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- 2021-11-10 发布
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2021 年中考数学一轮复习精练+热考题型:
几何变换综合题(四)
1.在△ABC 中,以 AB 为斜边,作 Rt△ABD,使点 D 落在△ABC 内,∠ADB=90°
(1)如图 1,若 AB=AC,∠BAD=30°,AD=2 ,点 P、M 分别为 BC、AB 边的中
点,连接 PM,求线段 PM 的长;
(2)如图 2,若 AB=AC,把△ABD 绕点 A 逆时针旋转一定角度,得到△ACE,连接
ED 并延长交 BC 于点 P,求证:BP=CP
(3)如图 3,若 AD=BD,过点 D 的直线交 AC 于点 E,交 BC 于点 F,EF⊥AC,且
AE=EC,请直接写出线段 BF、FC、AD 之间的关系(不需要证明).
2.如图 1,△ABC 是等边三角形,AB=6cm,过点 A 作 AB 的垂线,交 BC 的延长线于点 D,
点 M 从点 C 出发,沿 CD 以 2cm/s 的速度运动至点 D,同时点 N 从点 A 出发,沿 AB 以
2cm/s 的速度运动至点 B,连接 MN,交 AC 于点 E,过点 E 作 BC 的平行线,交 AD 于
点 F.设点 M 的运动时间为 t(s).
(1)AD 的长为 cm;
(2)用含 t 的式子表示 EF 的长;
(3)将图 1 中的△AEF 绕点 A 顺时针旋转 60°得到△AE′F′,E′,F′分别为 E,F
的对应点,E′F′与 BC 交于点 G,连接 NG,MF,如图 2 所示,试判断是否存在一个
时刻,使 2AN﹣MF= NG,若存在,请求出 t 的值;若不存在,请说明理由.
3.已知,△ABC 是等腰三角形,AB=AC.
(1)当 AD=AE,∠DAE=∠BAC 时,
①特殊情形:如图①,若点 D、E 分别在边 AB、AC 上,则 DB EC.(填“>”、
“<”或“=”).
②发现探究:如图②,若将图①中的△ADE 绕点 A 旋转,当点 D 在△ABC 外部,点 E
在△ABC 内部时,①中的结论还成立吗?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.
(2)拓展运用:如图③,点 P 在△ABC 内部,∠BAC=90°,且 PA=2,PB=1,PC=
3,则∠APB 的大小为 度.
4.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=30°,点 O 为 AB 中点,点 P 为直线 BC
上的动点(不与点 B、点 C 重合),连接 OC、OP,将线段 OP 绕点 P 顺时针旋转 60°,
得到线段 PQ,连接 BQ.
(1)如图 1,当点 P 在线段 BC 上时,请直接写出线段 BQ 与 CP 的数量关系.
(2)如图 2,当点 P 在 CB 延长线上时,(1)中结论是否成立?若成立,请加以证明;
若不成立,请说明理由;
(3)如图 3,当点 P 在 BC 延长线上时,若∠BPO=15°,BP=4,请求出 BQ 的长
5.已知:△ABC 和△ADE 均为等边三角形,连接 BE,CD,点 F,G,H 分别为 DE,BE,
CD 中点.
(1)当△ADE 绕点 A 旋转时,如图 1,则△FGH 的形状为 ,说明理由;
(2)在△ADE 旋转的过程中,当 B,D,E 三点共线时,如图 2,若 AB=3,AD=2,
求线段 FH 的长;
(3)在△ADE 旋转的过程中,若 AB=a,AD=b(a>b>0),则△FGH 的周长是否存
在最大值和最小值,若存在,直接写出最大值和最小值;若不存在,说明理由.
6.已知四边形 ABCD 中,AB⊥AD,BC⊥CD,AB=BC,∠ABC=120°,∠MBN=60°,
∠MBN 绕 B 点旋转,它的两边分别交 AD,DC(或它们的延长线)于 E,F.
(1)当∠MBN 绕 B 点旋转到 AE=CF 时(如图 1),若 AE=1,试求 AB 的长;
(2)当∠MBN 绕 B 点旋转到 AE≠CF 时,在图 2 这种情况下,求证 AE+CF=EF;
(3)当∠MBN 绕 B 点旋转到 AE≠CF 时,在图 3 这种情况下,(2)中结论是否成立?
