2016-2017 北京海淀首师附初二下期中试卷 12页

2016-2017 北京海淀首师附初二下期中试卷 一、选择题（每小题 2分，共 20分） 1．下列函数中，图象一定经过原点的是（ ）． A． 2 1y x  B． 2( 1)y x  C． 2 xy  D． 2y x  【答案】C 【解析】A为二次函数，不经过原点； B为一次函数，不经过原点； C为正比例函数，经过原点； D为反比例函数，不经过原点． 故选C． 4．方程 23 5 1 0x x   的根的情况是（ ）． A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 【答案】D 【解析】 2( 5) 4 3 1 5 12 7 0           ， ∴方程无实根． 故选D． 5．已知一次函数 3y x b   的图象经过点 (2, )A m ， (4, )B n ，则m与 n的大小关系为（ ）． A．m n B．m n C．m n D．无法判断 【答案】A 【解析】∵ 3 0k    ， y随 x的增大而减小， ∵ (2, )A m ， (4, )B n 是一次函数上的点， 2 4 ． ∴m n ． 故选A． 7．对于一次函数 y kx b  （ ,k b为常数），下表中给出5组自变量和相应的函数值，其中只有一个函数值 计 算有误，则这个函数值是（ ）． x 1 2 3 4 5 y 4 7 10 14 16 A． 7 B．10 C．14 D．16 【答案】C 【解析】 (1,4)， (2,7)， (3,10)， (5,16)符合解析式， 3 1y x  ， 只有 (4,14)不符合， 故选C． 8．Rt ABC△ 中， 90BAC  ，点D在线段 BC上，且 AC DC ，CF AD 于点 F ，若 E为 AB的中点， 6AB  ， 1EF  ，则 AC的长为（ ）． A． 6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【解析】∵ AC DC ，CF CD ， ∴ F 为 AD中点， ∵ E为 AB中点， ∴ 1 2 EF DB ． ∵ 1EF  ， ∴ 2BD  ． 设 AC CD x  ， 2CB x  ． 在Rt ABC△ 中， 2 2 2AC AB BC  ， 2 2 2( 2)x b x   ， 8x  ． 故选B． 10．如图 1，已知点 , , ,E F G H 是矩形 ABCD各边的中点， 6AB  ， 8AD  ．动点 M 从点 E出发，沿 E F G H E    匀速运动，设点M 运动的路程为 x，点M 与矩形的某一个顶点的距离为 y，如 果 y关于 x函数的图象如图 2所示，则矩形的这个顶点是（ ）． 【答案】A 【解析】由图 2得出始点 E到顶点的距离为 3． ∵ AB b ， ∴只有顶点 ,A B满足， 又∵沿 E F G H E    匀速运动开始时造成小， ∴只有顶点 A满足． 故选A． 二、填空题（每小题 3分，共 24分） 11．已知一组数据1,3,2,a的众数是 2，则这组数据的 2s  __________． 【答案】 1 2 【解析】∵1,3,2,a的众数为 2， ∴ 2a  ． 1 3 2 2 2 4 x      ． 2 2 2 2 2 ( 1) ( 3) ( 2) ( 2) 1 4 2 x x x xs          ． 12．若非零实数 b是关于 x的方程 2 0x ax b   的一个根，则 a b 的值为__________． 【答案】 1 【解析】将 b代入 2 0x ax b   中， 得 2 0b ab b   ． 1 0b a   ， ∴ 1a b   ． 13．甲骑车到乙家研讨数学问题，中途因等候红灯停止了一分钟，之后又骑行了1.2千米到达了乙家．若甲 骑行的速度始终不变，从出发开始计时，剩余的路程 S （单位：千米）与时间 t（单位：分钟）的函 数关系图象如图所示，则图中 a等于__________． 【答案】 2 【解析】由纵坐标看出等红灯后骑行的路是1.2千米， 由横坐标看出等红灯后所用的时间 6 3 3  分钟， 骑自行车的速度是1.2 3 0.4  千米/分钟， 由横坐标看出骑自行车所用的时间 6 1 5  分钟． 5 0.4 2a    千米． 14．矩形纸片 ABCD， 13AD  ， 12CD  ，将其沿着线段CE 剪开，平移 CDE△ 到 BAF△ 的位置，恰好得 到一个菱形，则 AE  __________． 【答案】 8 【解析】∵ FBCE为菱形， FB AD ， ∵ 13AD  ， ∴ 13FB  ， ∵ 12CD  ， ABCD为矩形， ∴ 2 2 5FA FB AB   ， ∵ 13FE  ， ∴ 8AE  ． 15．函数 1 1y x  与 2y ax b  的图象如图所示，这两个函数的交点在 y轴上，使得 1y ， 2y 的值都大于 0的 x的取值范围是__________． 【答案】 1 2x   【解析】根据图象可判断 1 2x   ． 16．如图1，在线段 AB上找一点C，C把 AB分为 AC和CB两段，其中 BC是较小的一段，如果 2BC AB AC  ， 那么称线段 AB被点C黄金分割． 