浙教版九年级上册二次函数专题之四边形存在性问题（教师版） 12页

二次函数专题之四边形存在性问题 ‎【例1】如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴相交于（0，﹣），顶点为P．‎ ‎（1）求抛物线解析式；‎ ‎（2）在抛物线是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）坐标平面内是否存在点F，使得以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标，并求出平行四边形的面积．‎ ‎【详解】（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，将（﹣3，0），（1，0），（0，）代入抛物线解析式得，解得：a=，b=1，c=﹣∴抛物线解析式：y=x2+x﹣‎ ‎（2）∵y=x2+x﹣=（x+1）2﹣2‎ ‎∴P点坐标为（﹣1，﹣2）‎ ‎∵△ABP的面积等于△ABE的面积，‎ ‎∴点E到AB的距离等于2，‎ 设E（a，2），‎ ‎∴a2+a﹣=2解得a1=﹣1﹣2，a2=﹣1+2‎ ‎∴符合条件的点E的坐标为（﹣1﹣2，2）或（﹣1+2，2）‎ ‎（3）∵点A（﹣3，0），点B（1，0），∴AB=4‎ ‎①若AB为边，且以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形 ‎∴AB∥PF，AB=PF=4‎ ‎∵点P坐标（﹣1，﹣2）‎ ‎∴点F坐标为（3，﹣2），（﹣5，﹣2）‎ ‎∴平行四边形的面积=4×2=8‎ ‎②若AB为对角线，以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形 ‎∴AB与PF互相平分 设点F（x，y）且点A（﹣3，0），点B（1，0），点P（﹣1，﹣2）‎ ‎∴ ，∴x=﹣1，y=2‎ ‎∴点F（﹣1，2）‎ ‎∴平行四边形的面积=×4×4=8‎ 综上所述：点F的坐标为（﹣1，2）、（3，﹣2）、（﹣5，﹣2），且平行四边形的面积为8．‎ ‎【例2】抛物线的图象经过坐标原点，且与轴另交点为.‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）如图，直线与抛物线相交于点和点（点在第二象限），求的值（用含的式子表示）；‎ ‎（3）在（2）中，若，设点是点关于原点的对称点，如图.平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【详解】（1）∵抛物线y=x2+bx+c的图象经过点（0，0）和（-，0），‎ ‎∴，解得：，‎ ‎∴抛物线F的解析式为y=x2+x． ‎ ‎（2）将y=x+m代入y=x2+x，得：x2=m，‎ 解得：x1=﹣，x2=，‎ ‎∴y1=﹣+m，y2=+m，‎ ‎∴y2﹣y1=（+m）﹣（﹣+m）=（m＞0）．‎ ‎（3）∵m=，‎ ‎∴点A的坐标为（﹣，），‎ 点B的坐标为（，2）．‎ ‎∵点A′是点A关于原点O的对称点，‎ ‎∴点A′的坐标为（，﹣）．‎ 由两点距离公式可得：AA′=AB=A′B=，‎ ‎∴存在符合题意的点P，且以点A、B、A′、P为顶点的菱形分三种情况，设点P的坐标为（x，y）．‎ ‎（i）当A′B为对角线时，有，解得：，‎ ‎∴点P的坐标为（2，）； ‎ ‎（ii）当AB为对角线时，有，解得：，‎ ‎∴点P的坐标为（﹣，）； ‎ ‎（iii）当AA′为对角线时，有，解得：，‎ ‎∴点P的坐标为（﹣，﹣2）．‎ ‎【例3】如图，抛物线与直线交于，两点，直线交轴与点，点是直线上的动点，过点作轴交于点，交抛物线于点.‎ ‎(1)求抛物线的表达式；‎ ‎(2)连接，，当四边形是平行四边形时，求点的坐标；‎ ‎(3)在轴上存在一点，连接，，当点运动到什么位置时，以为顶点的四边形是矩形？求出此时点的坐标；‎ 解析：（1）∵点A（﹣4，﹣4），B（0，4）在抛物线y=﹣x2+bx+c上，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+4；‎ ‎（2）设直线AB的解析式为y=kx+n过点A，B，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴直线AB的解析式为y=2x+4，‎ 设E（m，2m+4）∴G（m，﹣m2﹣2m+4），‎ ‎∵四边形GEOB是平行四边形，∴EG=OB=4，‎ ‎∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4=4，‎ ‎∴m=﹣2，∴G（﹣2，4）；‎ ‎（3）①如图1，‎ 由（2）知，直线AB的解析式为y=2x+4，‎ ‎∴设E（a，2a+4），‎ ‎∵直线AC：y=﹣x﹣6，∴F（a，﹣a﹣6），‎ 设H（0，p），‎ ‎∵以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，‎ ‎∵直线AB的解析式为y=2x+4，直线AC：y=﹣x﹣6，‎ ‎∴AB⊥AC，‎ ‎∴EF为对角线，‎ ‎∴（﹣4+0）=（a+a），（﹣4+p）=（2a+4﹣a﹣6），‎ ‎∴a=﹣2，P=﹣1，‎ ‎∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；‎ ‎【达标检测】‎ ‎1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果四边形ABMP是平行四边形，则点M的坐标为______．‎ ‎【详解】∵y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，‎ ‎∴A（-1，0）；B（3，0）∴AB=4，‎ ‎∵四边形ABMP是平行四边形，‎ ‎∴AB//PM，PM=AB=4，‎ ‎∵P点在y轴上，‎ ‎∴P点横坐标为4，‎ ‎∵P点在抛物线y=﹣x2+2x+3上，‎ ‎∴x=4时，y=-16+8+3=-5，‎ ‎∴M点的坐标为：（4，-5）.‎ ‎2．如图，抛物线与轴的负半轴交于点，与轴交于点，连接，点分别是直线与抛物线上的点，若点围成的四边形是平行四边形，则点的坐标为__________. ‎ ‎【详解】由抛物线的表达式求得点的坐标分别为. ‎ 由题意知当为平行四边形的边时，，且，‎ ‎∴线段可由线段平移得到. ‎ ‎∵点在直线上，①当点的对应点为时，如图，需先将向左平移1个单位长度，‎ 此时点的对应点的横坐标为，将代入，‎ 得，∴. ‎ ‎②当点A的对应点为时，同理，先将向右平移2个单位长度，可得点的对应点的横坐标为2，‎ 将代入得，∴‎ 当为平行四边形的对角线时，可知的中点坐标为，‎ ‎∵在直线上，‎ ‎∴根据对称性可知的横坐标为，将代入 得，∴. ‎ 综上所述，点的坐标为或或.‎ ‎3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线，经过A（0，﹣4），B（，0），C（，0）三点，且．‎ ‎（1）求b，c的值；‎ ‎（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；‎ ‎（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．‎ 解析：（1）∵抛物线，经过点A（0，﹣4），∴c=﹣4，‎ 又∵由题意可知，、是方程的两个根，∴，，由已知得，∴，∴，∴‎ ‎，解得：，‎ 当b=时，抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上，不合题意，舍去．∴b=；‎ ‎（2）∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上，又∵=，∴抛物线的顶点（，）即为所求的点D；‎ ‎（3）∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（﹣6，0），根据菱形的性质，点P必是直线x=﹣3与抛物线的交点，∴当x=﹣3时，=4，∴在抛物线上存在一点P（﹣3，4），使得四边形BPOH为菱形．‎ 四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是（﹣3，3），但这一点不在抛物线上．‎