若成立,请给予证明;若不成立,线段 AE、CF、EF 又有怎样的数量关系?请直接写出
你的猜想.
7.如图 1,线段 AB=m,以 AB 的中点 O 为顶角顶点,BO 为腰,2α(0°<α<90°)为
顶角,在 OB 上方作等腰三角形 OBC,连接 AC.
(1)求证:AC⊥BC;
(2)如图 2,将△OBC 绕顶点 O,逆时针旋转至△OB′C′,连结 BC′,AB′相交于
点 M.
①若 sinα= ,试求 的值;
②若 sinα= ,试探索:当△OBC 从 OB′与 OB 重合起,到 OC′与 OA 重合止的旋转
过程中,点 M 所经过的路径长.
8.如图 1,在 Rt△ABC 中,∠A=90°,AB=AC,点 D,E 分别在边 AB,AC 上,AD=
AE,连接 DC,点 M,P,N 分别为 DE,DC,BC 的中点.
(1)观察猜想:图 1 中,线段 PM 与 PN 的数量关系是 ,位置关系是 ;
(2)探究证明:把△ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图 2 的位置,连接 MN,BD,CE,
判断△PMN 的形状,并说明理由;
(3)拓展延伸:把△ADE 绕点 A 在平面内自由旋转,若 AD=4,AB=10,请直接写出
△PMN 面积的最大值.
9.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,过点 B 做射线 BB1∥AC,动点
D 从点 A 出发沿射线 AC 方向以每秒 5 个单位的速度运动,同时动点 E 从点 C 出发沿射
线 AC 方向以每秒 3 个单位的速度运动,过点 D 作 DH⊥AB 于 H,过点 E 作 EF⊥AC 交
射线 BB1 于 F,连接 DF,设运动的时间为 t 秒(t>0).
(1)当 t 为 时,AD=AB,此时 DE 的长度为 ;
(2)当△DEF 与△ACB 全等时,求 t 的值;
(3)以 DH 所在直线为对称轴,线段 AC 经轴对称变换后的图形为 A′C′.
①当 t> 时,设△ADA′的面积为 S,直接写出 S 关于 t 的函数关系式;
③当线段 A′C′与射线 BB1 有公共点时,求 t 的取值范围.
10.已知 O 为直线 MN 上一点,OP⊥MN,在等腰 Rt△ABO 中,∠BAO=90°,AC∥OP
交 OM 于 C,D 为 OB 的中点,DE⊥DC 交 MN 于 E.
(1)如图 1,若点 B 在 OP 上,则
①AC OE(填“<”,“=”或“>”);
②线段 CA、CO、CD 满足的等量关系式是 ;
(2)将图 1 中的等腰 Rt△ABO 绕 O 点顺时针旋转α(0°<α<45°),如图 2,那么(1)
中的结论②是否成立?请说明理由;
(3)将图 1 中的等腰 Rt△ABO 绕 O 点顺时针旋转α(45°<α<90°),请你在图 3 中
画出图形,并直接写出线段 CA、CO、CD 满足的等量关系式 .
参考答案
1.(1)解:∵∠ADB=90°,∠BAD=30°,AD=2 ,
∴cos∠BAD= ,
∴AB= = =4,
∴AC=AB=4,
∵点 P、M 分别为 BC、AB 边的中点,
∴PM= AC=2,
(2)如图 2,
在 ED 上截取 EQ=PD,
∵∠ADB=90°,
∴∠BDP+∠ADE=90°,
∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED,
∵把△ABD 绕点 A 逆时针旋转一定角度,得到△ACE,
∴∠AEC=∠ADB=90°
∵∠AED+∠PEC=90°,
∴∠BDP=∠PEC,
在△BDP 和△CEQ 中,
,
∴△BDP≌△CEQ,
∴BP=CQ,∠DBP=∠QCE,
∵∠CPE=∠BDP+∠DBP,∠PQC=∠PEC+∠QCE,
∴∠EPC=∠PQC,
∴PC=CQ,
∴BP=CP
(3)BF2+FC2=2AD2,
理由:如图 3,连接 AF、CD.
