B 的直线折 叠这个三角形，使点 C 落在 AB 边的点 E 处，折痕为 BD． （1）求△AED 的周长； （2）若∠C＝100°，∠A＝50°，求∠BDE 的度数． 21．（8 分）如图，BE⊥AC、CF⊥AB 于点 E、F，BE 与 CF 交于点 D，DE＝DF，连接 AD． （1）求证：∠FAD＝∠EAD； （2）连接 BC，判断线段 AD 与线段 BC 的关系，并说明理由． 22．（10 分）如图，点 B 在线段 AC 上，点 E 在线段 BD 上，∠ABD＝∠DBC＝90°，AB ＝DB，EB＝CB，M，N 分别是 AE，CD 的中点． （1）求证：△ABM≌△DBN； （2）试探索 BM 和 BN 的关系，并证明你的结论． 23．（11 分）如图，在△ABC 中，∠BAD＝∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AB＝16cm， AF＝10cm，AC＝14cm，动点 E 以 2cm/s 的速度从 A 点向 F 点运动，动点 G 以 1cm/s 的速度从 C 点向 A 点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间 为 t． （1）求 S△ABD：S△ACD； （2）求证：在运动过程中，无论 t 取何值，都有 S△AED＝2S△DGC； （3）当 t 取何值时，△DFE 与△DMG 全等； （4）若 BD＝8，求 CD． 24．（12 分）如图 1，点 A 和点 B 分别在 y 轴正半轴和 x 轴正半轴上，且 OA＝OB，点 C 和点 D 分别在第三象限和第二象限上，且 OC⊥OD，OC＝OD，点 C 的坐标为（m，n）， 且满足（m﹣2n）2+|n+2|＝0． （1）求点 C 坐标； （2）求证：AC＝BD，AC⊥BD； （3）求∠BEO 度数； （4）如图 2，点 P 在 OA 上，点 Q 在 OB 上且 OP＝OQ，直线 ON⊥BP，交 AB 于点 N， MN⊥AQ 交 BP 延长线于点 M，请猜想 ON，MN，BM 的数量关系并证明． 参考答案 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分） 1．（3 分）在以下四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 解：A、是轴对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意． 故选：A． 2．（3 分）下列线段能构成三角形的是（ ） A．3，3，5 B．2，2，5 C．1，2，3 D．2，3，6 解：A、因为 3+3＞5，则这三边能构成三角形，所以选项 A 正确； B、因为 2+2＜5，则这三边不能构成三角形，所以选项 B 不正确； C、因为 1+2＝3，则这三边不能构成三角形，所以选项 B 不正确； D、因为 2+3＝5＜6，则这三边不能构成三角形，所以选项 B 不正确； 故选：A． 3．（3 分）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′＝∠AOB 的依 据是（ ） A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS 解：由作法得 OD＝OC＝O′C′＝O′D′，CD＝C′D′， 则可根据“SSS”可判定△OCD≌△O′C′D′， 所以∠A′O′B′＝∠AOB． 故选：D． 4．（3 分）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．三角形具有稳定性 D．两直线平行，内错角相等 解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来 增加其稳定性， 故选：C． 5．（3 分）若一个正多边形的一个内角是 144°，则它的边数是（ ） A．6 B．10 C．12 D．13 解：设这个正多边形的边数为 n， 则（n﹣2）×180°＝144°×n， 解得 n＝10． 故选：B． 6．（3 分）小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示，实际时间是（ ） A．21：10 B．10：21 C．10：51 D．