九年级数学下册第二章二次函数5用三种方式表示二次函数习题课件北师大版 27页

5 用三种方式表示二次函数 1. 会用三种方式表示变量之间的二次函数关系 .( 重点 ) 2. 能够根据二次函数的不同表示方式 , 从不同侧面对函数性质进行研究 .( 重点 ) 3. 明确实际问题中二次函数的自变量的取值范围对图象的影响 .( 难点 ) 1. 二次函数的三种表示方式 :(1)___________,(2)_____, (3)_____. 2. 二次函数的三种表示方式的比较 : 函数表达式 表格 图象 表示方式 优点 缺点 函数表达式 可以全面、完整、简洁地表示变量之间的关系 不够直观 , 函数的变化规律不明显 表格 可以清楚、直接地表示变量间的 _________ 关系 只能列出部分对应值 , 函数的变化规律不明显 图象 可以直观地表示函数的 _____ 过程和 _____ 趋势 从图象观察的结果不够准确 数值对应 变化 变化 ( 打 “ √ ” 或 “ × ” ) (1) 确定二次函数的表达式需要三个条件 .( ) (2) 二次函数的三种表示方式不能一起运用 .( ) (3) 在实际问题中 , 二次函数的图象一定不是一条完整的抛物 线 .( ) (4) 二次函数的表达式一般有三种形式 .( ) √ × × √ 知识点 二次函数的三种表示方式  【 例 】 (1) 任选以下三个条件中的一个 , 求二次函数 y=ax 2 +bx+c 的关系式 : ①y 随 x 变化的部分数值规律如下表 : x -1 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 ② 有序数对 (-1,0),(1,4),(3,0) 满足 y=ax 2 +bx+c; ③ 已知函数 y=ax 2 +bx+c 的图象的一部分 ( 如图 ). (2) 直接写出 (1) 中二次函数 y=ax 2 +bx+c 的三个性质 . 【 思路点拨 】 (1) 选择① , 观察表格可知抛物线顶点坐标为 (1,4), 设抛物线顶点式 , 将点 (0,3) 代入确定 a 的值 . (2) 根据抛物线的对称轴、开口方向、增减性等说出性质 . 【 自主解答 】 (1) 由①的表格可知 , 抛物线顶点坐标为 (1,4), 设抛物线表达式为 y=a(x-1) 2 +4, 将点 (0,3) 代入 , 得 a(0-1) 2 +4=3, 解得 a=-1, ∴ 抛物线表达式为 y=-(x-1) 2 +4, 即 y=-x 2 +2x+3. (2) 抛物线 y=-x 2 +2x+3 的性质 : ① 对称轴为 x=1, ② 当 x=1 时 , 函数有最大值为 4, ③ 当 x<1 时 ,y 随 x 的增大而增大 .( 答案不惟一 ) 【 总结提升 】 “ 三式 ” 巧定表达式 1. 一般式 : 所给的条件能够确定抛物线上三个不同点的坐标时 , 可设表达式为 y=ax 2 +bx+c( 一般式 ). 2. 顶点式 : 所给条件能够确定抛物线的顶点坐标时 , 可设表达式为 y=a(x-h) 2 +k( 顶点式 ). 3. 交点式 : 所给条件能够确定抛物线与 x 轴的两个交点坐标时 , 则可设表达式为 y=a(x-x 1 )(x-x 2 )( 交点式 ). 题组 : 二次函数的三种表示方式 1. 已知函数 y=ax 2 +bx+c 的图象如图所示 , 那么函数表达式 为 ( 　　 ) A.y=-x 2 +2x+3 B.y=x 2 -2x-3 C.y=-x 2 -2x+3 D.y=-x 2 -2x-3 【 解析 】 选 B ．由图象知抛物线经过点 (-1 ， 0) ， (3 ， 0) ， (0 ， -3) ， 即 y=x 2 -2x-3. 2. 若二次函数 y=ax 2 +bx+a 2 -2(a,b 为常数 ) 的图象如图，则 a 的 值为 ( ) 【 解析 】 选 C ．∵图象经过原点，∴ a 2 — 2=0 ，得： 或 ∵图象开口向下， 3.(2013 · 徐州中考 ) 二次函数 y=ax 2 +bx+c 图象上部分点的坐标 满足下表 则该函数图象的顶点坐标为 ( 　　 ) A.(-3,-3) B.(-2,-2) C.(-1,-3) D.(0,-6) 【 解析 】 选 B. 由 (-3,-3),(-1,-3) 知顶点的横坐标是 -2, 故顶点 的坐标是 (-2,-2). x … -3 -2 -1 0 1 … y … -3 -2 -3 -6 -11 … 4. 