九年级数学上册第四章图形的相似小结与复习课件新版北师大版 33页

小结与复习 第四章 图形的相似 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 线段的比和成比例线段的定义 一 如果选用一个长度单位量得两条线段 a ， b 的长度分别为 m , n . 那么 两条线段的比 . 四条线段 a , b , c , d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，那么这四条线段 a , b , c , d 叫做成 比例线段 ，简称 比例线段 . 要点梳理 比例的基本性质 ─ 比例的 合比性质 ─ 比例的 等比性质 ─ 比例的更比性质 — 比例的性质 二 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ，如果 A C B 那么称线段 AB 被点 C 点 C 叫做线段 AB 的 AC 与 AB （或 BC 与 AC ） 的比叫做 黄金比 ≈ 0.618 黄金分割 黄金分割点 黄金比 黄金分割 三 1. 定义： 三角对应角相等、三边对应成比例的两个三角形叫相似三角形 . 相似三角形的定义、判定、性质 四 2. 判定定理： （ 1 ）两角相等的两个三角形相似 （ 2 ）三边对应成比例的两个三角形相似 （ 3 ） 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 3. 性质： （ 1 ）相似三角形对应角相等，对应边成比例 （ 2 ）相似三角形对应高的比，对应角平分线的比和对应中线的 比都等于相似比 ★相似三角形周长的比等于 相似比 ★相似三角形面积的比等于 相似比的平方 ★相似多边形的周长比等于 相似比 ★相似多边形面积的比等于 相似比的平方 相似三角形的应用 五 （ 1 ） 测高 测量不能到达两点间的距离 , 常构造相似三角形求解 . （不能直接使用皮尺或刻度尺量的） （不能直接测量的两点间的距离） 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决 . （ 2 ） 测距 例如用相似测物体的高度 A B C E D 1.6m 8.4m 1.2m 测山高 测楼高 测内孔直径 A B D E F G H 求最大值与最小值 C 如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形 . ★ 这个点叫做 位似中心 . ★ 这两个相似图形的相似比又称为 位似比 . ★位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 位似比 . 图形的位似 六 3. 体会位似图形何时为 正像 何时为 倒像 . 2. 如何作位似图形 ( 缩小 ) . O P 1. 如何作位似图形 ( 放大 ) . A B G C E D F ● P B ′ A ′ C ′ D ′ E ′ F ′ G ′ A ′ B ′ C ′ D ′ E ′ F ′ G ′ A B G C E D F ● P 位似图形的作法 七 考点一 成比例线段、比例的性质和黄金分割 考点讲练 例 1 下列各组不同长度的线段是成比例线段的是 ( 　　 ) A ． 3 cm , 6 cm , 7 cm ， 9 cm 　　　 B ． 2 cm , 5 cm , 0.6 dm , 8 cm C ． 3 cm , 9 cm , 1.8 dm , 6 cm D ． 1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm 解析： 根据成比例线段的定义，对各选项进行一一分析． A. 故不是成比例线段； B ． 0.6 dm ＝ 6 cm ， 故不是成比例线段； C ． 1.8 dm ＝ 18 cm ，从小到大排序为 3 cm ， 6 cm ， 9 cm ， 18 cm ， 故是成比例线段； D. 故不是成比例线段． C (1) 在判断是否成比例线段时，长度单位必须相同，若 长度单位不同，应先统一单位再判断； (2) 在判断是否成比例线段时，应首先将四条线段按长 短顺序排列起来，若两条较短线段的长度的比等于 两条较长的线段的比，则是成比例线段，否则不是． 