九年级数学下册第三章圆2圆的对称性第1课时习题课件北师大版 40页

2 圆的对称性 第 1 课时 1. 利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理 .( 重点 ) 2.(1) 和圆有关的相关概念的辨析理解 . (2) 垂径定理及其逆定理的应用 .( 重点、难点 ) 1. 圆的轴对称性 圆是轴对称图形，其对称轴是 _____________________. 2. 和圆相关的概念 (1) 弦和直径：弦是连接圆上任意两点间的 _____ ，直径是经过 _____ 的弦 . (2) 弧： _____ 任意两点间的部分叫做圆弧，简称 ___. (3) 等圆和等弧： _____ 相等的圆叫等圆，在 ___________ 中， 能够完全 _____ 的弧叫做等弧 . 任意一条过圆心的直线 线段 圆心 圆上 弧 半径 同圆或等圆 重合 3. 垂径定理及其推论 如图， CD 为⊙ O 的直径， AB 为弦 . 【 思考 1】 (1) 当 CD⊥AB ，垂足为 E 时，将圆沿直线 CD 对折，点 A 与 点 B 重合吗？你会发现哪些相等的线段和相等的弧？ 提示： 重合 . (2) 你能证明 AE=BE 吗？ 提示： 连接 OA ， OB ，则 OA=OB. ∵CD⊥AB ，∴△ OAE 和△ OBE 都是直角三角形 . 又∵ OE 为公共边，∴两个直角三角形全等，则 AE=BE. (3) 当 AE=BE 时，将圆沿直线 CD 对折， 相等吗？ 提示： 连接 OA ， OB ，则 OE 为等腰△ AOB 底边上的中线， ∴ CD⊥AB ，∴对折后点 A 与点 B 重合， (4) 上述证明是在△ AOB 存在即 AB 为非直径的弦的条件下得到的 结论，那么当 AB 为直径时是否成立呢？你能画出图形吗？ 提示： 成立 . 如图所示 . 【 总结 】 垂径定理：垂直于弦的直径 _______ ，并且 _____ 弦所 对的弧 . 平分弦 平分 【 思考 2 】 (1)AB 是⊙ O 的弦 ( 不是直径 ) ，作一条平分 AB 的直径 CD ，交 AB 于点 E ，那么 CD 会垂直于 AB 吗？还会平分弦所对的两 条弧吗？ 提示： 连接 OA ， OB ，则 OA=OB ，△ AOB 为等腰三角形 . ∵ 直径 CD 平分 AB ，∴底边 AB 上的中线 OE 所在的直线 CD⊥AB.∵CD 为直径， (2) 当弦 AB 为直径时，作一条平分 AB 的直径 CD ，那么 CD 还垂直于 AB 吗？还平分弦所对的两条弧吗？请画图说明 . 提示： 不一定 . 如图， CD 平分 AB ，但是 CD 不垂直于 AB ，不平分弦所对的两条弧 . 【 总结 】 垂径定理的推论 : 平分弦 ( 不是直径 ) 的直径 _____ 于弦 , 并且 _____ 弦所对的弧 . 垂直 平分 ( 打“√”或“ ×”) (1) 任意一条直径都是圆的对称轴 .( ) (2) 半径是一个圆中最短的弦 .( ) (3) 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 .( ) (4) 等弧一定出现在等圆或同圆中 .( ) × × × √ 知识点 1 垂径定理 【 例 1】 如图，⊙ O 的半径为 2 ，弦 点 C 在弦 AB 上， 则 OC 的长为 ( ) 【 思路点拨 】 作 OD⊥AB 于点 D→ 构造两个直角三角形，应用勾 股定理和垂径定理→求出 OC 的长度 . 【 自主解答 】 选 D. 如图，作 OD⊥AB 于点 D ，则 由勾股定理，得 【 总结提升 】 垂径定理运用中的 “ 两注意 ” 1. 两条辅助线：一是过圆心作弦的垂线，二是连接圆心和弦的一端 ( 即半径 ) ，这样把半径、圆心到弦的距离、弦的一半构建在一个直角三角形中，运用勾股定理求解 . 