中考数学一轮复习知识点+题型专题讲义11 一次函数（教师版） 43页

专题 11 一次函数 考点总结 【思维导图】 【知识要点】 知识点一 变量与函数 变量：在一个变化过程中数值发生变化的量。 常量：在一个变化过程中数值始终不变的量。 【注意】 1、 变量是可以变化的，而常量是已知数，且它是不会发生变化的。 2、 区分常量和变量就是在某个变化过程中该量的值是否发生变化。 函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 和 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都 有唯一确定的值与其对应，那么我们就把 x 称为自变量，把 y 称为因变量，y 是 x 的函数。如果当 x=a 时 y=b，那么 b 叫做当自变量的值为 a 时的函数值。 【函数概念的解读】 1、 有两个变量。 2、 一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化。 3、 对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。 函数定义域：一般的，一个函数的自变量 x 允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。 确定函数定义域的方法：（自变量取值范围） （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值 a，函数对应的值为 b，那么 b 叫做当自变量取值为 a 时的函数值。 函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 函数的取值范围：使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。 画函数图像的一般步骤：1、列表 2、描点 3、连线 函数图像上点的坐标与解析式之间的关系： 1、将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在。 2、两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解。 函数的三种表示法及其优缺点 1、解析法： 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种 表示法叫做解析法。 优：准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系。 缺：求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实际问题中有的函数值不一定能用解析式表示。 2、 列表法：把自变量 x 的一系列值和函数 y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。 优：自变量和与它对应的函数值数据一目了然，使用方便。 缺：所列对应数值个数有限，不容易看出自变量与函数值的对应关系，有局限性。 3、图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 优：形象的把自变量和函数值的关系表示出来。 缺：图像中只能得到近似的数量关系。 【典型例题】 1．（2013·河北中考真题）如图，淇淇和嘉嘉做数学游戏： 假设嘉嘉抽到牌的点数为 x，淇淇猜中的结果应为 y，则 y =（ ） A．2 B．3 C．6 D．x+3 【答案】B 【解析】 依题可得： 2x 6y x 32    ．故选 B． 2．（2019·广西中考模拟）下列各曲线中哪个不能表示 y 是 x 的函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：显然 A、B、C 三选项中，对于自变量 x 的任何值，y 都有唯一的值与之相对应，y 是 x 的函数； D、对于 x＞0 的部分值，y 都有二个或三个值与之相对应，则 y 不是 x 的函数； 故选：D． 3．（2019·新疆中考模拟）下列曲线中不能表示 y 是 x 的函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 A，B，D 的图象都满足对于 x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，故 A、B、D 的图象是函数， C 的图象不满足对于 x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，故 C 错误． 故选 C． 4．（2019·浙江中考模拟）用 100 元钱在网上书店恰好可购买 m 本书，但是每本书需另加邮寄费 6 角，购买 n 本书共需费用 y 元，则可列出关系式（ ） A． 100 0.6y n m      B． 100 0.6y n m      C．  100 0.6y n m  D．  100 0.6y n m  【答案】A 【详解】 解：平均每本书价格为 100 m ， 购买 n 本书共需费用 100 0.6y n m      . 故选：A． 5．（2019·浙江中考模拟）已知 y 关于 x 的函数图象如图所示，则当 y＜0 时，自变量 x 的取值范围是（ ） A．x＜0 B．﹣1＜x＜1 或 x＞2 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1 或 1＜x＜2 【答案】B 【解析】 y<0 时，即 x 轴下方的部分， ∴自变量 x 的取值范围分两个部分是−12. 故选 B. 【考查题型汇总】 考查题型一 确定自变量取值范围 1．