中考数学专题复习练习：直线与圆的位置关系 7页

直线与圆的位置关系 直线和圆 的位置关系 O ‎ r ‎ d ‎ ‎ ‎ ‎ 相离 O ‎ r ‎ d ‎ O ‎ 相切 O ‎ r ‎ d ‎ O ‎ ‎ 相交 公共点的个数 ‎0个 ‎1个 ‎2个 圆心到直线的距离d与半径r的关系 ‎ ‎ 直线的名称 切线 割线 公共点名称 切点 交点 ‎ 在解决与圆有关的问题时，常常需要添加辅助线. （1）已知直线是圆的切点线时，通常需要连接圆心和切点，这条半径垂直于切线. (2) 要证明一条直线是圆的切线：①如果直线经过圆上某一点，则需要连接这点和圆心得到辅助线半径，在证明所作半径垂直于这条直线，（已知公共点，连半径证垂直）；②如果条件中直线与圆的公共点没有确定，那么应过圆心做直线的垂线，得垂线段，在证明这条垂线段的长等于半径. (未知公共点，作垂线证半径)‎ 切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.‎ 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等.这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角.‎ 三角形内切圆：与三角形各边都相切的圆.‎ 三角形的内心：三角形内切圆的圆心.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.三角形的内心是三角形三条 ‎ ‎ 内角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等.‎ 类型1. 判断直线与圆的位置关系 例1. 在中，∠C＝900，AC=‎3cm，BC=‎4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有什么样的位置关系？为什么？‎ ‎ （1）r=‎2cm; (2) r=‎2.4 cm （3）r=‎3cm.‎ O ‎ B ‎ A ‎ P ‎ 变式题：如图，已知：∠AOB＝300，P为OB上一点，且OP=‎5cm，以P为圆心，以r为半径的圆与直线OA有怎样的位置关系？为什么？(1)r=‎2 cm ;(2) r=‎4 cm ;(3)r=‎2.5 cm.‎ 例2. 如图，在∆ABC中，AD为BC上的高，且分别为AB、AC的中点，试问以EF为直径的圆与BC有怎样的位置关系？‎ 变式题：如图，正方形ABCD中，边长为1，以A点为圆心，1为半径的圆与直线BC的位置关系？以A为圆心，半径为多少时的圆与直线BD相切？‎ A ‎ B ‎ C ‎ D ‎ O ‎ 例3. 如图，点A是一个半径为‎300m的圆形森林公园的中心，在森林公园附件有B、C两个村庄，现要在B、C两个村庄之间修一条长为‎1000m的笔直公路将两村连同，经测得∠ABC＝450，∠ACB＝300,问此公路是否会穿过森林公园？请通过计算进行说明？‎ A ‎ B ‎ C ‎ 练习:‎ ‎1. 已知，如图，∆ABC内接于⊙O，AB是一条非直径的弦，∠CAD=∠B,试判断AD与⊙O的位置 关系，并说明理由.‎ A ‎ D ‎ C ‎ B ‎ O. ‎ ‎2. 如图，在∆AOC中，若OA=OB=，⊙O的半径，问：AB与⊙O相切、相交、相离时，∠AOB的取值范围.‎ O ‎ A ‎ B ‎ 类型2. 切线的判定 O ‎ O B ‎ O A ‎ O C ‎ O 例1. 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB,CA=CB，求证：直线AB是⊙O的切线.‎ 例2. 如图，已知：AB是⊙O的直径，∠B＝450，AC=AB，求证：AC是⊙O的切线.‎ A ‎ C ‎ B ‎ O ‎ ‎ ‎ 变式题：如图已知：线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，∠BAD＝∠B＝300,边BD交圆于D.‎ ‎ 求证：BD是⊙O的切线.‎ A ‎ O ‎ D ‎ B ‎ C ‎ 例3. 如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，点C在⊙O上，∠CAB＝300,‎ 求证：DC是⊙O的切线.‎ A ‎ C ‎ D ‎ O ‎ B ‎ 练习：‎ ‎1．已知：如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OC=BC,.‎ ‎ 若∠ACD＝450，OC=2，求弦CD的长.‎ O ‎ D ‎ C ‎ A ‎ B ‎ ‎2. 如图OA⊥OC，且交⊙O于点B，E为⊙O上的一点，AE交OC于点，且CE=CD，‎ C ‎ A ‎ O ‎ E ‎ B ‎ D ‎ ‎ 求证：CE是⊙O的切线.‎ 类型3. 切线的性质 例1. 如图，AB是⊙O的切线，A是切点，如果∠PAB＝300,那么∠AOB＝ .‎ 例2. 如图，AB是⊙O的直径,DC切⊙O于点E，连接CA,CB，如果AB=‎12cm，∠ACD＝300,那么AC= cm.‎ P ‎ B ‎ O ‎ A ‎ D ‎ A ‎ C ‎ B ‎ O ‎ P ‎ A ‎ O ‎ B ‎ C ‎ 例3. 