图 1 图 2 为了增加美感，黄余分割经常被应用在绘画画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域．如图 2，在我国古代紫禁城 的中轴线上，太和门位于太和殿与内金水桥之间靠近内金水桥的一侧，三个建筑的位置关系满足黄金分割， 己知太和殿到内金水桥的距离约为100丈，若设一衣和门到太和殿之间的距离为 x丈，则可列方程为 __________． 【答案】 2 100(100 )x x  【解析】根据 2BC AB AC  可得 2 100(100 )x x  ． 17．己知一次函数 y kx b  过点 ( 1,0) ，若该函数的图象与 2 4y x  的图象交于第一象限，则 k的取值范 围为__________． 【答案】 2 4k  【解析】∵ y kx b  过 ( 1,0) 0 k b   ， ∴ k b ， ∴ y kx k  ∵ y kx k  与 2 4y x  交于第一象限， ∴ 2 4 y kx k y x      ∴ 4 0 2 kx k     ， ∴ (4 )( 2) 0k k   ， ∴ 2 4k  ． 18．要得到一个直角，小芳是这么做的：作线段 AB，以点 B为圆心， AB长为半径画弧，在弧上任取一点 C ，分别以 A， C 为圆心， AB 长为半径画弧，两弧交于点 D，连接 AC ， BD，交于点 O，则 90AOB  ．她的依据是__________． 【答案】见解析 【解析】四条边相等的四边形是菱形， 菱形的对角线互相垂直， 垂直定义． 三、解答题（本大题共 56分，第 19题 4分，第 20至 27题，每题 5分，第 28，29题，每题 6分） 19．解方程 2 2 4 0x x   ． 【答案】 1 1 5x   ， 2 1 5x   【解析】 2 2 4 0x x   ， 2 2 1 4 1x x    ， 2( 1) 5x   ， 1 5x    ， 1 5x   ． 1 1 5x   ， 2 1 5x   20．已知：如图，四边形 ABCD是平行四边形， E为 BC中点， AE延长线交 DC的延长线于点 F ． 求证：C是 FD的中点． 【答案】见解析 【解析】∵平行四边形 ABCD ∴ AB CD‖ ， AB CD ． ∴ AB DF‖ ， ∴ 1 F  ． ∵ E为 BC中点， ∴ BE CF ． 在 ABE△ 和 FCE中， 1 2 3 F BE CF         ∴ (AAS)ABE FCE≌△ △ ． ∴ AB FC ， ∵ AB CD ， ∴ FC CD ． ∴C是 FD中点． 21．某工厂废气年排放量为 450万立方米，为改善空气质量，决定分两期治理，使废气的排放量减少到 288 万立方米．如果每期治理中废气减少的百分率相同，求每期减少的百分率． 【答案】每期减少 20% 【解析】解：设每次减少 x， 2450( 1) 288x   ， 2( 1) 0.64x   ， 1 0.8x    ， 1 0.2x  ， 2 1.8x  （舍）． 答：每期减少 20%． 22．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数的图象与 x轴交于点 (3,0)A ，与 y轴交于点 B，且与正比 例函数 2y x  的图象交于点 ( , 2)C m  ． （1）求一次函数的解析式； （ 2）若点D在第四象限， DAB△ 是等腰直角三角形，直接写出点D的坐标． 【答案】（1） 3y x  （ 2） (3, 3) ， (3, 6) ， (6, 3) 【解析】（1）一次函数与正比例函数交于点 ( , 2)C m  ， ∴ 2 2m   ， 1m  ． ∴ (1, 2)C  ， ∵一次函数交 (3,0)A ， ∴设直线解析式 y kx b  2 0 3 k b k b       ， 解得 1 3 k b     ． ∴ 3y x  ． （ 2）当DA DB 时， (3, 3)D  ， 当 BA BD 时， (3, 6)D  ， 当 AB AD 时， (6, 3)D  ． 23．已知关于 x的一元二次方程 2 2 2 4 0x x k    有两个不相等的实数根． （1）求 k的取值范围； （ 2）若此方程的根都是整数，求正整数 k的值． 【答案】（1） 5 2 k  （ 2） 2k  【解析】（1）∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 0  ． ∴ 4 4(2 4) 0k   ， ∴ 5 2 k  ． （ 2）∵ k为正整数， 5 2 k  ， ∴ 1,2k  ． 当 1k  时， 2 2 2 0x x   ， 1 3 1x   ， 2 3 1x    ． 当 2k  时， 2 2 0x x  ， 1 0x  ， 2 2x   ． ∴ 2k  ． 24．已知正方形 ABCD的边长是 4，E为 AD边的中点，P为正方形 ABCD边上的一个动点，动点 P从 A点 出发，动点 P从 A点出发，沿 A B C D   （不与 A，D重合）运动．若点 P经过的路程为 x， APE△ 的面积为 y． （1）求 y关于 x的函数关系式： （ 2）当 APE△ 的面积为 2时，判断点 P的位置． 