（2018·山东中考模拟）函数 y= 1 2x  的自变量 x 的取值范围是（ ） A．x≠2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞2 【答案】D 解：∵函数 y= 1 2x  有意义, ∴x-2 0, 即 x＞2 故选 D 2．（2007·江苏中考真题）在函数 香䁕 中，自变量 的取值范围是（ ） A．x≠2 B．x≤-2 C．x≠-2 D．x≥-2 【答案】C 【解析】 根据题意得：x+2≠0，解得：x≠-2.故选 C． 3．（2019·湖南中考模拟）函数 䁕 香 䁕 中自变量 的取值范围是（ ） A． 䁕 B． 䁕 C． ‴ 䁕 且 䁕 D． 䁕 且 䁕【答案】B 【详解】 根据题意得： 䁕 䁕 解得：x≤2 故选 B 4．（2019·湖南中考模拟）函数 y＝ 1 2 x x   中，自变量 x 的取值范围是（ ） A．x≥1 B．x＞1 C．x≥1 且 x≠2 D．x≠2 【答案】C 【解析】 试题分析：依题意得：x﹣1≥0 且 x﹣2≠0， 解得 x≥1 且 x≠2． 故选 C． 5．（2012·湖南中考真题）下列函数中，自变量 x 的取值范围是 x≥3 的是（ ） A． 1y= x 3 B． 1y= x 3 C． y=x 3 D． y= x 3 【答案】D 【解析】 求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式 分母不为 0 的条件，要使各函数在实数范围内有意义，必须： A、分式有意义，x﹣3≠0，解得：x≠3；B、二次根式和分式有意义，x﹣3＞0，解得 x＞3；C、函数式为整 式，x 是任意实数；D、二次根式有意义，x﹣3≥0，解得 x≥3。故选 D。 考查题型二 从函数图形中获取信息 1．（2019·吉林中考模拟）“珍重生命，注意安全！”同学们在上下学途中一定要注意骑车安全．小明骑单车 上学，当他骑了一段时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校，以下 是他本次所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小明家到学校的路程是多少米； （2）小明在书店停留了多少分钟； （3）本次上学途中，小明一共行驶了多少米？一共用了多少分钟？ 【答案】（1）1500 米；（2）4 分钟; (3)2700 米；共用 14 分钟． 【详解】 (1)根据图象，学校的纵坐标为 1500，小明家的纵坐标为 0， 故小明家到学校的路程是 1500 米； (2)根据题意,小明在书店停留的时间为从(8 分)到(12 分)， 故小明在书店停留了 4 分钟. (3)一共行驶的总路程=1200+(1200−600)+(1500−600)=1200+600+900=2700 米； 共用了 14 分钟. 2．（2005·江苏中考真题）某种洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程，其 中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量 y(升)与时间 x(分钟)之间的关系如折线图所示．根据图象解答下列问 题： (1)洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中水量为多少升？ (2)已知洗衣机的排水速度为每分钟 19 升． ①求排水时洗衣机中的水量 y(升)与时间 x(分钟)与之间的关系式； ②如果排水时间为 2 分钟，求排水结束时洗衣机中剩下的水量． 【答案】（1）洗衣机的进水时间是 4 分钟；清洗时洗衣机中水量为 40 升．（2）排水时间为 2 分钟，排水结 束时洗衣机中剩下的水量为 2 升． 【解析】 解：（1）依题意得洗衣机的进水时间是 4 分钟，清洗时洗衣机中的水量是 40 升； （2）①∵洗衣机的排水速度为每分钟 19 升，从第 15 分钟开始排水，排水量为 40 升， ∴y=40-19（x-15）=-19x+325， ②∵排水时间为 2 分钟， ∴y=-19×（15+2）+325=2 升． ∴排水结束时洗衣机中剩下的水量 2 升． （1）根据函数图象可以确定洗衣机的进水时间，清洗时洗衣机中的水量； （2）①由于洗衣机的排水速度为每分钟 19 升，并且从第 15 分钟开始排水，排水量为 40 升，由此即可确 定排水时 y 与 x 之间的关系式； ②根据①中的结论代入已知数值即可求解． 3．（2019·甘肃中考模拟）小颖和小亮上山游玩，小颖乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会 合.已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的 2 倍，小颖在小亮出发后 50 分才乘上缆车，缆 车的平均速度为 180 米/分，设小亮出发 x 分后行走的路程为 y 米．图中的折线表示小亮在整个行走过程中 y 随 x 的变化关系. （1)小亮行走的总路程是_________米，他途中休息了___________分； （2）分别求出小亮在休息前和休息后所走的路程段上的步行速度； （3）当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是多少？ 【答案】（1）3600 ，20；（2）65（米/分），55（米/分）；（3）1100（米）. 