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  • 2021-11-11 发布

中考数学专题复习练习:函数的图像经典例题

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例1 、在赵庄通向省城的公路上,甲乙二人同时向距赵庄60千米的省城进发.甲从距赵庄10千米处以15千米/小时的速度骑自行车,乙从甲前方30千米处以5千米/小时的速度步行.‎ (1) 分别求甲、乙二人与赵庄距离(千米)、(千米)和所用时间(小时)的函数关系式;‎ (2) 在同一坐标系下画出这两个函数的图象.这两个函数图象如果相交说明了什么?‎ 分析:甲距赵庄的距离=10+甲走的距离 ‎   即 ;‎ ‎ 同理 ‎ 解:(1)‎ ‎ ‎ ‎ (2)甲走完全程用时为;‎ ‎ 乙走完全程用时为.‎ ‎    又时间 ‎    所以的自变量的取值范围是 ‎    的自变量的取值范围是 列表如下:‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎10‎ ‎25‎ ‎40‎ ‎55‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎40‎ ‎45‎ ‎50‎ ‎55‎ ‎60‎ 根据表中数据作图.这两个函数的图象相交,说明甲、乙二人相遇,也就是甲从后面追上了乙.‎ 说明:(1)画函数图象时,应先确定函数的自变量取值范围;‎ ‎ (2)画函数图象时,要标明函数解析式.‎ 例 2、一函数的图象如下图,根据图象:‎ ‎ (1)确定自变量x的取值范围;‎ ‎ (2)求当时,y的值;‎ ‎(3)求当时,对应的x的值;‎ ‎(4)当x为何值时,函数值y最大?‎ ‎ (5)当x为何值时,函数值y最小?‎ ‎ (6)当y随x的增大而增大时,求相应的x值在什么范围内?‎ ‎ (7)当y随x的增大而减小时,求相应的x值在什么范围内?‎ 分析:函数图象上每一点的横坐标都是自变量x的一个值,自变量的取值范围就是图象上各点的横坐标的最小值到最大值,即图象上最左端点的横坐标到右端点的横坐标.函数y的最大值就是函数图象上最高点的纵坐标,函数的最小值就是函数图象上最低点的纵坐标.函数图象从左到右,自变量x的值不大增大,此时,如果图象自下而上,那么函数值y在减小.‎ 解: ‎ ‎(1)自变量x的取值范围是 ‎ (2)当时,y = 3.3, 当时,y = 2的值;‎ ‎(3)当时,与之对应的x的值是和4,当时,与之对应的x的值是;‎ ‎(4)当时,y的值最大,此时;‎ ‎ (5)当时,y的值最小,此时,;‎ ‎ (6)当y随x的增大而增大时,相应的x值在<内;‎ ‎ (7)当y随x的增大而减小时,求相应的x值在内?‎ 说明:(1)用图象法表示函数形象、直观,但不精细,因此,从图象上观察的数值往往是近似值,只有通过具体函数解析式的计算,才能得到精确值.‎ ‎(2)当函数图象从左下到右上呈“撇”状时,函数y随x的增大而增大;当函数图象从左上到右下呈“捺”状时,函数y随x的增大而减小.反之也对.‎ ‎(3)从函数图象求函数的某些值、研究函数y随自变量x的变化规律是数形结合思想的具体体现.‎ 例 3、若点在函数的图象上,且当时,.‎ (1) 求a、c的值;‎ (2) 如果点(-1,m)和点(n ,6)也在函数的图象上,求m ,n的值.‎ 解:(1)点在函数的图象上,‎ ‎ ‎ ‎ 又当时,,‎ ‎ ‎ ‎ 即 ‎ 解 得 ‎ ‎(2)‎ ‎ 函数为 ‎ 点和点在函数图象上 说明:应向学生强调:若点在图象上,则点的横坐标,纵坐标满足这个函数的解析式.‎ ‎ ‎ 典型例题四 例 (常州市,2000)小明的父亲饭后出去散步,从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看10分钟报纸后,用15分钟返回家里.图中表示小明的父亲离家的时间与距离之间的关系是( ).‎ 解 选D.‎ 说明:本题考查函数图象的应用,解题关键是正确理解函数图象与实际问题间的内在联系,易错点是误选C.‎ 典型例题五 例 已知函数与的图象的一个交点是,求其余交点的坐标.‎ 分析:函数图象的交点坐标满足两个函数的解析式,因此,可转化为方程组求解.‎ 解:点是函数与的图象交点,‎ ‎  ‎ ‎ 两个函数的解析式分别为与.‎ ‎     设图象的交点为 则 ‎     二式相减,得 ‎     ‎ ‎     分别将代入 ‎     得 ‎ ‎    另外两个交点是(0,0)和(-3,-18)‎ 说明:求函数图象交点问题,通常是转化为方程组求解.