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  • 2021-11-10 发布

中考数学专题复习练习:中位线

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例01.如图,已知:在中,D、E、F分别为BC、AD和AB的中点,已知的周长为. ‎ 求:的周长. ‎ 分析:由于D、E、F分别是三角形三边的中点,所以DE、DF、EF都是的中位线. 那么根据三角形的中位线的性质,可知它们的长度分别为第三边的一半,所以的周长为的一半. ‎ 解答:∵ D、E是BC和CA的中点,‎ ‎∴ DE是的中位线,‎ ‎∴ . ‎ 同理,. ‎ ‎∴ ‎ ‎∴的周长为. ‎ 说明 三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段,它不同于三角形的中线,要分清楚三角形的中位线和中线的区别和联系.那么三角形的中位线定理提供了三角形中的线段的关系,解题时要注意运用这一关系.‎ 例02.如图,已知:在梯形ABCD中,,E是AB的中点,交BC于F. ‎ 求证:. ‎ 分析:已知E是AB的中点,而要证明的结论是,由此联想到三角形的中位线定理,因此设法构造三角形,过A点作交BC于G,则利用三角形的中位线定理进行证明. ‎ 证明:过点A作交BC于G,‎ ‎∵, ‎ ‎∴ 四边形AGCD是平行四边形. ‎ ‎∴ ‎ ‎∵, ‎ ‎∴‎ 而E是AB的中点,‎ ‎∴(经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边)‎ ‎∴ EF是的中位线,‎ ‎∴ , ‎ ‎∴ ‎ ‎ 说明 当题设或结论中有中点条件或平行线或倍半关系时,往往和中位线有一定联系,所以要处理好相互之间的关系,尝试使用中位线定理,寻找和创造必要的条件.‎ 例03.如图,已知:在梯形ABCD中,,F为BC的中点,. ‎ 求证:. ‎ 分析:已知F是梯形ABCD的腰BC的中点,若作出中位线EF,由于及,所以. 由于AB、CD垂直于AD,所以,从而EF是AD的垂直平分线,所以,从而能推出,而,所以得到,问题就得到解决. ‎ 证明:过点F作,交AD于E,连结FD,‎ 则. ‎ ‎∴ ‎ 而∵EF是中位线,‎ ‎∴EF垂直平分AD. ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ 而 ‎∴ ‎ ‎∴‎ 例04.如图,已知:四边形ABCD是梯形,,M、N分别为BD,AC的中点. ‎ 求证:‎ 分析:M、N尽管都是线段的中点,但从图中并看不出它是哪个三角形的中位线,因此,要借助于辅助线,从而把MN转化为三角形的中位线,再根据中位线的定理,求出MN和其他的线段之间的关系. ‎ 证明:连结DN并延长交BC于E. ‎ 在和中,‎ ‎∵ ‎ ‎∴ ,‎ 又,‎ ‎∴. ‎ ‎∴‎ 又 ‎ ‎∴MN是的中位线,‎ ‎∴ ‎ 而,‎ ‎∴ ‎ ‎ 说明 学会创造中位线,再利用中位线的性质定理去解决问题,当中点、中位线,中线及平行等条件出现时,要仔细分析,中位线是一条重要的思路.‎ 例05.如图,已知:在四边形ABCD中,AD、BC不平行,E、F分别是AB、CD的中点. ‎ 求证:‎ 分析:考虑到三角形任意两边之和大于第三边,我们可以把AD、BC或EF转到一个三角形之中,也可能与中点E、F构成相关的中位线,从而达到解题的目的. ‎ 证明:连结BD,取BD中点为O,连结OE,OF,‎ ‎∵ E为DC中点,O为BD中点,‎ ‎∴ ‎ 同理可证:‎ 而在中,,‎ ‎∴ ‎ 即 说明:构造中位线的方法如能恰当使用,能使证题走上捷径. ‎ 例06.如图,等腰梯形ABCD的周长是,如果它的中位线EF与腰长相等,它们的高是. ‎ 求这个梯形的面积. ‎ 解答:∵,且. ‎ ‎∴,‎ 即 ‎∴. ‎ 说明 本题考查梯形的中位线性质定理及梯形的面积,易错点是忽视用公式,解题关键是求中位线的长. ‎ 例07.