【详解】 (1)根据图象可知：小亮行驶的总路程为 3600m，中途休息时间为：50﹣30=20min， 故答案为；3600，20； (2)观察图象可知小亮休息前走了 30 分钟，1950 米，所以小亮休息前的速度为： 1950 6530  (米/分)， 小亮休息后的速度为： 3600 1950 5580 50   (米/分)， 答：小亮休息前的速度为 65 米/分，休息后的速度为 55 米/分； (3)缆车到山顶的线路长为 3600÷2=1800 米， 缆车到达终点所需时间为 1800÷180=10 分钟， 小颖到达缆车终点时，小亮行走的时间为 10+50=60 分钟， 80－60＝20(分)， ∴小颖到达终点时，小亮离缆车终点的路程为：20 55=1100(米)， 答：当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是 1100 米. 考查题型三 利用函数图形求解实际问题 1．（2019·湖北中考真题）第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气，决定与乌龟再 比一次，并且骄傲地说，这次我一定不睡觉，让乌龟先跑一段距离我再去追都可以赢．结果兔子又一次输 掉了比赛，则下列函数图象可以体现这次比赛过程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 A、兔子后出发，先到了，不符合题意； B、乌龟比兔子早出发，而早到终点，符合题意； C、乌龟先出发后到，不符合题意； D、乌龟先出发，与兔子同时到终点，不符合题意， 故选 B． 2．（2019·富顺县赵化中学校中考真题）均匀的向一个容器内注水，在注水过程中，水面高度 h 与时间t 的 函数关系如图所示，则该容器是下列中的（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 根据图象折线可知是正比例函数和一次函数的函数关系的大致图象；切斜程度（即斜率）可以反映水面升 高的速度；因为 D 几何体下面的圆柱体的底圆面积比上面圆柱体的底圆面积小,所以在均匀注水的前提下是 先快后慢; 故选 D. 3．（2019·安徽中考模拟）在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块 A 悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提 起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数 y(单位 N)与铁块被提起的高度 x(单位 cm) 之间的函数关系的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 根据浮力的知识，铁块露出水面前读数 y 不变，出水面后 y 逐渐增大，离开水面后 y 不变。因为小明用弹 簧称将铁块 A 悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度。故选 C。 4．（2018·陕西中考模拟）均匀地向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度 h 随时间 t 的变化规律如图所示（图中 OABC 为折线），这个容器的形状可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么速度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．则相应 的排列顺序就为 D．故选 D． 考查题型四 函数模型 1.（2012·浙江中考模拟）某中学九年级甲、乙两班同学商定举行一次远足活动，A、B 两地相离 10 千米， 甲班从 A 地出发匀速步行到 B 地，乙班从 B 地出发匀速步行到 A 地,两班同学各自到达目的地后都就地活 动. 两班同时出发，相向而行. 设步行时间为 x 小时，甲、乙两班离 A 地的距离分别为 y1 千米、y2 千米， y1、y2 与 x 的函数关系图象如图所示，根据图象解答下列问题： 1）分别求出 y1、y2 与 x 的函数关系式 2）求甲、乙两班学生出发后，几小时相遇？ 【答案】 1）y1=4x，y2=-5x+10． 由图象可知甲班速度为 4km/h，乙班速度为 5km/h， 设甲、乙两班学生出发后，x 小时相遇，则 4x+5x=10， 解得 x= ．（8 分） 2．（2019·天津中考模拟）一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量 y（升）与行驶路程 x（千米）之 间是一次函数关系，其部分图象如图所示． （1）求 y 关于 x 的函数关系式；（不需要写定义域） （2）已知当油箱中的剩余油量为 8 升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了 500 千米时， 司机发现离前方最近的加油站有 30 千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油 站的路程是多少千米？ 【答案】（1）该一次函数解析式为 y=﹣ x+60．（2）在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离 加油站的路程是 10 千米． 【详解】（1）设该一次函数解析式为 y=kx+b， 将（150，45）、（0，60）代入 y=kx+b 中，得 ͷͲ 香 ݇ ൅ͷ ݇ 〱 ，解得： Ͳ ݇ 〱 ， ∴该一次函数解析式为 y=﹣ x+60； （2）当 y=﹣ x+60=8 时， 解得 x=520， 即行驶 520 千米时，油箱中的剩余油量为 8 升． 530﹣520=10 千米， 油箱中的剩余油量为 8 升时，距离加油站 10 千米， ∴在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是 10 千米． 