‎ 典型例题六 例 (吉林省试题,2002)一农民带了若干千克自产的土豆进城出售,为了方便,他带了一些零钱备用,按市场价售出一些后,又降价出售.售出土豆千克数与他手中持有的钱数(含备用零钱)的关系如图所示,结合图象回答下列题:‎ ‎(1)农民自带的零钱是多少?‎ ‎(2)降价前他每千克土豆出售的价格是多少?‎ ‎(3)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆出售完,这时他手中的钱(含备用零钱)是26元,问他一共带了多少千克土豆.‎ 解:(1)农民自带的零钱是5元.‎ ‎ (2)(20-5)÷30=0.5(元)‎ ‎ 降价前他每千克土豆卖0.5元.‎ ‎ (3)(26-20)÷0.4+30=45(千克)‎ ‎ 他一共带了45千克土豆.‎ 说明:本题考查学生的识图能力。能由所给出的函数图象回答问题。‎ 典型例题七 例 如图,是某个篮球运动员在五场比赛中的得分情况,依据图回答:‎ ‎ (1)该运动员第一场球得多少分;‎ ‎ (2)哪场球得分比前一场得分少?‎ ‎ (3)在五场比赛中最高得分是多少?最低得分是多少?‎ ‎ (4)从这五场比赛中的得分情况分析,该运动员的竞技状态怎么样?‎ ‎ 解:(1)这个运动员在第一场比赛中得21分.‎ ‎ (在场次栏中找到“1”,然后在得分栏中找到相应的得分)‎ ‎ (2)第二场球比第一场球得分少,竞技状态趋下.(图形向下)‎ ‎ (3)第五场比赛得分最高为36分,第一场比赛得分最低21分.‎ ‎ (4)从这五场的比赛得分情况看,该运动员目前的竞技状态是向前发展,其趋势是良好的.(从第二场球之后图形全部向上.)‎ 说明:本题考查学生的识图能力。能由所给出的函数图象回答所问的问题。‎ 典型例题八 例 已知点在函数的图象上,且当时,‎ ‎(1)求,的值;(2)如果点和点也在函数的图象上,求,的值.‎ 解:①点和点在函数的图象上 由方程组解出:,‎ 即 ‎(2)依题意,有 ‎(函数问题转化方程组问题)‎ 即,或,‎ 说明:本题利用方程组来解决函数问题.‎ 典型例题九 例 已知函数,求:‎ ‎(1)函数图象与轴、轴的交点坐标;‎ ‎(2)当取什么值时,函数值是正数、零、负数?‎ 解(1)函数图象与轴交点既在图象上,又在轴上 此交点的纵坐标为0,即 ‎(记住坐标轴上点的坐标的特征)‎ ‎,得 ‎(这是求与坐标轴相交点的方法)‎ 函数图象与轴交点坐标是 又函数图象与轴的交点在轴上:‎ 此交点的横坐标为0,即 ‎(这是求与坐标轴相交点的方法)‎ ‎ 得 函数图象与轴的交点是 ‎(2)由函数值大于0,即,从而,得;‎ ‎(转化不等式求解)‎ 选择题 ‎1. 如图分别给出了变量与之间的对应关系,不符合函数定义的是().‎ ‎2. 点,,,中,在函数的图象上的点有().‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎3. 函数的图象过四个点,,,中的()‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎4.下列各点不在函数的图象上的是()‎ A. B. C. D.‎ ‎5. 直线与的交点在()‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎6.下列各点在的图象上的是()‎ A. B. C. D.‎ ‎7. 函数与的图象交于点,则点的坐标是()‎ A. B. C. D.‎ 答案:‎ ‎1. D 2. B 3. B 4. D 5. B 6. C 7. D.‎ 由函数值等于0,即,从而,得;‎ ‎(转化方程求解)‎ 由函数值小于0,即,从而,得 综上,当时,;当时,;当时,.‎ 说明:本题考查函数图象与坐标轴的交点问题,此类问题通常是转化为方程来解。‎ 填空题 ‎1.长方形面积为,则它的宽与之间的函数关系式是________,自变量的取值范围是__________. 2. 函数的自变量的取值范围是________.‎ ‎3. 函数的自变量的取值范围是________.‎ ‎4. 函数,当时,函数的值是_________;当函数时,自变量的值是_________.‎ ‎5. 已知、满足等式,那么.‎ ‎6. 在匀速直线运动中,当路程一定时,用时间来表示速度的函数式是_________.‎ 答案:‎ ‎1. , 2. 3. 4. ;2 5. 6. .‎ 解答题 ‎1. 画出下列函数图象 ‎(1) (2‎ ‎2. 