12：01 解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与 12：01 成轴对称，所以此时实际时刻为 10：51， 故选：C． 7．（3 分）已知图中的两个三角形全等，则∠ α 的度数为（ ） A．105° B．75° C．60° D．45° 解：∵△ABC≌△DEF， ∴∠D＝∠A＝60°， ∴∠ α ＝180°﹣60°﹣45°＝75°， 故选：B． 8．（3 分）如图，已知 EA∥DF，AE＝DF，要使△AEC≌△DBF，则需要（ ） A．AB＝CD B．EC＝BF C．∠A＝∠D D．AB＝BC 解：∵EA∥DF， ∴∠A＝∠D， ∵AB＝CD， ∴AC＝DB， 在△AEC 和△DBF 中， ∵ ， ∴△AEC≌△DBF（SAS）． 故选：A． 9．（3 分）等腰三角形的周长是 20cm，其中一边长 4cm，则腰长为（ ） A．4cm B．8cm C．4cm 或 8cm D．无法确定 解：若 4cm 为等腰三角形的腰长，则底边长为 20﹣4﹣4＝12（cm），4+4＝8（cm）， 不符合三角形的三边关系； 若 4cm 为等腰三角形的底边，则腰长为（20﹣4）÷2＝8（cm），此时三角形的三边长 分别为 8cm，8cm，4cm，符合三角形的三边关系； ∴该等腰三角形的腰长为 8cm， 故选：B． 10．（3 分）如图，△ABC 中，AC＝BC，CD⊥AB 于 D，下列结论： ① CD 平分∠ACB； ② CD＝AB； ③ ∠A＝∠B； ④ AD＝BD．其中正确的结论有（ ） A． ①②③ B． ①②④ C． ①③④ D． ②③④解：∵AC＝BC， ∴∠A＝∠B， ∵AC＝BC，CD⊥AB， ∴CD 平分∠ACB，AD＝BD， 但 CD 与 AB 不一定相等， 故 ①③④ 正确， 故选：C． 二、填空题（共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分） 11．（3 分）三角形三边长分别为 3，a，8，则 a 的取值范围是 5＜a＜11 ． 解：∵三角形三边长分别为 3，a，8， ∴8﹣3＜a＜8+3， ∴5＜a＜11． 故答案为：5＜a＜11． 12．（3 分）一副三角板按如图所示放置，AB∥DC，则∠CAE 的度数为 15° ． 解：由图可知， ∠1＝45°，∠2＝30°， ∵AB∥DC， ∴∠BAE＝∠1＝45°， ∴∠CAE＝∠BAE﹣∠2＝45°﹣30°＝15°， 故答案为：15°． 13．（3 分）若三角形三个内角度数的比为 1：2：3，则这个三角形的最小角是 30° ． 解：设这三个内角分别为 x，2x，3x， 由题意得，x+2x+3x＝180°， 解得：x＝30°， 即最小角为 30°， 故答案为：30°． 14．（3 分）如图，△ABC 与△A′B′C′关于直线 l 对称，且∠A＝105°，∠C′＝30°， 则∠B 的度数为 45 °． 解：∵△ABC 与△A′B′C′关于直线 l 对称， ∴△ABC≌△A′B′C′， ∵∠C′＝30°， ∴∠C＝30°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣105°﹣30°＝45°． 故答案为：45． 15．（3 分）如图所示的方格中，∠1+∠2+∠3＝ 135 度． 解：如图，根据网格结构可知， 在△ABC 与△ADE 中， ， ∴△ABC≌△ADE（SSS）， ∴∠1＝∠DAE， ∴∠1+∠3＝∠DAE+∠3＝90°， 又∵AD＝DF，AD⊥DF， ∴△ADF 是等腰直角三角形， ∴∠2＝45°， ∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°． 故答案为：135． 三、解答题（本大题共 9 小题，计 75 分） 16．（6 分）△ABC 中，∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+10°，求△ABC 的各内角的度数． 解：∵∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+10°， ∴∠C＝∠A+10°+10°＝∠A+20°， 由三角形内角和定理得，∠A+∠B+∠C＝180°， 所以，∠A+∠A+10°+∠A+20°＝180°， 解得∠A＝50°， 所以，∠B＝50°+10°＝60°， ∠C＝50°+20°＝70°． 