考查题型五 分段函数的应用 1．（2019·山东中考模拟）某班同学在研究弹簧的长度跟外力的变化关系时，实验记录得到相应的数据如下 表： 砝码的质量 x/g 0 50 100 150 200 250 300 400 500 指针位置 y/cm 2 3 4 5 6 7 7.5 7.5 7.5 则下列图象中，能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 解：由题干内容可得，一次函数过点（0，2）和（100，4）.设一次函数解析式为 y=kx+b，代入点（0,2）和 点（100,4）可解得，k=0.02，b=2.则一次函数解析式为 y=0.02x+2.显然当 y=7.5 时，x=275，故选 B. 2．（2019·湖北中考真题）一个装有进水管和出水管的空容器，从某时刻开始 4min 内只进水不出水，容器 内存水8L ，在随后的8min 内既进水又出水，容器内存水12L ，接着关闭进水管直到容器内的水放完.若每 分钟进水和出水量是两个常数，容器内的水量 y （单位： L ）与时间 x （单位： min ）之间的函数关系的 图象大致的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 ∵从某时刻开始 4min 内只进水不出水，容器内存水8L ； ∴此时容器内的水量随时间的增加而增加， ∵随后的8min 内既进水又出水，容器内存水12L ， ∴此时水量继续增加，只是增速放缓， ∵接着关闭进水管直到容器内的水放完， ∴水量逐渐减少为 0， 综上，A 选项符合， 故选 A． 3.（2019·北京市通州区姚村中学中考模拟）如图，点 P 是▱ABCD 边上的一动点，E 是 AD 的中点，点 P 沿 E→D→C→B 的路径移动，设 P 点经过的路径长为 x，△BAP 的面积是 y，则下列能大致反映 y 与 x 的函数 关系的图象是（ ） A． B． C ． D． 【答案】D 【详解】 通过已知条件可知，当点 P 与点 E 重合时，△BAP 的面积大于 0；当点 P 在 AD 边上运动时，△BAP 的底 边 AB 不变，则其面积是 x 的一次函数，面积随 x 增大而增大；当 P 在 DC 边上运动时，由同底等高的三角 形面积不变，△BAP 面积保持不变；当点 P 带 CB 边上运动时，△BAP 的底边 AB 不变，则其面积是 x 的 一次函数，面积随 x 增大而减小； 故选 D． 4．（2019·合肥寿春中学中考模拟）如图, 甲乙两城市相距 600 千米,一辆货车和一辆客车均从甲城市出发匀 速行驶至乙城市,已知货车出发1小时后客车再出发,先到终点的车辆原地休息,在汽车行驶过程中,设两车之 间的距离为 s (千米),客车出发的时间为t (小时),它们之间的关系如图所示,则下列结论： ①货车的速度是 60 千米/小时；②离开出发地后，两车第一次相遇时，距离出发地150千米；③货车从出发 地到终点共用时 7 小时；④客车到达终点时，两车相距180千米.正确的有（ ） A．1 B． 2 C． 3 D． 4 【答案】C 【详解】 由函数图象，得：货车的速度为 60÷1=60 千米/小时，客车的速度为 600÷6=100 千米/小时，故①正确；. 设客车离开起点 x 小时后，两车第一次相遇，根据题意得：. 100x=60+60x，. 解得：x=1.5，. ∴离开起点后，两车第一次相遇时，距离起点为：1.5×100=150（千米），. 故②正确；. 货车从起点到终点共用时为：600÷60=10（小时），. 故③错误；. ∵客车到达终点时，所用时间为 6 小时，货车先出发 1 小时，. ∴此时货车行走的时间为 7 小时，. ∴货车走的路程为：7×60=420（千米），. ∴客车到达终点时，两车相距：600-420=180（千米），故④正确．. 故选 C． 知识点二 一次函数的图形与性质 正比例函数定义：一般地，形如 y=kx（k 为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，k 叫做比例系数。 一次函数定义：如果 y=kx+b（k，b 是常数，k ≠0 ）的函数，叫做一次函数，k 叫比例系数。 注意：当 b=0 时，一次函数 y=kx+b 变为 y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。 待定系数法：先设出函数解析式，在根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出解析式的方法叫做待定 系数法。 待定系数法求函数解析式的一般步骤： 1、 设函数解析式 2、将已知条件带入到解析式中 2、 解方程（组） 4、将求出的数值代入到解析式中 正比例函数图像与一次函数图像特征 b>0 b<0 b=0 k>0 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限 图象从左到右上升，y 随 x 的增大而增大 k<0 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限 图象从左到右下降，y 随 x 的增大而减小 总结如下： k>0 时，y 随 x 增大而增大，必过一、三象限。 k>0，b>0 时, 函数的图象经过一、二、三象限；（一次函数） k>0，b<0 时, 函数的图象经过一、三、四象限；（一次函数） k>0，b=0 时, 函数的图象经过一、三象限。 （正比例函数） k<0 时, y 随 x 增大而减小，必过二、四象限。 k<0，b>0 时，函数的图象经过一、二、四象限；（一次函数） k<0，b<0 时，函数的图象经过二、三、四象限；（一次函数） k<0，b=0 时，函数的图象经过二、四象限。 （正比例函数） 直线 y1=kx＋b 与 y2=kx 图象的位置关系： 1、当 b>0 时，将 y2=kx 图象向 x 轴上方平移 b 个单位，就得到 y1=kx＋b 的图象． 2、当 b<0 时，将 y2=kx 图象向 x 轴下方平移－b 个单位，就得到了 y2=kx＋b 的图象． k，b 符号与直线 y=kx+b（k≠0）的关系 正比例函数的图像：y=kx（k≠0）是经过点（0，0）和（1，k）的一条直线。 一次函数的图象：y=kx+b（k≠0）是经过点（0，b）和 ݇ Ͳ 洠 的一条直线。 1、当 ݇ Ͳ ‴ ,则 k，b 异号，直线与 x 轴交与正半轴 2、当 ݇ Ͳ ,则 b=0，直线过原点 3、当 ݇ Ͳ ,则 k，b 同号，直线与 x 轴交与负半轴 在两个一次函数表达式中： 直线 l1：y1=k1x＋b1 与 l2：y2=k2x＋b2 的位置关系 k 相同， b 也相同时，两一次函数图像重合； k 相同， b 不相同时，两一次函数图像平行； k 不相同，b 不相同时，两一次函数图像相交； k 不相同，b 相同时， 两一次函数图像交于 y 轴上的同一点（0，b）。 特殊位置关系：直线 l1：y1=k1x＋b1 与 l2：y2=k2x＋b2 两直线平行，其函数解析式中 K 值（即一次项系数）相等 。即： bkk 2121 b  且 两直线垂直，其函数解析式中 K 值互为负倒数（即两个 K 值的乘积为-1）。即: 121 kk 直线 l1 与坐标原点构成的三角形面积为 s= 䁕 ݇ Ͳ ݇【考查题型汇总】 考查题型六 根据一次函数的概念求字母的值 1．（2018·天津中考模拟）已知函数 y＝（m﹣1）x+m2﹣1 是正比例函数，则 m＝_____． 【答案】-1 【详解】 解：由正比例函数的定义可得：m2﹣1＝0，且 m﹣1≠0， 解得：m＝﹣1， 故答案为：﹣1． 2．（2019·吉林中考模拟）若 y=（m﹣1）x|m|是正比例函数，则 m 的值为_____. 【答案】-1 【详解】 由题意得：m−1≠0，|m|=1， 解得：m=−1. 故答案为：−1. 3．（2018·柳州市龙城中学中考模拟）若一次函数 y=(m﹣3)x+m2﹣9 是正比例函数，则 m 的值为_______． 【答案】m=﹣3 【解析】 ∵y=(m﹣3)x+m2﹣9 是正比例函数， ∴ 2 9 0 3 0 m m     ＝ 解得 m=-3． 故答案是：-3. 4．（2015·四川中考真题）已知函数 22 2a by x a b   是正比例函数，则 a= ，b= ． 【答案】 2 3 ； 1 3  ． 【解析】 根据题意可得： 2 1a b  ， 2 0a b  ，解得： 2 3a  ， 1 3b   ．故答案为 2 3 ； 1 3  ． 5．（2019·锦州市第十九中学初二期中）若   23 my m x m   是一次函数，则 m  ______。 【答案】-3 【详解】 ∵   23 my m x m   是一次函数， ∴ 2 1m   且 m-3≠0， ∴m=±3 且 m≠3， ∴m=-3， 故答案是：-3. 考查题型七 解正比例关系的问题 1．（2018·沈阳市第七中学初二期中）已知 y﹣2 与 x 成正比例，且 x＝2 时，y＝﹣6．则 y 与 x 的函数关系 式为_____． 【答案】y＝﹣4x+2． 【详解】 解：设 y﹣2＝kx（k≠0）， 则由 x＝2 时，y＝﹣6， 得到：﹣6﹣2＝2k， 解得 k＝﹣4． 则 y 与 x 的函数关系式为：y＝﹣4x+2； 故答案为：y＝﹣4x+2． 2．（2019·平阳县鳌江中学中考模拟）若 y 与 x2﹣1 成正比例，且当 x＝2 时，y＝6，则 y 与 x 的函数关系式 是_____． 【答案】y＝2x2﹣2． 【详解】 设 y＝k（x2﹣1），把 x＝2，y＝6 代入得：k×（22﹣1）＝6，解得：k＝2，所以 y＝2（x2﹣1），即 y＝2x2﹣2． 故答案为 y＝2x2﹣2． 3．（2017·湖南中考模拟）已知 y=y1+y2，其中 y1 与 x 成正比例，y2 与（x﹣2）成反比例．当 x=1 时，y=2； x=3 时，y=10．求： （1）y 与 x 的函数关系式； （2）当 x=﹣1 时，y 的值． 【答案】（1）y 与 x 的函数关系式为 y=3x+ 1 2x  ；（2）-10 3 . 【解析】 解：（1）∵y=y1+y2，其中 y1 与 x 成正比例，y2 与（x﹣2）成反比例， ∴设 y1=ax，y2= 2 b x  ， ∴y 与 x 的函数关系式为 y=ax 2 b x   ． 将点（1，2）、（3，10）代入 y=ax 2 b x   ．中， 得： 2 10 3 a b a b      ，解得： 3 1 a b    ， ∴y 与 x 的函数关系式为 y=3x+ 1 2x  . （2）令 x=﹣1，则 y=﹣3﹣ 1 3 =﹣10 3 ， ∴当 x=﹣1 时，y 的值为﹣ 10 3 ． 考查题型八 一次函数解析式的确定 1．（2017·安徽中考模拟）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始 4min 内只进水不出水，在随后的 8min 内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量 y（单位：L）与时间 x（单位： min）之间的关系如图所示．则 8min 时容器内的水量为（ ） A．20 L B．25 L C．27L D．30 L 【答案】B 【解析】 试题分析：由图形可得点（4，20）和（12，30），然后设直线的解析式为 y=kx+b，代入可得 4 20{12 30 k b k b     ， 解得 5 { 4 15 k b   ，得到函数的解析式为 y= 5 4 x+15，代入 x=8 可得 y=25. 故选：B 2．