分别在同一坐标系内画出各组函数的图象,并观察每组图象之间的关系和区别.‎ ‎(1)‎ ‎(2)‎ ‎(3)‎ ‎3.取何值时,下列函数有意义:‎ ‎(1);(2);(3);‎ ‎(4);(5)‎ ‎4.一根弹簧的长度是,它能挂的重量不能超过,并且每挂重物就伸长,写出挂重物后的弹簧长度与所挂重物之间的函数关系式。‎ ‎5.已知,求当,时,函数的值分别是_________‎ ‎6.求出函数图象上和函数图象上横坐标为和0的坐标。‎ ‎7.已知函数 ‎(1)画出这个函数的图象;‎ ‎(2)写出相应的函数与x轴交点坐标,与y轴的交点坐标;‎ ‎(3)判断点是否在这个函数的图象上,如果在将它画在图象上.‎ 答案:‎ ‎1.略 2. 略 3.(1)的取值范围是全体实数(2)的一切实数 ‎(3)的全体实数(4)且的全体实数 ‎(5)的全体实数 ‎4.‎ ‎5.,‎ ‎6.,,‎ ‎7.(1)略 (2)(2,0),(0,4) (3)P、Q均在图象上.‎ ‎                                ‎ ‎2003年中考类型题 ‎1. ‎ 甲、乙两同学约定游泳比赛规则:甲先游自由泳到泳道中点后改为蛙泳,而乙则是先游蛙泳到泳道中点后改为自由泳,两人同时从泳道起点出发,最后两人同时游到泳道终点。又知甲游自由泳比乙游自由泳速度快,并且二人自由泳均比蛙泳速度快,若某人离开泳道起点的距离s与所用时间t的函数关系可用图象表示,则下列选项中正确的是( )‎ ‎ A. 甲是图<1>,乙是图<2> B. 甲是图<3>,乙是图<2>‎ ‎ C. 甲是图<1>,乙是图<4> D. 甲是图<3>,乙是图<4>‎ ‎2.一天,小军和爸爸去登山,已知山脚到山顶的路程为300米,小军先走了一段路程,爸爸才开始出发,图中两条线段分别表示小军和爸爸离开山脚登山的路程s(米)与登山所用的时间t(分钟)的关系(从爸爸开始登山时计时)。根据图象,下列说法错误的是( )‎ A.爸爸开始登山时,小军已走了50米 B.爸爸走了5分钟,小军仍在爸爸的前面 C.小军比爸爸晚到山顶 D.爸爸前10分钟登山的速度比小军慢,10分钟之后登山的速度比小军快 ‎ ‎ s(米)‎ ‎ ‎ ‎300‎ ‎50‎ O 10 t(分钟)‎ ‎3.甲乙二人参加某体育项目训练,为了便于研究,把最近五次训练成绩分别用实线和虚线连结,如图所示,下面的错误的是 A.乙的第二次成绩与第五次成绩相同 B.第三次测试甲的成绩与乙的成绩相同 C.第四次测试甲的成绩比乙的成绩多2分 D.五次测试甲的成绩都比乙的成绩高 ‎4.一天,亮亮发烧了,早晨他烧得很厉害,吃过药后感觉好多了,中午时亮亮的体温基本正常,但是下午他的体温又开始上升,直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫了。下面各图能基本上反映出亮亮这一天(0时~24时)体温的变化情况是(  )‎ ‎5.某游客为爬上3千米高的山顶看日出。先用1小时爬了2千米,休息0.5小时后,再用1小时爬上山顶。游客爬山所用时间t与山高h间的函数关系用图形表示是 小时 小时 小时 小时 ‎  (A)        (B)      (C)        (D)‎ ‎6. 一慢车和一快车沿相同路线从A地到B地,所行的路程与时间的函数图象如图所示.试根据图象,回答下列问题:‎ (1) 慢车比快车早出发______小时,快车追上慢车时行驶了______千米,快车比慢车早________小时到达B地;‎ (2) 在下列3个问题中任选一题求解(多做不加分).‎ ‎①快车追上慢车需几个小时?‎ ‎②求慢车、快车的速度.‎ ‎③求A、B两地之间的路程.‎ ‎7.阅读下列材料:“父亲和儿子同时出去晨练。如图,实线表示父亲离家的路程(米)与时间(分钟)的函数图象;虚线表示儿子离家的路程(米)与时间(分钟)的图象。由图象可知,他们在出发10分钟时相遇一次,此时离家400米;晨练了30分钟,他们同时到家。”‎ ‎ 根据阅读材料给你的启示,利用指定的直角坐标系(如图)或用其他方法解答问题:‎ 一巡逻艇和一货轮同时从A港口前往相距100千米的B港口,巡逻艇和货轮的速度分别为100千米/时和20千米/时,巡逻艇不停的往返于A、B两港口巡逻(巡逻艇调头的时间忽略不计)。‎ ‎(1)货轮从A港口出发以后直到B港口与巡逻艇一共相遇了几次?‎ ‎(2)出发多少时间巡逻艇与货轮第三次相遇?此时离A港口多少千米?‎ 参考答案:‎ ‎1.C 2. D 3. D 4. C 5. D 6. (1) 2 ;276;4;(2)① 4小时;② 46千米/小时、69千米/小时;③ 828千米。7. 略