【答案】（1） (0 4) 4 (4 8) 12(8 12) x x y x x x       ≤ ≤ ≤ （ 2） P在 AB中点或 DC中点 【解析】（1）当 P在 AB上时， 1 2 (0 4) 2 y x x x    ≤ ． 当 P在 BC上时， 1 2 4 4(4 8) 2 y x    ≤ ． 当 P在CD上时， 1 2 (12 ) 12(8 12) 2 y x x x       ≤ ． ∴ (0 4) 4 (4 8) 12(8 12) x x y x x x       ≤ ≤ ≤ ． （ 2）当 2APES △ 时， 若 P在 AB上，则 2x  ． 若 P在CD上，则 12 2x   ，则 10x  ． ∴ P在 AB中点或CD中点． 27．已知：关于 x的一元二次方程 2 ( 4) 2 4 0x a x a     （ 0a  ）． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （ 2）设方程的两个实数根分别为 1x ， 2x （其中 2 1x x ）．若 y是关于 a的函数，且 1 22y x x  ，求这个函 数的解析式，并写出自变量取值范围； （ 3）在（ 2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量 a的取值范围满足什么条件时， 4y a ≤ ． 【答案】（1）见解析 （ 2） 2 2( 0)y a a    （ 3） 2a ≥ 【解析】（1）证明： 2 2( 4) 4(2 4) 0a a a      ≥ ． ∵ 0a  ∴ 2 0a  ∴ 2 0a  ∴方程有两个不相等的实数根． （ 2）令 0y  2 ( 4) 2 4 0x a x a     ， ( 2)( 2) 0x x a    ， ∵ 0a  ， 2 1x x ， ∴ 1 2x  ， 2 2x a  ， ∵ 1 22 2 2( 2) 2 2( 0)y x x a a a         ． （ 3）根据图象 2a ≥ ， 28．在边长为1的正方形 ABCD中，点 P是边 BC上一点（点 P不与点 B，点C重合），点C关于直线 AP的 对称点为C． （1）如图1，如果C落在线段 AB的延长线上， ①求 BAP 的度数； ②求线段 BP的长度； （ 2）如图 2，设直线 AP与CC的交点为M ，求证： BM DM ． 【答案】（1）① 22.5BAP   ② 2 1BP   （ 2）见解析 【解析】（1）①∵四边形 ABCD是正方形， ∴ 1AB BC  ， 90ABC  ， 1 45 2 BAC BAD     ， 由对称的性质得： 1 22.5 2 BAP CAP BAC      ． ②由勾股定理得： 2 2 2AC AB BC   ， 由①得： AD是 BAC 的平分线， ∴ BP AB CP AC  即 1 1 2 BP BP   ， ∴ 2 1BP   ． （ 2）证明：∵ 90ABC AMC    ， ∴ B M C A、 、 、 四点共圆． ∴ 45AMD ACD    ． ∵ 90AMC ADC    ， ∴ A M C D、 、 、 四点共圆． ∴ 45AMD ACD    ∴ 90BMD  ． ∴ BM DM ． 29．若将一次函数 y kx b  的图象在直线 y m 上方的部分沿直线 y m 向 下翻折，图象的其余部分保持不变，则会得到一个新图象．我们 称这个新 图象为一次函数 y kx b  关于直线 y m 的“折向函数”的图象．例如，函数 y x 关于 x轴的折向函 数的图象如图1． （1）下列点中在函数 2 1y x   关于直线 2y  的折向函数的图象上的有__________； （ 2）已知点 P的坐标为 (2, 2) ，点Q的坐标为 2, 2 m      ，函数 1 3 2y x  ， ①若点 P在函数 1y 关于直线 y m 的折向函数的图象上，求m的值； ②若函数 1y 关于直线 y m 的折向函数的图象与线段 PQ有公共点，则m的取值范围是__________． 【答案】（1）A、C （ 2）① 1m  ② 321 17 m≤ ≤ 【解析】（1）A、C 2 1y x   关于 2x  的折向函数的解析式为 2 3y x   ． ∴将 A B C D、 、 、 代入两个解析式中只有 A C、 成立． （ 2）① (2, 2)P  在 1 3 2y x  的折向函数上， ∴ (2, 2)P  与 (0, 2) 对称． 则对称轴为 1x  ． ∴设 (1, )F y 在 1 3 2y x  上， ∴ (1,1)F ． ∵ F 也在 y m 上， ∴ 1m  ． ② y m ，则 3 2x m  ， 2 3 mx   ． 设 3y x b   代入 2, 3 mm       ， 2 3 3 m m b    ， 10 2 3 3 b m  ． ∴ 10 23 3 3 y x m    与线段 PQ有公共点， ∴代入 (2, 2)P  时， 10 22 6 3 3 m     ， ∴ 1m  ． 代入 2, 2 mQ      时， 10 26 2 3 3 m m    ， 32 17 m  ． ∴ 321 17 m≤ ≤ ．