（2017·广东省东莞市中堂星晨学校中考模拟）已知一次函数的图象经过点(－1,2)和(－3,4)，则这个一次 函数的解析式为________． 【答案】 1y x   【解析】 设一次函数解析式为 y=kx+b， 将(−1,2)与(−3,4)代入得： 2{ 3 4 k b k b       ， 解得：k=−1，b=1， 则一次函数解析式为 y=−x+1. 故答案为 y=−x+1 3．（2017·山东中考模拟）如图所示，四边形 ABCD 的四个顶点 A、B、C、D 的坐标分别为(－1，1)、(－1， －3)、(5，3)、(1，3)，则其对称轴的函数表达式为______________. 【答案】y=－x+2 【解析】 观察可得，四边形 ABCD 的对称轴是线段 AD、BC 的垂直平分线，对称轴与线段 AD、BC 的交点坐标是（0， 2）、（2，0），设对称轴的解析式为 y=kx+b，代入可得 ݇ 䁕 䁕Ͳ 香 ݇ ，解得 b=2，k=-1，所以对称轴的函数表 达式为 y=－x+2. 4．（2018·安徽中考模拟）若方程组 3 2 1 a b b c c a         的解满足 k=a+b+c，求关于 x 的函数 y=kx﹣k 的解析式． 【答案】y=3x﹣3． 【解析】 方程组 3 2 1 a b b c c a         中三个方程相加可得 2a+2b+2c=6， ∴a+b+c=3， 又∵k=a+b+c， ∴k=3， ∴把 k=3 代入 y=kx﹣k 得：y=3x﹣3． 考查题型九 函数值大小的比较 1．（2019·河南省实验中学中考模拟）已知点 A（x1， y1)、B(x2， y2)在直线 y=kx+b 上，且直线经过第一、 二、四象限，当 x1＜x2 时，y1 与 y2 的大小关系为________. 【答案】y1>y2 【解析】详解：∵直线经过第一、二、四象限， ∴y 随 x 的增大而减小， ∵x1＜x2， ∴y1 与 y2 的大小关系为：y1＞y2． 故答案为：＞． 2．（2015·江苏中考模拟）点 ， 洠 ， 䁕 ， 䁕洠 是直线 Ͳ 香 ݇Ͳ ‴ 洠 上的两点，则 䁕 0 （填“>”或“<”）． 【答案】＞． 【解析】 试题分析：根据 k＜0，一次函数的函数值 y 随 x 的增大而减小解答： ∵直线 Ͳ 香 ݇ 的 k＜0，∴函数值 y 随 x 的增大而减小． ∵点 ， 洠 ， 䁕 ， 䁕洠 是直线 Ͳ 香 ݇Ͳ ‴ 洠 上的两点，-1＜3， ∴y1＞y2，即 䁕 ＞ ． 3．（2018·山东中考模拟）已知点 A(x1，y1)，B(x2，y2)在直线 y＝kx＋b 上，且直线经过第一、三、四象限， 当 x1＜x2 时，y1 与 y2 的大小关系为______________． 【答案】y10 或 ax+b<0 （a≠0 ）的形式。求不等式的解，就是求不等式 y=ax+b 函数值大于或小于 0 时，自变量 x 的取 值范围。 【考查题型汇总】 考查题型十五 利用一次函数求解方程组或不等式的方法 1．（2019·江苏中考真题）已知一次函数 1 2y kx  （k 为常数，k≠0）和 2 3y x  ． （1）当 k＝﹣2 时，若 1y ＞ 2y ，求 x 的取值范围； （2）当 x＜1 时， 1y ＞ 2y ．结合图像，直接写出 k 的取值范围． 【答案】（1） 5 3x  ；（2） 4 1k „ „ 且 0k  . 【详解】 解：（1）当 2k   时， 1 2 2y x   . 根据题意，得 2 2 3x x    . 解得 5 3x  . （2）当 x＝1 时，y＝x−3＝−2， 把（1，−2）代入 y1＝kx＋2 得 k＋2＝−2，解得 k＝−4， 当−4≤k＜0 时，y1＞y2； 当 0＜k≤1 时，y1＞y2． ∴k 的取值范围是： 4 1k „ „ 且 0k  . 2．（2017·湖北中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，存在直线 y1＝2x 和直线 y2＝－x＋3 (1) 直接写出直线 y2＝－x＋3 与坐标轴的交点坐标：__________、__________ (2) 求出直线 y1＝2x 和直线 y2＝－x＋3 的交点坐标 (3) 结合图象，直接写出 0＜y2＜y1 的解集：_________________ 【答案】（1）（3，0）（0，3）；（2）交点坐标（1，2）；（3）1＜x＜3 【解析】 （1）令 y=0，得 x=3，令 x=0，得 y=3，所以直线和 x 轴交点为（3，0），和 y 轴交点为（0，3）； （2）由 2{ 3 y x y x     ，解得 1 2 x y    ，所以两直线交点坐标为（1，2）； （3） 由图象可知 0＜y2＜y1 的解集为 1＜x＜3. 知识点四 一次函数的实践与探索 考查题型十六 利用数形结合的思想解一次函数应用题 1．（2019·浙江中考真题）如图 1，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯．甲、乙两 人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度 h（单位：m ）与下行时间 x（单 位： s ）之间具有函数关系 3 610h x   ，乙离一楼地面的高度 y （单位： m ）与下行时间 x （单位： s ） 的函数关系如图 2 所示． （1）求 y 关于 x 的函数解析式； （2）请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面． 【答案】（1） 1 65y x   （2）甲 【详解】 （1）设 y 关于 x 的函数解析式是 y kx b  ， 6 15 3 b k b     ，解得， 1 5 6 k b      ， 即 y 关于 x 的函数解析式是 1 65y x   ； （2）当 0h  时， 30 610 x   ，得 20x = ， 当 0y  时， 10 65 x   ，得 30x  ， ∵ 20 30 ， ∴甲先到达地面． 