如图,在中,,于D,M为BC的中点. ‎ 求证:. ‎ 证明:取AB的中点N,连结DN,MN. ‎ ‎∵,‎ ‎∴. ‎ 又∵M是BC的中点,‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ 又∵‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴. ‎ 说明 本题考查了三角形中位线定理的应用,解题关键是取AB的中点N,连结ND,NM,利用三角形中位线定理及等腰三角形的判定证明. ‎ 例08.已知:在中,,CD是中线,延长AB到E,使,连结CE. ‎ 求证:. ‎ 证法1 如图,取CE的中点F,连结BF,则BF是的中位线. ‎ ‎∴. ‎ 又,‎ ‎∴‎ ‎∵,‎ ‎∴‎ ‎∵,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 又,‎ ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎∵,‎ ‎∴‎ 证法2 如图,取AC中点F,连结BF,则BF是的中位线. ‎ ‎∴ ‎ ‎∵,‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ 证法3 如图,取BC中点G,BE中点F,连结DG,FG. 则,. ‎ ‎∴. ‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴. ‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ 说明 构造和利用中位线是解题关键 例09.如图,已知梯形ABCD中,,对角线AC,BD相交于O,,,,分别是AO,BO,CO,DO的中点. ‎ 求证:四边形是梯形. ‎ 错证:∵,,,分别是AO,BO,CO,DO的中点, ‎ ‎∴,分别是,的中位线. ‎ ‎∴.又,‎ ‎∴‎ ‎∴四边形是梯形. ‎ 正解:∵,,,分别是AO,BO,CO,DO的中点,‎ ‎∴,分别是,的中位线. ‎ ‎∴. ‎ ‎∴‎ 同理 ,‎ 又∵四边形ABCD是梯形,‎ ‎∴AB与DC不平行. ‎ ‎∴与也不平行. ‎ ‎∴四边形是梯形. ‎ 说明 错证中没有证明与不平行. ‎ 例10.如图,ABCD为等腰梯形,,对角线AC,BD交于O,且. 又E,F,G分别为DO,AO,BC的中点. ‎ 求证:为等边三角形. ‎ 证明:连EC. ∵‎ ‎∴,且 ‎∵ ‎ ‎∴,‎ ‎∴为等腰三角形. ‎ ‎∵,‎ ‎∴为等边三角形. ‎ 又∵E为OD中点,‎ ‎∴‎ 在中,G为斜边的中点,‎ ‎∴‎ 同理连BF. 可证 在中,‎ ‎∵E,F分别为OD,OA的中点,‎ ‎∴. ‎ ‎∴为等边三角形. ‎ 说明 辅助线的添加是关键 例11.如图,C为已知线段AB外一点,以AC,BC为边,分别向的外侧作正方形ACFD和正方形BCGE,不论C点的位置在AB的同侧怎样变化,‎ 求证:(1)D,E到AB所在直线的距离之和为定值;‎ ‎(2)线段DE的中点M为定点. ‎ 证明:(1)作于,于,于. ‎ ‎∵,且 ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎∴. ‎ 同理:‎ ‎∴(为定值)‎ ‎(2)过M作于N. ‎ ‎∵ ,‎ ‎∴‎ ‎∵,‎ ‎∴ ‎ ‎∵ ,‎ ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎∴. ‎ 即N为AB的中点(为定点)‎ 又∵(为定值),‎ ‎∴M为定点. ‎ 分析 本题综合考查了平行线等分线段定理,梯形中位线定理及全等三角形的判定与性质等,易错点是对定值、定点不理解,解题关键是作如图所示的四条辅助线. ‎ 选择题 ‎1.顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形一定是( )‎ A.