如图 ,△ABC 和△ DEF 是全等的等腰直角三角形 ,∠ABC=∠DEF =90°, AB=4cm,BC 与 EF 在直线 l 上 , 开始时 C 点与 E 点重合 , 让 △ ABC 沿直线 l 向右平移 , 直到 B 点与 F 点重合为止 , 设△ ABC 与 △ DEF 的重叠部分 ( 即图中阴影部分 ) 的面积为 y cm 2 ,CE 的长度 为 x cm, 则 y 与 x 之间的函数图象大致是 ( 　　 ) 【 解析 】 选 C. 由题意得：当 0≤x≤4 时， 当 4≤x≤8 时， 所以 y 与 x 之间的函数图象大致是 C. 【 变式备选 】 如图，正方形 ABCD 的边长为 1 ， E,F,G,H 分别为各边上的点，且 AE=BF=CG=DH ，设小正方形 EFGH 的面积为 S ， AE 为 x ，则 S 关于 x 的函数图象大致是 ( ) 【 解析 】 选 B. 易证 Rt△AEH≌Rt△BFE≌Rt△CGF≌Rt△DHG, ∴S=EH 2 =AE 2 +AH 2 =x 2 +(1-x) 2 =2x 2 -2x+1, 则 S 关于 x 的函数图象 是抛物线的一部分 , 根据抛物线的开口和自变量的取值易判 断选项 B 正确 . 5. 若抛物线 y=ax 2 +bx+c 的顶点是 A(2,1), 且经过点 B(1,0), 则抛物线的函数关系式为 ___________. 【 解析 】 根据题意 , 设 y=a(x-2) 2 +1, 抛物线经过点 (1,0), 所以 a+1=0,a=-1. 因此抛物线的函数关系式为 :y=-(x-2) 2 +1=-x 2 +4x-3. 答案 : y=-x 2 +4x-3 6. 两个数的和为 6, 设其中一个数为 x, 这两个数的平方和为 y, 则 y 与 x 的函数表达式为 __________. 【 解析 】 y=x 2 +(6-x) 2 =x 2 +36-12x+x 2 =2x 2 -12x+36. 答案 : y=2x 2 -12x+36 7.(2013 · 武汉中考 ) 科幻小说 《 实验室的故事 》 中 , 有这样一个情节 : 科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中 , 经过一天后 , 测试出这种植物高度的增长情况 ( 如下表 ). 温度 x/℃ … -4 -2 0 2 4 4.5 … 植物每天 高度增长 量 y/mm … 41 49 49 41 25 19.75 … 由这些数据 , 科学家推测出植物每天高度增长量 y 是温度 x 的函数 , 且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种 . (1) 请你选择一种适当的函数 , 求出它的函数关系式 , 并简要说明不选择另外两种函数的理由 . (2) 温度为多少时 , 这种植物每天高度增长量最大 ? (3) 如果实验室温度保持不变 , 在 10 天内要使该植物高度增长量的总和超过 250mm, 那么实验室的温度 x 应该在哪个范围内选择 ? 直接写出结果 . 【 解析 】 (1) 选择二次函数 . 设函数关系式为 y=ax 2 +bx+c, 根据题意，得 ∴ y 关于 x 的函数关系式为 y=-x 2 -2x+49. 不选另外两个函数的理由： 点 (0 ， 49) 不可能在任何反比例函数图象上，所以 y 不是 x 的反 比例函数；点 (-4 ， 41) ， (-2 ， 49) ， (2 ， 41) 不在同一直线 上，所以 y 不是 x 的一次函数 . (2) 由 (1) 得 y=-x 2 -2x+49 ，∴ y=-(x+1) 2 +50 ， ∵ a=-1 ＜ 0 ，∴当 x=-1 时 y 的最大值为 50. 即当温度为 -1 ℃ 时，这种植物每天高度增长量最大 . (3)-6 ＜ x ＜ 4. 8. 已知二次函数的图象经过点 (0,3),(-3,0),(2,-5) ，且与 x 轴交于 A ， B 两点 . (1) 试确定此二次函数的表达式 . (2) 判断点 P(-2 ， 3) 是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出△ PAB 的面积；如果不在，试说明理由 . 【 解析 】 (1) 设二次函数的表达式为 y=ax 2 +bx+c ， ∵二次函数的图象经过点 (0,3) ， (-3,0) ， (2,-5) ， ∴二次函数的表达式为 y=-x 2 -2x+3. (2)∵-(-2) 2 -2×(-2)+3=-4+4+3=3 ， ∴点 P(-2 ， 3) 在这个二次函数的图象上 . 由 -x 2 -2x+3=0 ，解得 x 1 =-3,x 2 =1 ， ∴与 x 轴的交点为： (-3,0) ， (1 ， 0) ， 【 想一想错在哪？ 】 抛物线 的顶点在直线 y=2 上，求 a 的值 . 提示： 要注意检验求出的 a 值，必须使 有意义．