2．（2019·浙江中考真题）某风景区内的公路如图 1 所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路 开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计）.第一班车上午 8 点发车，以后每隔 10 分钟有一班车从入 口处发车.小聪周末到该风景区游玩，上午 7:40 到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出 发，沿该公路步行 25 分钟后到达塔林．离入口处的路程 y （米）与时间 x （分)的函数关系如图 2 所示. （1）求第一班车离入口处的路程 y （米）与时间 x （分）的函数表达式. （2）求第一班车从人口处到达塔林所蓄的时间. （3）小聪在塔林游玩 40 分钟后，想坐班车到草甸，则小聘聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这班车到 草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度 不变） 【答案】（1）  150 3000 20 38y x x    .；（2）10 分钟；（3）第 5 班车，7 分钟. 【详解】 （1）解：由题意得，可设函数表达式为：  0y kx b k   . 把 20,0 ， 38,2700 代入 y kx b  ，得 0 20 2700 38 k b k b      ， 解得 150 3000 k b     . ∴第一班车离入口处的路程 y （米）与时间 x （分）的函数表达式为  150 3000 20 38y x x    . （2）解：把 1500y  代入 150 3000y x  ，解得 30x  ， 30 20 10- = （分）． ∴第一班车到塔林所需时间 10 分钟. （3）解：设小聪坐上第 n 班车.  30 25 10 1 40n    ，解得 4.5n  ， ∴小聪最早坐上第 5 班车. 等班车时间为 5 分钟， 坐班车所需时间：1200 150 8  （分）， ∴步行所需时间：  1200 1500 25 20   （分），  20 8 5 7   （分）． ∴小聪坐班车去草甸比他游玩结束后立即步行到达草甸提早 7 分钟 考查题型十七 利用转化的思想解一次函数应用题 1．（2019·上海中考模拟）E-learning 即为在线学习，是一种新型的学习方式．某网站提供了 A、B 两种在线 学习的收费方式．A 种：在线学习 10 小时（包括 10 小时）以内，收取费用 5 元，超过 10 小时时，在收取 5 元的基础上，超过部分每小时收费 0.6 元（不足 1 小时按 1 小时计）；B 种：每月的收费金额 y（元）与在 线学习时间是 x （时）之间的函数关系如图所示． （1）按照 B 种方式收费，当 5x≥ 时，求 y 关于 x 的函数关系式． （2）如果小明三月份在这个网站在线学习，他按照 A 种方式支付了 20 元，那么在线学习的时间最多是多 少小时？如果该月他按照 B 种方式付费，那么他需要多付多少元？ 【答案】(1) 5y x  ; (2) 35 小时， 10 元. 【详解】 （1）当 5x  时，设 与 之间的函数关系式是：  0y kx b k   ∵它经过点（5，0），（20，15）， ∴ 5 0, 20 15 k b k b      解得 1, 5. k b     ∴ 5y x  ． （2）按照 A 种收费方式，设小明三月份在线学习时间为 小时， 得  5 10 0.6 20x    ．解得 35x  ． 当 35x  时， 5 30y x   ． 30 20 10  （元）． 答：如果小明 3 月份按照 A 种方式支付了 20 元，那么他三月份在线学习的时间最多 是 35 小时，如果该月他按照 B 种方式付费，那么他需要多付 10 元. 2．（2013·四川中考真题）某商场购进一种每件价格为 100 元的新商品，在商场试销发现：销售单价 x(元/ 件)与每天销售量 y(件)之间满足如图所示的关系： (1)求出 y 与 x 之间的函数关系式； (2)写出每天的利润 W 与销售单价 x 之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每 天获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）y＝－x＋180；（2）售价定为 140 元/件时，每天最大利润 W＝1600 元． 【解析】 解：（1）设 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b（k≠0），由所给函数图象可知， 130 50 150 30 k b k b      ，解得 1 180 k b     ． 故 y 与 x 的函数关系式为 y=﹣x+180； （2）∵y=﹣x+180， ∴W=（x﹣100）y=（x﹣100）（﹣x+180） =﹣x2+280x﹣18000 =﹣（x﹣140）2+1600， ∵a=﹣1＜0， ∴当 x=140 时，W 最大=1600， ∴售价定为 140 元/件时，每天最大利润 W=1600 元． 考查题型十八 利用一次函数最值解决最优化问题 1．