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- 2021-11-11 发布
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1
初四数学期末复习学案
我的期末目标是:
姓名:
班级:
认真复习,期末成功,成绩与付出成正比。
今天,你努力了吗?
泰安东岳中学
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2
《反比例函数》复习导学案
(一)反比例函数的概念
1. ( )可以写成 ( )的形式,注意自变量 x的指数为 ,
在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数 这一限制条件;
2. ( )也可以写成 xy=k的形式,用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的 k,从而得到
反比例函数的解析式;
3.反比例函数 的自变量 ,故函数图象与 x轴、y轴无交点.
(二)反比例函数的图象
在用描点法画反比例函数 的图象时,应注意自变量 x的取值不能为 0,且 x应对称取点(关于原
点对称).
(三)反比例函数及其图象的性质
1.函数解析式: ( )
2.自变量的取值范围:
3.图象:
(1)图象的形状:双曲线. 越大,图象的弯曲度越小,曲线越平直. 越小,图象的弯曲度越大.
(2)图象的位置和性质:
与坐标轴没有交点,称两条坐标轴是双曲线的渐近线.
当 时,图象的两支分别位于一、三象限;
在每个象限内,y随 x的增大而减小;
当 时,图象的两支分别位于二、四象限;
在每个象限内,y随 x的增大而增大.
(3)对称性:图象关于原点对称,即若(a,b)在双曲线的一支上,
则( , )在双曲线的另一支上.
图象关于直线 对称,即若(a,b)在双曲线的一支上,
则( , )和( , )在双曲线的另一支上.
4.k的几何意义
如图 1,设点 P(a,b)是双曲线 上任意一点,作 PA⊥x轴于 A点,PB⊥y轴于 B点,则矩
形 PBOA的面积是 (三角形 PAO和三角形 PBO的面积都是 ).
如图 2,由双曲线的对称性可知,P关于原点的对称点 Q也在双曲线上,作 QC⊥PA的延长线于 C,
则有三角形 PQC的面积为 .
图 1 图 2
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3
5.说明:
(1)双曲线的两个分支是断开的,研究反比例函数的增
减性时,要将两个分支分别讨论,不能一概而论.
(2)直线 与双曲线 的关系:
当 时,两图象没有交点;
当 时,两图象必有两个交点,且这两个交点关于原点成中心对称.
(四)充分利用数形结合的思想解决问题.
例题分析
1.反比例函数的概念
(1)下列函数中,y是 x的反比例函数的是( ).
A.y=3x B. C.3xy=1 D.
(2)下列函数中,y是 x的反比例函数的是( ).
A. B. C. D.
2.图象和性质
(1)已知函数 是反比例函数,
①若它的图象在第二、四象限内,那么 k=_________
②若 y随 x的增大而减小,那么 k=___________.
(2)已知一次函数 y=ax+b的图象经过第一、二、四象限,则函数 的图象位于第________象限.
(3)若反比例函数 经过点( ,2),则一次函数 的图象一定不经过第_____象限.
(4)已知 a·b<0,点 P(a,b)在反比例函数 的图象上,则直线 不经过的象限是( ).
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
(5)若 P(2,2)和 Q(m, )是反比例函数 图象上的点,则一次函数 y=kx+m 的图象经过
( ).
A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限
C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限
(6)已知函数 和 (k≠0),它们在同一坐标系内的图象大致是( ).
A. B. C. D.
3.函数的增减性
(1)在反比例函数 的图象上有两点 , ,且 ,则
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4
的值为( ).
A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数
(2)在函数 (a为常数)的图象上有三个点 , , ,则函数值 、
、 的大小关系是( ).
A. < < B. < < C. < < D. < <
(3)下列四个函数中:① ;② ;③ ;④ .y随 x的增大而减小的函数有
( ).
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
(4)已知反比例函数 的图象与直线 y=2x和 y=x+1的图象过同一点,则当 x>0 时,这个反比例
函数的函数值 y随 x的增大而______ (填“增大”或“减小”).
4.解析式的确定
(1)若 与 成反比例, 与 成正比例,则 y是 z的( ).
A.正比例函数 B.反比例函数 C.一次函数 D.不能确定
(2)若正比例函数 y=2x与反比例函数 的图象有一个交点为 (2,m),则 m=_____,k=________,
它们的另一个交点为________.
(3)已知反比例函数 的图象经过点 ,反比例函数 的图象在第二、四象限,求
的值.
5.面积计算
(1)如图,在函数 的图象上有三个点 A、B、C,过这三个点分别向 x轴、y轴作垂线,过每一
点所作的两条垂线段与 x轴、y轴围成的矩形的面积分别为 、 、 ,则( ).