17．（6 分）如图，D 在 AB 上，E 在 AC 上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：AD＝AE． 【解答】证明：在△ABE 与△ACD 中， ， ∴△ACD≌△ABE（ASA）， ∴AD＝AE（全等三角形的对应边相等）． 18．（7 分）如图，在△ABC 中，∠C＝90°． （1）尺规作图：作斜边 AB 的垂直平分线 DE，分别交 AB，BC 于 D、E（不写作法， 保留作图痕迹）； （2）已知 AC＝6cm，CB＝8cm，求△ACE 的周长． 解：（1）如图所示，DE 即为所求； （2）∵DE 垂直平分 AB， ∴AE＝BE， ∴△ACE 的周长＝AC+CE+AE＝AC+CE+BE＝AC+BC， 又∵AC＝6cm，CB＝8cm， ∴△ACE 的周长＝6+8＝14（cm）． 19．（7 分）如图，A，B 两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量 A、B 间的距 离：现在地上取一个可以直接到达 A 点和 B 点的点 C，连接 AC 并延长到 D，使 CD＝ AC；连接 BC 并延长到 E，使 CE＝CB；连接 DE 并测量出它的长度． （1）求证：DE＝AB； （2）如果 DE 的长度是 8m，则 AB 的长度是多少？ 【解答】（1）证明：在△CDE 和△CAB 中， ， ∴△CDE≌△CAB（SAS）， ∴DE＝AB； （2）解：∵DE＝AB，DE＝8m， ∴AB＝8m． 答：AB 的长度是 8m． 20．（8 分）如图的三角形纸板中，AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝5cm，沿过点 B 的直线折 叠这个三角形，使点 C 落在 AB 边的点 E 处，折痕为 BD． （1）求△AED 的周长； （2）若∠C＝100°，∠A＝50°，求∠BDE 的度数． 解：（1）由折叠的性质得：BE＝BC＝6cm，DE＝DC， ∴AE＝AB﹣BE＝AB﹣BC＝8﹣6＝2（cm）， ∴△AED 的周长＝AD+DE+AE＝AD+CD+AE＝AC+AE＝5+2＝7（cm）； （2）由折叠的性质得∠C＝∠DEB＝100°，∠BDE＝∠CDB， ∵∠DEB＝∠A+∠ADE， ∴∠ADE＝100°﹣50°＝50°， ∴∠BDE＝∠CDB＝ ＝65°． 21．（8 分）如图，BE⊥AC、CF⊥AB 于点 E、F，BE 与 CF 交于点 D，DE＝DF，连接 AD． （1）求证：∠FAD＝∠EAD； （2）连接 BC，判断线段 AD 与线段 BC 的关系，并说明理由． 【解答】（1）证明：∵BE⊥AC、CF⊥AB 于点 E、F，DE＝DF， ∴AD 平分∠BAC， ∴∠FAD＝∠EAD； （2）解：AD 垂直平分 BC，理由如下： 延长 AD 交 BC 于 M，如图所示： ∵BE⊥AC、CF⊥AB 于点 E、F， ∴∠ABD+∠BAE＝90°，∠ACD+∠BAE＝90°， ∴∠ABD＝∠ACD， 在△ABD 和△ACD 中， ， ∴△ABD≌△ACD（AAS）， ∴AB＝AC， ∵∠FAD＝∠EAD， ∴AD 垂直平分 BC． 22．（10 分）如图，点 B 在线段 AC 上，点 E 在线段 BD 上，∠ABD＝∠DBC＝90°，AB ＝DB，EB＝CB，M，N 分别是 AE，CD 的中点． （1）求证：△ABM≌△DBN； （2）试探索 BM 和 BN 的关系，并证明你的结论． 解：（1）证明：∵AB＝DB，∠ABD＝∠DBC，EB＝CB， ∴△ABE≌△DBC（SAS）， ∴AE＝CD，∠BAE＝∠CDB， ∵M，N 分别是 AE，CD 的中点， ∴AM＝ AE，DN＝ CD， ∴AM＝DN， ∴△MAB≌△NDB（SAS）． （2）结论：BM⊥BN，且 BM＝BN． 理由：∵△MAB≌△NDB， ∴BM＝BN，∠ABM＝∠DBN， ∵∠ABM+∠MBD＝90°， ∴∠DBN+∠MBD＝90°， 即∠MBN＝90°， ∴BM⊥BN． 23．