菱形 B.矩形 C.梯形 D.平行四边形 ‎2.一个梯形的中位线长为,两对角线互相垂直,则这梯形的高为( )‎ A. B. C. D.不能确定其大小 ‎3.已知三角形的三条中位线分别为,则这个三角形的周长是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.若等腰梯形两底角为,腰长为,高和上底相等,那么梯形中位线长为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.(北京市昌平区,2001)如果梯形一底长为6,中位线长为8,那么另一底长为( )‎ A.14 B.10 C.8 D.4‎ ‎6.(南通市,2001)如果,梯形ABCD中,,EF是中位线,,,则BC的长是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.(威海市,2001)下面有三种说法:‎ ‎①任意四边形两组对边中点的连线互相平分 ‎②任意三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分 ‎③梯形的两条对角线可能互相平分 正确的是 A.①②③ B.①② C.①③ D.②③‎ 参考答案:‎ ‎1.D 2.A 3.B 4.C 5.B 6.C 7.B ‎ 选择题 ‎1.顺次连结等腰梯形四边中点所组成的四边形是( )‎ ‎ A.矩形 B.梯形 C.菱形 D.正方形 ‎2.(北京市东城区,2001)如图,DE是的中位线,F是DE的中点,BF的延长线交AC于点H,则等于( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.(荆州市,2002)如图,在梯形ABCD中,,,且,则的面积与的面积比为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.(呼和浩特市,2002)梯形的中位线长为,一条对角线把中位线分成两部分,则梯形的两底分别为( )‎ A.和 B.和 C.和 D.和 ‎5.(陕西省,2002)如图,在中,D,E,F分别是边AB,BC,AC的中点,若的周长为,则的周长为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.(北京市西城区,2002)斜拉桥是利用一组组钢索,把桥面重力传递到耸立在两侧的高塔上的桥梁,它不须建造桥墩. 如图中,,,…,是斜拉桥上5条互相平行的钢索,并且,,,,,被均匀地固定在桥上. 如果最长的钢索,最短的钢索,那么钢索,的长分别为( )‎ A.、 B.、 C.、 D.、‎ 参考答案:‎ ‎1.解:如图,连结AC,BD. ‎ ‎∵ABCD是等腰梯形,∴.‎ ‎∵EF,HG,EH,FG是三角形中位线,‎ ‎∴. ‎ ‎∴ . ‎ ‎∴四边形EFGH是平行四边形. ‎ 又,. ∴‎ ‎∴EFGH是菱形,故应选C. ‎ ‎2.B 3.C 4.D 5.C 6.A ‎ 填空题 ‎1.(山东省菏泽地区,2001)直角梯形的一条对角线将它分成两个三角形,其中一个是等边三角形,如果它的中位线长为,那么它的下底长是______. ‎ ‎2.(泉州市,2001)已知梯形上、下底长分别为3和5,则中位线长为_____. ‎ ‎3.(北京市石景山区,2001)如果梯形的上底长与下底长的比为,中位线的长为24,那么梯形的下底长为_____. ‎ ‎4.(江西省,2001)如图,等腰梯形ABCD中,,,于点E,,则这个梯形的中位线长为_______. ‎ ‎5.(龙岩市、宁德市,2001)如图,EF是的中位线,BD平分交EF于D,若,则______. ‎ ‎6.(北京市石景山区,2002)如图,在梯形ABCD中,,中位线EF交对角线BD于点O,,且,则_______. ‎ ‎7.(青海省,2002)等腰梯形中,已知一个底角是,高为,中位线长为,则梯形的上底长是______. ‎ ‎8.