A. B. C. D.
第(1)题图 第(2)题图
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5
(2)如图,A、B是函数 的图象上关于原点 O对称的任意两点,AC//y轴,BC//x轴,△ABC的
面积 S,则( ).
A.S=1 B.1<S<2 C.S=2 D.S>2
《锐角三角函数》复习导学案
一、知识梳理:
1、如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C为直角,则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B):
(图 1)
2、30°、45°、60°特殊角的三角函数值。
三角函数 30° 45° 60°
sin
cos
tan
3、解直角三角形:如图 1,Rt△ABC(∠C=90°)的边、角之间有如下关系:
①三边的关系: 222 cba ;②两锐角的关系:∠A+∠B=90°;
③边角之间的关系:sinA=
c
a
;cosA=
c
b
;tanA=
b
a
.
4、相关概念:
(1) 仰角:视线在水平线上方的角;
(2) 俯角:视线在水平线下方的角。
(3) 坡度:坡面的铅直高度h和水平宽度 l的比叫做坡度(坡比)。用字母 i表示,即
hi
l
。坡度一般
写成1:m的形式,如 1:5i 等。把坡面与水平面的夹角记作 (叫做坡角),那么 tanhi
l
。
(4)方向角:一般是指以观测者的位置为中心,将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线
所成的角(一般指锐角),通常表达成北(南)偏东(西)××度.
二、课前热身:
定 义 表达式
正弦
斜边
的对边AA
sin
c
aA sin
余弦
斜边
的邻边AA
cos
c
bA cos
正切
的邻边
的对边
A
tan
AA
b
aA tan
:i h lh
l
α
对
边
邻 边
边
斜边
A C
B
ac
b
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6
1.Sin60°的值为( )
A.
3
2
B.
2
2
C.
1
2
D.
3
3
2.在等腰直角三角形 ABC 中,∠C=90º,则 sinA 等于( )
A.
1
2
B.
2
2
C.
3
2
D.1
3. 如果一斜坡的坡度是 1∶ 3,那么坡角 = 度.
4.在Rt ABC△ 中, 90 3 2C AB BC °, , ,则 cos A的值是 .
5.如图,△ABC 中,∠C=90°,AB=8,cosA=
4
3
,则 AC 的长是
6.计算:tan60°tan30°=________.
三、典型例题:
题型 1 锐角三角函数的定义
例 1.已知在Rt ABC△ 中,
390 sin
5
C A °, ,则 tan B的值为( )
A.
4
3
B.
4
5
C.
5
4
D.
3
4
题型 2 特殊角的计算
例 2.(1)计算 4cos30°sin60°+(
2
1
)
1
-( 2014 -2013)
0
= 。
(2)如图,AC 是电杆 AB 的一根拉线,测得 BC =6 米,
∠ACB=60°,则拉线 AC 的长为 米;(结果保留根号)
四、交流与展示:
1.计算 2sin60°-3tan30°+(
3
1
)
0
+(-1)
2014
2. 如图,小红同学用仪器测量一棵大树 AB 的高度,在 C 处测得∠ADG=30°,在 E 处测得∠AFG=60°,
CE=8 米,仪器高度 CD=1.5 米,求这棵树 AB 的高度(结果保留两位有效数字, ≈1.732).
五、备考训练:
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7
1.在 Rt ABC 中, 90C ,若 2AC BC ,则 tan A的值是( )
A.
1
2
B.2 C.
5
5
D.
5
2
2. ABC 中,
190 , tan
3
C A ,则 sin B的值是( )
A.
10
10
B.
2
3
C.
3
4
D.
3 10
10
3.如图,在Rt ABC△ 中, ACB Rt, 1BC , 2AB ,则下列结论正确的是( )
A.
3sin
2
A B.
1tan
2
A C.
3cos
2
B D. tan 3B
第 4 题图 第 8题图 第 9 题图
4.如图,△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点,则 sin∠BAC 等于( )
A.
2
3 B.
5
5 C.
10
5 D.
1
3
5.在 ABC 中,∠C=90°,BC=6cm,sinA=
5
3
,则 AB 的长是 cm。
6. 修筑一坡度为 3︰4的大坝,如果设大坝斜坡的坡角为 ,那么 tan = 。
7.已知α为锐角,且 sinα =cos50°,则α= 。 .
8. 如图,角 的顶点为 O,它的一边在 x轴的正半轴上,另一边 OA 上有一点 P(3,4),则 sin .