方法总结 1. 四条线段 a 、 b 、 c 、 d 成比例，其中 b =3cm ， c =2cm ， d =6cm ，则 a = 2. 四个正数 a 、 b 、 c 、 d 能构成比例式，其中 b =3 , c =2 , d =6 ，则 a = . 3. 若 则 1 4 或 9 或 1 针对训练 4. 若线段 MN =10 ，点 K 为 MN 的黄金分割点，则 KM 的长为 . 考点二 平分线分线段成比例 例 2 如图，已知： △ABC 中， DE∥BC ， AD=3 ， DB=6 ， AE=2 ，求 AC 的长． 解： ∵DE∥BC ， ∴△ADE∽△ABC. ∴ 又 ∵AD=3 ， DB=6 ， AE=2 ， ∴ 解得 EC=4 ． ∴AC=AE+EC=6. 针对训练 5 ．如图， AD∥BE∥CF ，直线 l 1 ， l 2 与这三条平行线分别交于点 A ， B ， C 和点 D ， E ， F ， ， DE=6 ，则 EF= ___ ． 6. 如图， DE∥BC ， DF∥AC ， AD ＝ 4 cm ， BD ＝ 8 cm ， DE ＝ 5cm ，则线段 BF 的长为 _________cm ． 9 10 例 3 如图， △ ABC 是等边三角形， CE 是外角平分线，点 D 在 AC 上，连结 BD 并延长与 CE 交于点 E . (1) 求证： △ ABD ∽△ CED ； (2) 若 AB =6 ， AD =2 CD ， 求 BE 的长 . 解：（ 1 ）∵△ ABC 是等边三角形， ∴∠ BAC ＝∠ ACB ＝ 60° ，∠ ACF ＝ 120° ． ∵ CE 是外角平分线， ∴∠ ACE ＝ 60° ． ∴∠ BAC ＝∠ ACE ． 又 ∵∠ ADB ＝∠ CDE ，∴△ ABD ∽△ CED ． 考点三 相似三角形的 判定 和 性质 （2） 作 BM ⊥ AC 于点 M ， AC ＝ AB ＝6． ∴ AM ＝ CM ＝3， ∵ AD ＝ 2CD ，∴ CD ＝ 2 ， AD ＝ 4 ， MD ＝ 1. 在 Rt△ BDM 中 ， . 由 （ 1 ）△ ABD ∽△ CED 得， M 7. 如图，在 △ ABC 中，已知 DE // BC ， AD= 3 BD ， S △ ABC =48 ，求 S △ ADE. A B C D E 3 1 解：∵ DE∥BC , ∴△ ADE ∽△ ABC. ∴ S △ ABC : S △ ADE = ∵ AD : BD = 1 ： 3, ∴ AD : AB = 1 ： 4. ∴ S △ ADE = 27. 针对训练 8. 如图，将矩形 ABCD 沿两条较长边的中点的连线对折，得到的矩形 ADFE 与矩形 ABCD 相似，确定矩形 ABCD 长与宽的比 . A B C D E F 解： 矩形 ADFE 与矩形 ABCD 相似 , 9. 如图，在长 8cm 、宽 6cm 的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分所示），使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形面积为多少？ 8cm 6cm 由题意得 解：设留下矩形的面积为 x cm 2 ， 解得 x =27 cm 2 . 答：留下矩形的面积为 27 cm 2 . 10. 如图，△ ABC 是一张锐角三角形的硬纸片． AD 是边 BC 上的高， BC =40 ， AD =30 ．从这张硬纸片剪下一个长 HG 是宽 HE 的 2 倍的矩形 EFGH ．使它的一边 EF 在 BC 上，顶点 G ， H 分别在 AC ， AB 上． AD 与 HG 的交点为 M ．（ 1 ）求证：                ；（ 2 ）求这个矩形 EFGH 的周长． (1) 证明：∵矩形 EFGH , ∴ EF ∥ GH . ∴ D A B C E F M N G D A B C E F M N G 解： (2) 设矩形的宽 HE = x , 则 MD = HE = x ∵ AD = 30 ， ∴ AM = 30 – x . ∵ HG = 2 HE , ∴ HG = 2 x . ∵∴ ∴ x = 12. ∴ HE = 12 , HG = 24. ∴ 矩形 EFGH 的周长 =2 （ HE + HG ） =2 （ 12+24 ） = 72 . 