∵EF⊥AC,且 AE=EC,
∴FA=FC,∠FAC=∠FCA,
∵EF⊥AC,且 AE=EC,
∴∠DAC=∠DCA,DA=DC,
∵AD=BD,
∴BD=DC,
∴∠DBC=∠DCB,
∵∠FAC=∠FCA,∠DAC=∠DCA,
∴∠DAF=∠DCB,
∴∠DAF=∠DBC,
∴∠AFB=∠ADB=90°,
在 Rt△ADB 中,DA=DB,
∴AB2=2AD2,
在 Rt△ABF 中,BF2+FA2=AB2=2AD2,
∵FA=FC
∴BF2+FC2=2AD2.
2.解:(1)如图 1 中,
∵△ABC 是等边三角形,
∴∠BAC=∠ACB=∠B=60°,AB=BC=AC=6,
∵DA⊥BA,
∴∠BAD=90°,
∴∠D=30°,
∴tan30°= ,
∴ = ,
∴AD=6 (cm),
故答案为 6 .
(2)过点 N 作 NP∥AC,交 BC 于点 P.
∵PN∥AC
∴ = ,∵AB=CB,
∴AN=PC=2t,
∵CE∥PN,
∴ = ,
∴ = ,
∴EC=3﹣t,
∴AE=6﹣(3﹣t)=t+3,
∵EF∥CD,
∴∠AFE=∠D=30°,
∵∠CAD=90°﹣60°=30°,
∴∠EAF=∠EFA=30°,
∴EF=AE=t+3;
(3)存在.
由题意易知 AE=AE′=t+3,∠AE′F′=∠AEF=120°,
∴∠BE′G=60°=∠B,
∴△BGE′是等边三角形,
∴BE′=GE′=BG=6﹣(t+3)=3﹣t,E′N=t+3﹣2t=3﹣t,
∴E′N=E′G,易知 NG= (3﹣t),
∵AE=EF=t+3,∠AEF=120°,
∴AF= (t+3),
∴DF=6 ﹣ (t+3)= (3﹣t),
∵DM=6﹣2t,
∴ = , = ,
∴ = ,
∴FM∥AB,
∴ = = ,
∴FM=3﹣t,
∴4t﹣(3﹣t)= • (3﹣t),
解得 t=1
∴当 t=1 时,2AN﹣MF= NG.
3.解:(1)①∵DE∥BC,
∴ = ,
∵AB=AC,
∴DB=EC,
故答案为:=,
②成立.
证明:由①易知 AD=AE,
∴由旋转性质可知∠DAB=∠EAC,
在△DAB 和△EAC 中
,
∴△DAB≌△EAC,
∴DB=CE,
(2)如图,
将△CPB 绕点 C 旋转 90°得△CEA,连接 PE,
∴△CPB≌△CEA,
∴CE=CP=2,AE=BP=1,∠PCE=90°,
∴∠CEP=∠CPE=45°,
在 Rt△PCE 中,由勾股定理可得,PE=2 ,
在△PEA 中,PE2=(2 )2=8,AE2=12=1,PA2=32=9,
∵PE2+AE2=AP2,
∴△PEA 是直角三角形
∴∠PEA=90°,
∴∠CEA=135°,
又∵△CPB≌△CEA
∴∠BPC=∠CEA=135°.
故答案为 135°.
4.解:(1)结论:BQ=CP.
理由:如图 1 中,作 PH∥AB 交 CO 于 H.
在 Rt△ABC 中,∵∠ACB=90°,∠A=30°,点 O 为 AB 中点,
∴CO=AO=BO,∠CBO=60°,
∴△CBO 是等边三角形,
∴∠CHP=∠COB=60°,∠CPH=∠CBO=60°,
∴∠CHP=∠CPH=60°,
∴△CPH 是等边三角形,
∴PC=PH=CH,
∴OH=PB,
∵∠OPB=∠OPQ+∠QPB=∠OCB+∠COP,
∵∠OPQ=∠OCP=60°,
∴∠POH=∠QPB,∵PO=PQ,
∴△POH≌△QPB,
∴PH=QB,
∴PC=BQ.