2. 方程的思想：在直接运用垂径定理求线段的长度时，常常将未知的一条线段设为 x, 利用勾股定理构造关于 x 的方程解决问题 . 这是一种用代数方法解决几何问题的解题思路 . 知识点 2 垂径定理的应用 【 例 2】 如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以 O 为圆心的 圆的一部分，路面 AB=10 米，净高 CD=7 米，则此圆的半径 OA 是 多少米？ 【 解题探究 】 1. 根据题意及图示，你能用数学符号语言表述垂径定理吗 ( 假设 CE 为⊙ O 的直径 ) ？ 提示： ∵ CE 为⊙ O 的直径， CE⊥AB ， 2. 如何根据垂径定理求 AD 的长？ 提示： 在⊙ O 中， AB=10 米，∵ OD⊥AB ， 3 ．设⊙ O 的半径 OA 为 x 米，请用代数式表示线段 OD 的长 . 提示： OD 可表示为 (7-x) 米 . 4 ．应用垂径定理计算的关键是寻找以弦的一半、半径和弦到 圆心的垂线段为边的直角三角形 . 利用勾股定理列方程求解， 请你找出此直角三角形，并求解 . 提示： 此直角三角形是 Rt△AOD. 在 Rt△AOD 中， OA 2 =OD 2 +AD 2 ， 即 x 2 =(7-x) 2 +5 2 ，解得 【 总结提升 】 垂径定理基本图形的四变量、两关系 1. 四变量：如图，弦长 a ，圆心到弦的距离 d, 半径 r, 弧的中点 到弦的距离 ( 弓形高 )h, 这四个变量知任意两个可求其他两个 . 2. 两关系： 题组一： 垂径定理 1.(2013· 广安中考 ) 如图，已知半径 OD 与弦 AB 互相垂直，垂足 为点 C ，若 AB=8 cm ， CD=3 cm ，则圆 O 的半径为 ( ) 【 解析 】 选 A. 连接 AO ，设圆 O 的半径是 r cm, 则 AO=r cm,CO=(r- 3)cm. 由垂径定理得 在 Rt△AOC 中，由勾股定理 得 4 2 +(r-3) 2 =r 2 ，解得 2.(2013· 潍坊中考 ) 如图，⊙ O 的直径 AB=12 ， CD 是⊙ O 的弦， CD⊥AB ，垂足为 P ，且 BP∶AP= 1∶5, 则 CD 的长为 ( ) 【 解析 】 选 D. 连接 OC ， ∴ OP=4.∵AP⊥CD ，∴ CP=DP. 在 Rt △ OCP 中， 3. 如图， AB 为⊙ O 的直径，弦 CD⊥AB 于 E ，已知 CD ＝ 12 ， BE ＝ 2 ，则⊙ O 的直径为 ( ) A.8 B.10 C.16 D.20 【 解析 】 选 D. 连接 OC ，设 OC 的长为 r ，∵ CD ＝ 12 ，由垂径定理 可得 CE ＝ 6 ，△ OEC 是直角三角形，∵ BE ＝ 2 ， ∴ OE ＝ r － 2 ， 由勾股定理可得 OC 2 ＝ OE 2 +CE 2 ， 即 r 2 ＝ (r － 2) 2 +6 2 ，解得 r ＝ 10 ，∴⊙ O 的直径为 10 × 2=20. 4. 如图，在半径为 10 的⊙ O 中，如果弦心距 OC=6 ，那么弦 AB 的长等于 _____. 【 解析 】 连接 OA ，在 Rt△OAC 中， OA=10 ， OC=6 ，根据勾股定理 得到 因而 AB=2AC=16 ，弦 AB 的长等于 16 ． 答案： 16 5. 如图 , 在⊙ O 中 ,AB 为⊙ O 的弦 ,C,D 是直线 AB 上的两点 , 且 AC=BD, 求证：△ OCD 是等腰三角形 . 【 证明 】 过 O 点作 OM⊥AB, 垂足为 M.∵OM⊥AB,∴AM=BM. ∵AC=BD,∴CM=DM. 又∵ OM⊥AB, ∴ OC=OD. ∴△ OCD 是等腰三角形 . 