（2019·湖南中考真题）某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为 x 时所需费用为 y 元，选 择这两种卡消费时，y 与 x 的函数关系如图所示，解答下列问题 （1）分别求出选择这两种卡消费时，y 关于 x 的函数表达式； （2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算． 【答案】（1） 20y x甲 ， 10 100y x 乙 （2）见解析 【详解】 （1）设 1y k x甲 ，根据题意得 15 100k  ， 解得 1 20k  ， ∴ 20y x甲 ； 设 2 100y k x 乙 ，根据题意得： 220 100 300k   ， 解得 2 10k  ， ∴ 10 100y x 乙 ； （2）① y y甲 乙 ，即 20 10 100x x  ，解得 10x  ，当入园次数小于 10 次时，选择甲消费卡比较合算； ② y y甲 乙 ，即 20 10 100x x  ，解得 10x  ，当入园次数等于 10 次时，选择两种消费卡费用一样； ③ y y甲 乙 ，即 20 10 100x x  ，解得 10x  ，当入园次数大于 10 次时，选择乙消费卡比较合算． 2．（2019·天津中考模拟）某学校计划组织全校 1441 名师生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定租 用当地租车公司一共 62 辆 A，B 两种型号客车作为交通工具．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客 车的载客量和租金信息： 型号 载客量 租金单价 A 30 人/辆 380 元/辆 B 20 人/辆 280 元/辆 注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数设学校租用 A 型号客车 x 辆，租车总费用为 y 元． （Ⅰ）求 y 与 x 的函数解析式，请直接写出 x 的取值范围； （Ⅱ）若要使租车总费用不超过 21940 元，一共有几种租车方案？哪种租车方案总费用最省？最省的总费 用是多少？ 【答案】(1) 21≤x≤62 且 x 为整数；(2)共有 25 种租车方案，当租用 A 型号客车 21 辆，B 型号客车 41 辆时， 租金最少，为 19460 元． 【详解】 (1)由题意得 y＝380x＋280(62－x)＝100x＋17360， ∵30x＋20(62－x)≥1441， ∴x≥20.1，∴21≤x≤62 且 x 为整数； (2)由题意得 100x＋17360≤21940， 解得 x≤45.8，∴21≤x≤45 且 x 为整数， ∴共有 25 种租车方案， ∵k＝100>0，∴y 随 x 的增大而增大， 当 x＝21 时，y 有最小值， y 最小＝100×21＋17360＝19460， 故共有 25 种租车方案，当租用 A 型号客车 21 辆，B 型号客车 41 辆时，租金最少，为 19460 元． 考查题型十九 构造一次函数模型解决动态几何问题 1．（2018·温岭市第三中学中考模拟）如图 1，点 P 从△ABC 的顶点 B 出发，沿 B→C→A 匀速运动到点 A， 图 2 是点 P 运动时，线段 BP 的长度 y 随时间 x 变化的关系图象，其中 M 为曲线部分的最低点，则△ABC 的面积是( ) A．10 B．12 C．20 D．24 【答案】B 【详解】 解：根据图象可知点 P 在 BC 上运动时，此时 BP 不断增大， 由图象可知：点 P 从 B 向 C 运动时，BP 的最大值为 5，即 BC=5， 由于 M 是曲线部分的最低点， ∴此时 BP 最小，即 BP⊥AC，BP=4， ∴由勾股定理可知：PC=3， 由于图象的曲线部分是轴对称图形， ∴PA=3， ∴AC=6， ∴△ABC 的面积为： 1 2 ×4×6=12. 故选：B. 2．（2019·黄石市河口中学中考模拟）如图，正方形 ABCD 的边长为 3cm，动点 P 从 B 点出发以 3cm/s 的速 度沿着边 BC﹣CD﹣DA 运动，到达 A 点停止运动；另一动点 Q 同时从 B 点出发，以 1cm/s 的速度沿着边 BA 向 A 点运动，到达 A 点停止运动．设 P 点运动时间为 x（s），△BPQ 的面积为 y（cm2），则 y 关于 x 的 函数图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 试题分析：由题意可得 BQ=x． ①0≤x≤1 时，P 点在 BC 边上，BP=3x，则△BPQ 的面积= 1 2 BP•BQ，解 y= 1 2 •3x•x= 23 2 x ；故 A 选项错误； ②1＜x≤2 时，P 点在 CD 边上，则△BPQ 的面积= 1 2 BQ•BC，解 y= 1 2 •x•3= 3 2 x ；故 B 选项错误； ③2＜x≤3 时，P 点在 AD 边上，AP=9﹣3x，则△BPQ 的面积= 1 2 AP•BQ，解 y= 1 2 •（9﹣3x）•x= 29 3 2 2x x ； 故 D 选项错误． 故选 C 3．（2018·山东中考模拟）如图，在 ABC 中， 90B   ， 3AB cm ， 6BC cm ，动点 P 从点 A 开始 沿 AB 向点 B 以1 /cm s 的速度移动，动点 Q 从点 B 开始沿 BC 向点 C 以 2 /cm s 的速度移动.若 P ，Q 两点 分别从 A ， B 两点同时出发， P 点到达 B 点运动停止，则 PBQ 的面积 S 随出发时间t 的函数关系图象大 致是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由题意可得：PB=3-t，BQ=2t， 则△PBQ 的面积 S= 1 2 PB•BQ= 1 2 （3-t）×2t=-t2+3t， 故△PBQ 的面积 S 随出发时间 t 的函数关系图象大致是二次函数图象，开口向下． 故选 C．