(2)成立:PC=BQ.
理由:作 PH∥AB 交 CO 的延长线于 H.
在 Rt△ABC 中,∵∠ACB=90°,∠A=30°,点 O 为 AB 中点,
∴CO=AO=BO,∠CBO=60°,
∴△CBO 是等边三角形,
∴∠CHP=∠COB=60°,∠CPH=∠CBO=60°,
∴∠CHP=∠CPH=60°,
∴△CPH 是等边三角形,
∴PC=PH=CH,
∴OH=PB,
∵∠POH=60°+∠CPO,∠QPO=60°+∠CPO,
∴∠POH=∠QPB,∵PO=PQ,
∴△POH≌△QPB,
∴PH=QB,
∴PC=BQ.
(3)如图 3 中,作 CE⊥OP 于 E,在 PE 上取一点 F,使得 FP=FC,连接 CF.
∵∠OPC=15°,∠OCB=∠OCP+∠POC,
∴∠POC=45°,
∴CE=EO,设 CE=EO=a,则 FC=FP=2a,EF= a,
在 Rt△PCE 中,PC= = =( + )a,
∵PC+CB=4,
∴( + )a+ a=4,
解得 a=4 ﹣2 ,
∴PC=4 ﹣4,
由(2)可知 BQ=PC,
∴BQ=4 ﹣4.
5.解:(1)结论:△FGH 是等边三角形.理由如下:
如图 1 中,连接 BD、CE,延长 BD 交 CE 于 M,设 BM 交 FH 于点 O.
∵△ABC 和△ADE 均为等边三角形,
∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,
∴∠BAD=∠CAE ,
∴△BAD≌△CAE,
∴BD=CE,∠ADB=∠AEC,
∵EG=GB,EF=FD,
∴FG= BD,GF∥BD,
∵DF=EF,DH=HC,
∴FH= EC,FH∥EC,
∴FG=FH,
∵∠ADB+∠ADM=180°,∴∠AEC+∠ADM=180°,
∴∠DMC+∠DAE=180°,
∴∠DME=120°,
∴∠BMC=60°
∴∠GFH=∠BOH=∠BMC=60°,
∴△GHF 是等边三角形,
故答案为等边三角形.
(2)如图 2 中,连接 AF、EC.
易知 AF⊥DE,在 Rt△AEF 中,AE=2,EF=DF=1,
∴AF= = ,
在 Rt△ABF 中,BF= = ,
∴BD=CE=BF﹣DF= ﹣1,
∴FH= EC= .
(3)存在.理由如下.
由(1)可知,△GFH 是等边三角形,GF= BD,
∴△GFH 的周长=3GF= BD,
在△ABD 中,AB=a,AD=b,
∴BD 的最小值为 a﹣b,最大值为 a+b,
∴△FGH 的周长最大值为 (a+b),最小值为 (a﹣b).
6.证明:(1)如图 1 中,
∵Rt△ABE 和 Rt△CBF 中,AB=BC,CF=AE,
∴tan∠CBF=tan∠ABE,BF=BE,
∴∠CBF=∠ABE,
∵∠ABC=120°,∠MBN=60°,
∴∠CBF=30°,△BEF 是等边三角形,
∵AE=CF=1,
∴AB= AE=
(2)如图 2,将 Rt△ABE 顺时针旋转 120°,
∵AB=BC,∠ABC=120°,
∴A 点与 C 点重合,
∴BG=BE,FG=CG+CF=AE+CF,
∵∠ABC=120°,∠MBN=60°,∠ABE=∠CBG,
∴∠GBF=60°,
在△GBF 和△EBF 中,
,
∴△GBF≌△EBF(SAS),
∴FG=EF,
∴EF=AE+CF;
(3)不成立,新结论为 EF=AE﹣CF.