9.如图,边长为 1 的正方形构成的网格中,半径为 1 的⊙O的圆心 O 在格点上,则∠AED 的正切值等于_
10. 喜欢数学的小伟沿笔直的河岸 BC 进行数学实践活动,如图,河对岸有一水文站 A,小伟在河岸 B
处测得∠ABD=45°,沿河岸行走 300 米后到达 C 处,在 C 处测得∠ACD=30°,求河宽 AD.(最后结果精
确到 1 米.已知: 2 1.414, 3 1.732, 6 2.449,供选用)。
B
CA
第 3 题图
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《二次函数》复习导学案
一、自学导航:
考点一:二次函数的定义:
1. 下列函数中,哪些函数是 y关于 x的二次函数?
(1) 3 22 8 3y x x (2) 2
1
x
y (3) 2 1y mx x (4) (1 )y x x (5) 2xy
2. 若
22( ) m my m m x 是关于 x的二次函数,则 m的值为_____________。
考点二:二次函数的图象和性质:
关系式
一般式
y=ax2+bx+c (a≠0)
顶点式
y=a(x-h)2+k (a≠0)
图像形状 抛物线
开口方向 当 a > 0,开口向 ;当 a < 0,开口向
顶点坐标
对称轴
增
减
性
a > 0
在对称轴的左侧, y随着 x的增大而 ;
在对称轴的右侧, y随着 x的增大而
a < 0
在对称轴的左侧,y随着 x的增大而 ;
在对称轴的右侧, y随着 x的增大而
最
值
a > 0
a
bac
a
bx
4
4最小值,
2
2
时当 当 x = 时,最小值为 .
a < 0
a
bacy
a
bx
4
4,
2
2
最大值为时当 当 x = 时,最大值为 .
1.y=2x2-bx+3的对称轴是直线 x=1,则 b的值为__________.
2.已知抛物线 cbxaxy 2 的开口向下,顶点坐标为(2,-3) ,那么该抛物线有最值_________。
考点三:二次函数平移问题:
平移法则:遵循“左加右减,上加下减”原则,左右针对 x,上下针对 y。
说明:①平移时与上、下、左、右平移的先后顺序无关,既可先左右后上下,也可先上下后左右;
②抛物线的移动主要看顶点的移动,即在平移时只要抓住顶点的位置变化;
③抛物线 khxay 2)( 经过反向平移也可得到抛物线 2axy 的图象。
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9
1. 已知 khxay 2)( 是由抛物线
2
2
1 xy 向上平移2个单位,再向右平移 1个单位得到的抛物线,
求出 k、、ha 的值。
2. 抛物线 cbxxy 2 图像向右平移 2 个单位再向下平移 3 个单位,所得图像的解析式为
322 xxy ,则 b=______、c=_______。
考点四:二次函数 cbxaxy 2 的图象特征与 cba 、、 的符号之间的关系
① a决定________________________
②b和 a共同决定_____________________________
③c决定抛物线与______轴交点的位置.
1二次函数 y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A.a<0,b<0,c>0,b2-4ac>0;
B.a>0,b<0,c>0,b2-4ac<0;
C.a<0,b>0,c<0,b2-4ac>0;
D.a<0,b>0,c>0,b2-4ac>0;
2.二次函数 y=ax2+bx+c与一次函数 y=ax+c在同一坐标系中的图象大致是图中的( )
考点五:用待定系数法求二次函数的表达式
(1)一般式: cbxaxy 2 )0( acba 为常数,、、 已知抛物线上三个点的坐标时;
注:先看看有没有(0,c)这个点,如果有,先确定 c的值
(2)顶点式: khxay 2)( )0( akha 为常数,、、 已知条件与抛物线顶点坐标有关时;
注:一般题目中出现“顶点……”“对称轴……”“最大/小值……”等字样时,考虑用顶点式。
(3)交点式:y=a(x-x1)(x-x2) (a ≠0)
注:当题目中出现(x1,0)(x2,0)时,考虑用交点式。
3.(1) 已知二次函数 cbxaxy 2 过(-1,0),(3,0),(0,
2
3
),求此抛物线的表达式。
(2) 已知抛物线的顶点坐标为(-1,-3),与 y轴的交点坐标为(0,-5),求抛物线的表达式。
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(3) 已知抛物线 y=x2+px+q与 x轴只有一个公共点,坐标为(-2,0),求此抛物线的解析式。
(4) 已知抛物线 y=ax2+bx+c的图象顶点为(-2,3),且过(-1,5),求抛物线的解析式
考点六:最值
1、自变量 x取全体实数时二次函数的最值
方法:配方法 cbxaxy 2
a
bac
a
bxa
4
4)
2
(
2
2
当a >0,x=
a
b
2
时,y取最_____值____________________;
当a <0,x=
a
b
2
时,y取最_____值____________________。
例 1:求二次函数 322 xxy 的最小值。
2、自变量 x在一定范围内取值时求二次函数的最值
例 2:分别在下列范围内求函数 322 xxy 的最大值或最小值。
(1)0