6. 已知：如图，∠ PAC=30° ，在射线 AC 上顺次截取 AD=3 cm ， DB=10 cm ，以 DB 为直径作⊙ O 交射线 AP 于 E ， F 两点，求圆心 O 到 AP 的距离及 EF 的长 . 【 解析 】 过点 O 作 OG⊥AP 于点 G ，连接 OF ， ∵ DB=10 cm ，∴ OD=5 cm ， ∴ AO=AD+OD=3+5=8(cm) ， ∵∠ PAC=30° ， ∵ OG⊥EF ，∴ EG=GF ， ∴ EF=2GF=6(cm) ， ∴圆心 O 到 AP 的距离为 4 cm,EF 的长为 6 cm. 【 解题技巧 】 解决有关弦的问题 , 常常需要作辅助线：弦心距和半径 , 把垂径定理和勾股定理结合起来 . 题组二： 垂径定理的应用 1. 如图 , 将半径为 2 cm 的圆形纸片折叠后 , 圆弧恰好经过圆心 O, 则折痕 AB 的长为 ( ) 【 解析 】 选 C. 作 OD⊥AB 于 D, 连接 OA. 根据 题意得 再根据勾股定理得： AD= cm, 根据垂径定理得 2.(2013· 丽水中考 ) 一条排水管的截面如图所示， 已知排水管的半径 OB=10 ，水面宽 AB=16 ，则截面 圆心 O 到水面的距离 OC 是 ( ) A.4 B.5 C.6 D.8 【 解析 】 选 C. 由垂径定理知 OC 垂直平分 AB ，故 BC=8 ，由勾股定理得 OC=6. 3. 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是 10 mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为 8 mm ，如图所示，则这个小圆孔的宽口 AB 的长度为 ______mm. 【 解析 】 设圆心为 O ，过点 O 作 OD⊥AB 于点 D ，根据题意知， OA=5 mm ， OD=8 － 5=3(mm) ，根据勾股定理，得： 则 AB=2AD=8 mm. 答案： 8 4. 如图，以点 P 为圆心的圆弧与 x 轴交于 A ， B 两点，点 P 的坐标为 (4 ， 2) ，点 A 的坐标为 (2 ， 0) ，则点 B 的坐标为 ______. 【 解析 】 如图，过点 P 作 PC⊥x 轴于 C ，则 OC=4 ， 又 OA=2 ，所以 AC=2 ，根据垂径定理可得 BC=AC=2. 因此，点 B 的坐标为 (6 ， 0). 答案： (6,0) 5. 在直径为 52 cm 的圆柱形油槽内装入一些油后 , 截面如图 , 如果油的最大深度为 16 cm, 那么油面宽度 AB 为 _______cm. 【 解析 】 作 OC⊥AB, 交⊙ O 于 D, 连接 OA, 依题意 OC=26-16=10(cm),AC 2 =26 2 -10 2 =24 2 ,AC= 24(cm). 由垂径定理知 AB=48 cm. 因此油面 宽 AB 为 48 cm. 答案： 48 6. 如图 , 我国新建一座石拱桥 , 桥拱是圆弧形 , 它的跨度 ( 弧所对的弦长 ) 为 40 m, 拱高 ( 弧的中点到弦的距离 ) 为 8 m, 求桥拱的半径 R. 【 解析 】 经过圆心 O 作弦 AB 的垂线 OD,D 为垂足 , 与 相交于 C. 根据垂径定理 ,D 是 AB 的中点 , C 是 的中点 ,CD 就是拱高 . 由题设 AB=40 m,CD=8 m, 在 Rt△OAD 中 , 由勾股定理得 , OA 2 =AD 2 +OD 2 , 即 R 2 =20 2 +(R-8) 2 , 解这个方程得 R=29 m. 【 想一想错在哪？ 】 有一个半径为 5 米的排水管，水面宽度为 8 米，求此时水的深度 . 提示： 此题没有给出图形，应该有两个深度 .