（11 分）如图，在△ABC 中，∠BAD＝∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AB＝16cm， AF＝10cm，AC＝14cm，动点 E 以 2cm/s 的速度从 A 点向 F 点运动，动点 G 以 1cm/s 的速度从 C 点向 A 点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间 为 t． （1）求 S△ABD：S△ACD； （2）求证：在运动过程中，无论 t 取何值，都有 S△AED＝2S△DGC； （3）当 t 取何值时，△DFE 与△DMG 全等； （4）若 BD＝8，求 CD． 解：（1）∵∠BAD＝∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC， ∴DF＝DM， ∵ ， ∴ ； （2）∵ ， ， ∴ ， ∵点 E 以 2cm/s 的速度从 A 点向 F 点运动，动点 G 以 1cm/s 的速度从 C 点向 A 点运动， ∴AE＝2t，CG＝t． ∴ ， ∴ ∴在运动过程中，不管 t 取何值，都有 S△AED＝2S△DGC； （3）∵∠BAD＝∠DAC，AD＝AD，DF＝DM， ∴△ADF≌△ADM． ∴AF＝AM＝10． ∵点 E 以 2cm/s 的速度从 A 点向 F 点运动，动点 G 以 1cm/s 的速度从 C 点向 A 点运动， 当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，运动时间为 t， ∴EF＝AF﹣AE＝10﹣2t，CG＝t． ∴0＜t＜5． ① 当 M 在线段 CG 上时，MG＝CG﹣（AC﹣AM）＝t﹣4． 当 EF＝MG 时△DFE 与△DMG 全等时． ∴10﹣2t＝t﹣4． 解得 t＝ ． ② 当 M 在线段 CG 延长线上时，MG＝4﹣t． ∴10﹣2t＝4﹣t． 解得 t＝6． ③ 当 E 在 BF 上时，2t﹣10＝t﹣4，解得 t＝6，（不符合题意舍去）， ∴当 t＝ s 时，△DFE 与△DMG 全等． （4）过点 A 作 AN⊥BC 交 BC 于 N，如图， 由（1）得∴ ； 又∵ ， ∴ ； 又∵BD＝8， ∴CD＝7． 24．（12 分）如图 1，点 A 和点 B 分别在 y 轴正半轴和 x 轴正半轴上，且 OA＝OB，点 C 和点 D 分别在第三象限和第二象限上，且 OC⊥OD，OC＝OD，点 C 的坐标为（m，n）， 且满足（m﹣2n）2+|n+2|＝0． （1）求点 C 坐标； （2）求证：AC＝BD，AC⊥BD； （3）求∠BEO 度数； （4）如图 2，点 P 在 OA 上，点 Q 在 OB 上且 OP＝OQ，直线 ON⊥BP，交 AB 于点 N， MN⊥AQ 交 BP 延长线于点 M，请猜想 ON，MN，BM 的数量关系并证明． 解：（1）∵（m﹣2n）2+|n+2|＝0 又∵（m﹣2n）2≥0，|n+2|≥0， ∴n＝﹣2，m＝﹣4， ∴点 C 坐标为（﹣4，﹣2）； （2）如图 1 中，作 OH⊥BD 于 H，OF⊥AC 于 F． ∵OA＝OB，OD＝OC，∠AOB＝∠COD＝90°， ∴∠BOD＝∠AOC， ∴△BOD≌△AOC（SAS）， ∴BD＝AC， ∴HO＝OF（全等三角形对应边上的高相等）， ∴OE 平分∠BEC， ∵△BOD≌△AOC， ∴∠OBD＝∠OAC， 设 BD 交 y 轴于点 R，则∠ARE＝∠BRO， ∴∠AEB＝∠BOA＝90°， 即 AC⊥BD； （3）由（2）知，AC⊥BD，则∠FEH＝90°， ∴∠OHE＝∠OFE＝∠FEH＝90°， 故四边形 OHEF 为矩形， 而 HO＝OF，故四边形 OHEF 为正方形， 而 OE 为该正方形的对角线， ∴∠BEO＝45°； （4）结论：BM＝MN+ON． 理由：如图 2 中，过点 B 作 BH∥y 轴交 MN 的延长线于 H． ∵OQ＝OP，OA＝OB，∠AOQ＝∠BOP＝90°， ∴△AOQ≌△BOP（SAS）， ∴∠OBP＝∠OAQ， ∵∠OBA＝∠OAB＝45°， ∴∠ABP＝∠BAQ， ∵NM⊥AQ，BM⊥ON， ∴∠ANM+∠BAQ＝90°，∠BNO+∠ABP＝90°， ∴∠ANM＝∠BNO＝∠HNB， ∵∠HBN＝∠OBN＝45°，BN＝BN， ∴△BNH≌△BNO（AAS）， ∴HN＝NO，∠H＝∠BON， ∵∠HBM+∠MBO＝90°，∠BON+∠MBO＝90°， ∴∠HBM＝∠BON＝∠H， ∴MH＝MB， ∴BM＝MN+NH＝MN+ON．