例 4 小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下： 如示意图，小明边移动边观察，发现站到点 E 处时，可以使 自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度 恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度 CD ＝ 1.2 m ， CE ＝ 0.8 m ， CA ＝ 30 m （点 A 、 E 、 C 在同一直线上）． 已知小明的身高 EF 是 1.7 m ，请你帮小明求出楼高 AB （结果精确到 0.1 m ）． 考点四 相似三角形的实际应用 解：过点 D 作 DG ⊥ AB ，分别交 AB 、 EF 于点 G 、 H ， 则 EH ＝ AG ＝ CD ＝ 1.2 m ， DH ＝ CE ＝ 0.8 m ， DG ＝ CA ＝ 30 m ． 因为 EF 和 AB 都垂直于地面，所以 EF∥AB ， 所以 ∠ BGD =∠ FHD =90°,∠ GBD =∠ HFD ， 所以 △ BDG ∽△ FDH ． 所以 G H 由题意，知 FH ＝ EF － EH ＝ 1.7 － 1.2 ＝ 0.5 （ m ）． 解得 BG ＝ 18.75 （ m ）． ∴ AB ＝ BG + AG ＝ 18.75+1.2 ＝ 19.95≈20.0 （ m ）． ∴楼高 AB 约为 20.0 m ． 11. 在比例尺为 1∶200 的地图上，测得 A ， B 两地间的图上距离为 4.5 cm ，则 A ， B 两地间的实际距离为 __________ m . 【 解析 】 设 A ， B 两地间的实际距离为 x cm , 则 即 x =900 , 又 900 cm=9 m . 答案： 9 针对训练 9 12. 如图，王芳同学跳起来把一个排球打在离地 2m 远的地上，然后反弹碰到墙上，如果她跳起击球时的高度是 1.8m ，排球落地点离墙的距离是 6m ，假设球扬直沿直线运动，球能碰到墙面离地多高的地方？ A B O C D 2m 6m 1.8m 解： ∠ABO=∠CDO=90° ∠AOB=∠COD ∴△AOB∽△COD ∴ CD=5.4m 答：球能碰到墙面离地 5.4m 高的地方． x y 2 4 6 8 2 4 6 8 -2 -4 -6 -8 -2 -4 -6 -8 O 9 10 11 12 -9 -10 -12 例 5 如图，△ ABC 三个顶点坐标分别为 A （ 2 ，－ 2 ）， B （ 4 ，－ 5 ） ， C （ 5 ，－ 2 ），以原点 O 为位似中心，将这个三角形放大为原来的 2 倍． A B C 解： A ' （ ， ）， B ' （ ， ）， C ' （ ， ）， 4 － 4 － 10 8 － 4 10 A" （ ， ）， B" （ ， ）， C" （ ， ）. 4 － 4 － 8 10 － 10 4 A ' B ' C ' A" B" C" 考点五 位似图形 针对训练 13. 如图，在边长为 1 的小正方形组成的网 格中，建立平面直角坐标系，△ ABO 与 △ A ′ B ′ O ′ 是 以点 P 为位似中心的位似 图形，它们的顶点均在格 点 ( 网格线的交点 ) 上，则 点 P 的坐标为 ( 　　 ) A ． (0 ， 0) B ． (0 ， 1) C ． ( － 3 ， 2) D ． (3 ，－ 2) C 14 ．如图，正方形 ABCD 和正方形 OEFG 中 , 点 A 和点 F 的坐标分别为 (3 ， 2) ， ( － 1 ，－ 1) ，则两个正方形的位似中心的坐标是 _____ ____ __________ ． (1 ， 0) 或 ( － 5 ，－ 2) O x 课堂小结 图形的相似 比例线段 相似三角形 相似多边形 位似 比例的基本性质 比例线段 平行线分线段成比例 判定 性质 应用