理由:如图 3,将 Rt△ABE 顺时针旋转 120°,
∵AB=BC,∠ABC=120°,
∴A 点与 C 点重合,∠ABE=∠CBG,
∴BG=BE,FG=CG﹣CF=AE﹣CF,
∵∠ABC=∠ABE+∠CBE=120°,
∴∠CBG+∠CBE=∠GBE=120°,
∵∠MBN=60°,
∴∠GBF=60°,
在△BFG 和△BFE 中,
,
∴△BFG≌△BFE,(SAS)
∴GF=EF,
∴EF=AE﹣CF.
7.(1)证明:如图 1 中,
∵OA=OB,OB=OC,
∴OA=OB=OC,
∴点 A、C、B 在以 AB 为直径的圆上,
∵AB 是⊙O 的直径,
∴∠ACB=90°,
∴AC⊥BC.
(2)解:如图 2 中,
∵OA=OC′=OB′=OB,
∴A、B、C′、B′四点共圆,
∴∠A=∠BC′B′,
∵∠AMB=∠B′MC′,
∴△AMB∽△C′MB′,
∴ =( )2,
∵∠AB′B=90°,∠B′BC= ∠B′OC′=α,
∴sinα= = ,
∴ =( )2= .
(3)如图 3 中,
由(2)可知,当 sinα= 时,∠α=∠B′BM=30°,
∴∠B′MB=60°,
∴∠AMB=120°,
如图作等腰三角形△ABP,使得∠APB=120°,
以点 P 为圆心,PA 为半径作⊙P,
∵∠AMB 为优弧 AB 所对的圆周角,
当△OBC 从 OB′与 OB 重合起,到 OC′与 OA 重合止的旋转过程中,M 所经过的路径
为 ,
∵AB=m,∴OA= m,
∴AP= m,
∴点 M 所经过的路径长为 = πm.
8.解:(1)∵点 P,N 是 BC,CD 的中点,
∴PN∥BD,PN= BD,
∵点 P,M 是 CD,DE 的中点,
∴PM∥CE,PM= CE,
∵AB=AC,AD=AE,
∴BD=CE,
∴PM=PN,
∵PN∥BD,
∴∠DPN=∠ADC,
∵PM∥CE,
∴∠DPM=∠DCA,
∵∠BAC=90°,
∴∠ADC+∠ACD=90°,
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°,
∴PM⊥PN,
故答案为:PM=PN,PM⊥PN,
(2)由旋转知,∠BAD=∠CAE,
∵AB=AC,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠ABD=∠ACE,BD=CE,
同(1)的方法,利用三角形的中位线得,PN= BD,PM= CE,
∴PM=PN,
∴△PMN 是等腰三角形,
同(1)的方法得,PM∥CE,
∴∠DPM=∠DCE,
同(1)的方法得,PN∥BD,
∴∠PNC=∠DBC,
∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC,
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC
=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC
=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC,
∵∠BAC=90°,
∴∠ACB+∠ABC=90°,
∴∠MPN=90°,
∴△PMN 是等腰直角三角形,
(3)方法 1、如图 2,同(2)的方法得,△PMN 是等腰直角三角形,
∴MN 最大时,△PMN 的面积最大,
∴DE∥BC 且 DE 在顶点 A 上面,
∴MN 最大=AM+AN,
连接 AM,AN,
在△ADE 中,AD=AE=4,∠DAE=90°,
∴AM=2 ,
在 Rt△ABC 中,AB=AC=10,AN=5 ,
∴MN 最大=2 +5 =7 ,
∴S△PMN 最大= PM2= × MN2= ×(7 )2= .