(绍兴市,2002)如图,梯形ABCD中,,,,,点E在DC上,AE、BC的延长线相交于点F. 若,则的值是______. ‎ ‎9.(天津市,2002)如图,梯形ABCD中,,对角线,且,,则该梯形的中位线的长等于______. ‎ ‎10.(徐州市,2002)如图,在梯形ABCD中,,则该梯形的中位线长为______,若,且,则EF的长为_____. ‎ ‎11.(安徽省,2002)如图,在中,,,,,是AB 边的五等分点,,,,是AC边的五等分点,则_____. ‎ ‎12.(江西省,2002)如图,要测量A,B两点间距离,在O点设桩,取OA中点C,OB中点D,测得米,则_______米. ‎ ‎13.(湖州市,2001)如图,已知直角梯形ABCD的中位线EF的长为,垂直于底的腰AB的长为,则的面积等于______. ‎ ‎14.‎ 参考答案:‎ ‎1. 2.4 3.32 4.4 5.2 6.16 ‎ ‎7. 8.30,48 9. 10.2, 11. 12. ‎ ‎13.‎ 解答题 ‎1.如图,等腰梯形ABCD中,,中位线EF交AC于G,且AC平分,,. ‎ 求梯形ABCD的周长. ‎ ‎2.如图,在梯形ABCD中,,E,F分别是对角线AC,BD的中点. ‎ 求证:四边形ADEF是平行四边形. ‎ ‎3.(哈尔滨市,2002)如图,已知MN是梯形ABCD的中位线,AC,BD与MN交于F,E,,求EF的长. ‎ ‎4.已知:如图,中,C是DB上一点,,,且. ‎ 求证:‎ ‎5.已知:如图,中,AD为中线,过B的直线交AD于F,交AC于E,且. ‎ 求证:. ‎ ‎6.已知:如图,中,E是BC的中点,D是CA的延长线上的一点,,DE交AB于F. ‎ 求证:. ‎ ‎7.(泰州市,2001)求证:三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分(如图)‎ ‎8.如图,梯形ABCD中,,的平分线CE交AB的中点E. ‎ 求证:. ‎ ‎9. 如图,四边形ABCD中,对角线AC,BD交于O,已知,M,N分别是AD,BC中点,MN与AC,BD分别相交于E,F. ‎ 求证:. ‎ ‎10.如图,和形外直线,中线AD延长线交于,,,,,,为垂足. ,‎ 求证:. ‎ ‎11.如图,中,BM,CN平分,的外角,于M,于N. ‎ 求证:. ‎ ‎12.(黄冈市,2002)如图,在梯形ABCD中,,且BD 平分,若梯形的周长为,求此梯形的中位线长. ‎ ‎13.(济南市,2001)如图,中,. 若,分别是AB,AC的中点,则;‎ 若,分别是、的中点,则;‎ 若,分别是、的中点,则;‎ ‎……‎ 若,分别是、的中点,则_____(,且为整数)‎ ‎14.(绍兴市,2002)如图,某斜拉桥的一组钢索共五条,它们相互平行,钢索与桥面的固定点,,,,中,每相邻两点等距离. ‎ ‎(1)问至少需知道几条钢索的长,才能计算出其余钢索的长?‎ ‎(2)请你对(1)中需知道的几条钢索长给出具体数值,并由此计算出其余钢索的长. ‎ 参考答案:‎ ‎1. ‎ ‎2.先证,则,又,故结论成立. ‎ ‎3.解:∵MN是梯形ABCD的中位线,‎ ‎∴. ‎ ‎∵,则. 同理. ‎ 在中,;在中,. ‎ ‎∴ ‎ ‎ ‎ ‎4.解法1:延长AC至G,使,连结DG;‎ 解法2:取AD的中点E,连结CE ‎5.解法1:取BE中点M,连结DM,‎ 解法2:取EC中点M,连结DM ‎6.证法1:如图,取AC的中点G,连结EG. ‎ ‎∵,∴‎ 又E,G分别是BC,AC的中点,∴,即. ∴. ‎ 证法2:如图,过点E作与AB交于H. ‎ ‎∵E是BC中点, ∴H是AB的中点. ∴‎ 又∵,∴. ‎ ‎∵, ,,‎ ‎∴,∴‎ ‎7.证 ‎8.连DE,取CD中点F,连EF,先证是,‎ 则,而,∴ ‎ ‎9.取AB中点G,连MG,NC ‎10.作于 ‎11.延长AM,AN分别交CB,BC的延长线于E,F,证MN是的中位线 ‎12.‎ ‎13. ‎ ‎14.(1)2条;(2)取,则