已知：如图，AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，PA⊥AB，弦BC∥OP， 求证：PC是⊙O的切线. ‎ 练习：‎ ‎1. 如图,A是⊙O外一点，B是⊙O上一点，BO⊥AO，AB交⊙O于D，过点D的直线交AO于C.若CD=CA,求证：CD是⊙O的切线.‎ A ‎ C ‎ O ‎ D ‎ B ‎ ‎2. ⊙O的圆心到直线的距离为，⊙O的半径为R，当d、R是关于的方程的两根，直线与⊙O的位置关系是 ；若⊙O的圆心到直线的距离d与⊙O的半径R为关于的方程的根，且直线与⊙O相切，则m的值是 .‎ 类型4.切线长的利用 P ‎ F ‎ B ‎ O ‎ E ‎ A ‎ Q ‎ 例1. 已知：如图，PA、PB是⊙O的切线，切点是A、B，Q为弧AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=‎12 cm ,∠P＝700，（1）求∆PEF的周长；（2）求∠EOF的度数.‎ 变式题：如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A,B两点，连接OP，交⊙O于C，若PA=6,PC=‎ 求⊙O的半径OA及两切线PA,PB的夹角.‎ O ‎ B ‎ P ‎ A ‎ 例2. 如图，已知：在∆ABC中，∠B＝900，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交 ‎ A ‎ D ‎ E ‎ O ‎ B ‎ C ‎ ‎ 于点E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC.‎ ‎【拓展提升】‎ B ‎ E ‎ C ‎ D ‎ A ‎ F ‎ O. ‎ 例1. ∆ABC的内切圆的半径为r，∆ABC的周长为，求∆ABC的面积S.‎ ‎ ‎ B ‎ C ‎ A ‎ I. ‎ 变式题：如图，在∆ABC中，I是内心，∠BIC＝1100，求∠A.‎ 例2. 如图，等腰梯形ABCD的上底为4，下底为10，⊙O是该梯形的内切圆，与各边的切点分别为M、N、G、H，内切圆⊙O的半径为2，P为⊙O上的一点，EF是过P的⊙O的切线，分别交AB于E，BC于F，求∆BEF的周长.‎ B ‎ C ‎ A ‎ D ‎ N ‎ G ‎ H ‎ P ‎ F ‎ E ‎ ‎.O ‎ 例3. 小明按下面的方法作出了∠MON的平分线：‎ ‎① 方向延长射线OM ‎ ② 以点O为圆心，任意长为半径作圆，分别交∠MON的两边于点A、B，交射线OM的方向延长线于点C；‎ ‎③ 连接CB；‎ ‎④ 以O为顶点，OA为一边作∠AOP=∠OCB.‎ 作出的图形如下图所示.‎ ‎（1）射线OP是∠MON的平分线？说明理由.‎ A ‎ M ‎ N ‎ F ‎ P ‎ E ‎ O ‎ N ‎ B ‎ C ‎ ‎（2）若过点A作⊙O的切线交射线OP于点F，连接AB交OP于点E，当∠MON＝600、OF=10时，求AE的长.‎ 例4. 已知：如图，⊙O是的内切圆，∠C＝900.‎ ‎ （1）若AC＝‎12cm，BC=‎9cm,求⊙O的半径r；‎ A ‎ E ‎ D ‎ B ‎ F ‎ C ‎ ‎.O ‎ ‎ （2）若AC=b,BC=,AB=c,求⊙O的半径r.‎ 例5. 已知：如图，⊙O内切于等腰梯形ABCD，切点分别是E、H、F、G，AB∥DC,AD=BC.‎ ‎ (1) 求证：线段EF是⊙O的直径；‎ ‎ (2) 求证：∠AOD＝900；‎ ‎ （3）若AB=，DC=2b，求此梯形的面积S.‎ A ‎ BB ‎ C ‎ D ‎ E ‎ H ‎ G ‎ F ‎ O ‎ CF ‎ ‎ ⌒ ‎ BC ‎ ‎ ⌒ ‎ 例6. 已知：如图，AB是⊙O的直径，F、C是⊙O上两点，且 = ,过C点作DE⊥AF的延长线于E点，交AB的延长线于D点.‎ ‎ （1）试判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论;‎ ‎ （2）试判断∠BCD与∠BAC的大小关系，并证明你的结论.‎ D ‎ E ‎ CC ‎ B ‎ A ‎ F ‎ O ‎ 练习：‎ ‎1. 如图，两个圆的圆心都为O，大圆的弦AB、AC分别和小圆相切于点D和E.‎ A ‎ B ‎ C ‎ E ‎ D ‎ O . ‎ 求证：DE∥BC且.‎ ‎2. 已知∆ABC的内切与圆I分别切BC、CA、AB于点D、E、F.A ‎ B ‎ C ‎ F ‎ D ‎ E ‎ I . ‎ 求证：∠EDF＝（∠B+∠C）.‎ ‎3. 已知：如图，⊙O内切于，∠BOC＝1050，∠ACB＝900，AB=‎20cm.‎ A ‎ C ‎ B ‎ O ‎ ‎ 求：BC、AC.‎ ‎4. 如图，四边形ABCD外切于⊙O，切点分别是E、F、G、H点.‎ ‎ (1) 若AB＝‎6cm，DC=‎8cm，求AD+BC;‎ ‎ (2) 四边形ABCD的对边之和AB+CD与AD+BC之间有怎样的数量关系？并证明你的结论.‎ D ‎ A ‎ B ‎ C ‎ H ‎ F ‎ E ‎ G ‎ ‎. ‎ D ‎