方法 2、由(2)知,△PMN 是等腰直角三角形,PM=PN= BD,
∴PM 最大时,△PMN 面积最大,
∴点 D 在 BA 的延长线上,
∴BD=AB+AD=14,
∴PM=7,
∴S△PMN 最大= PM2= ×72=
9.解:(1)在 Rt△ABC 中,AC=6,BC=8,根据勾股定理得,AB= =10,
由运动知,AD=5t,
∵AD=AB,
∴5t=10,
∴t=2,
∴CD=AD﹣AC=10﹣6=4,CE=3t=6,
∴DE=CE﹣CD=2,
故答案为 2,2;
(2)∵∠ACB=90°,BB1∥AC,EF⊥AC,
∴四边形 BCEF 是矩形,EF=BC=8,
当 AD<AE 时,5t<6+3t,
∴0<t<3,
若 DE=AC,△ACB≌△DEF,DE=AE﹣AD=6+3t﹣5t=6﹣2t,
∴6﹣2t=6,
∴t=0,
∵t>0(不合题意,舍),
当 AD>AE 时,5t>6+3t,
∴t>3,
若 DE=AC,△ACB≌△DEF,DE=AD﹣AE=5t﹣6﹣3t=2t﹣6,
∴2t﹣6=6,
∴t=6,
∴当 t=6 时,△DEF 与△ACB 全等.
(3)①如图,
∵∠ACB=∠AHD,∠BAC=∠DAH,
∴△ABC∽△ADH,
∴ ,
∴ ,
∴AH=3t,DH=4t,
∴S△ADA'=2S△ADH=2× AH×DH=AH×DH=12t2,
②当点 A'落在射线 BB1 上的点 B 时,AA'=AB=10,
∵DH⊥AB,
∴AA'=2AH=2×5t×cos∠A=6t=10,
∴t= ,
当点 C'落在射线 BB1 上时,CC'∥AB,
∵BB1∥AC,
∴四边形 ACC'B 为平行四边形,
∴CC'=AB=10,
∵CC'=2CD×cos∠A=2×(5t﹣6)× = (5t﹣6),
∴t= ,
∴ ≤t≤ ,线段 A'C'与射线 BB1 有公共点.
10.解:(1)①AC=OE,
理由:如图 1,∵在等腰 Rt△ABO 中,∠BAO=90°,
∴∠ABO=∠AOB=45°,
∵OP⊥MN,
∴∠COP=90°,
∴∠AOC=45°,
∵AC∥OP,
∴∠CAO=∠AOB=45°,∠ACO=∠POE=90°,
∴AC=OC,
连接 AD,
∵BD=OD,
∴AD=OD,AD⊥OB,
∴AD∥OC,
∴四边形 ADOC 是正方形,
∴∠DCO=45°,
∴AC=OD,
∴∠DEO=45°,
∴CD=DE,
∴OC=OE,
∴AC=OE;
②在 Rt△CDO 中,
∵CD2=OC2+OD2,OC=OD,
∴CD2=2OC2,
∴CD= OC,
∴OC=AC= CD,
∴AC+CO= CD+ CD= CD,
故答案为:AC+CO= CD;
(2)如图 2,(1)中的结论②成立,理由是:
连接 AD,
∵AB=AO,D 为 OB 的中点,
∴AD⊥OB,
∴∠ADO=90°,
∵∠CDE=90°,
∴∠ADO=∠CDE,
∴∠ADO﹣∠CDO=∠CDE﹣∠CDO,
即∠ADC=∠EDO,
∵∠ADO=∠ACO=90°,
∴∠ADO+∠ACO=180°,
∴A、D、O、C 四点共圆,
∴∠ACD=∠AOB=45°,
∵∠CDE=90°,
∴CD=DE,∠CED=45°,
∴∠CED=∠ACD,
∴△CAD≌△EOD,
∴AC=OE,
∵△CDE 是等腰直角三角形,
∴CE= CD,
∴OE+CO= CD,
即 AC+CO= CD,
所以(1)中的结论②成立;
(3)如图 3,结论:OC﹣CA= CD,
理由是:连接 AD,则 AD=OD,
同理:∠ADC=∠EDO,
∵∠CAB+∠CAO=∠CAO+∠AOC=90°,
∴∠CAB=∠AOC,
∵∠DAB=∠AOD=45°,
∴∠DAB﹣∠CAB=∠AOD﹣∠AOC,
即∠DAC=∠DOE,
∴△ACD≌△OED,
∴AC=OE,CD=DE,
∴△CDE 是等腰直角三角形,
∴CE2=2CD2,
∴(OC﹣OE)2=(OC﹣AC)2=2CD2,
∴OC﹣AC= CD,
故答案为:OC﹣AC= CD.
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