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- 2021-11-11 发布
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典型例题一
例01.如图,已知:在中,,,BD平分交AC于D.
求证:D在AB的垂直平分线上.
分析:根据线段垂直平分线的逆定理,欲证D在AB的垂直平分线上,只需证明即可.
证明:∵,(已知),
∴ (的两个锐角互余)
又∵BD平分(已知)
∴ .
∴(等角对等边)
∴D在AB的垂直平分线上(和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).
典型例题二
例02.如图,已知:在中,,,AB的垂直平分线交AB于E,交BC于F.
求证:.
分析:由于,,可得,又因为EF垂直平分AB,连结AF,可得. 要证,只需证,即证就可以了.
证明:连结AF,
∵EF垂直平分AB(已知)
∴(线段垂直平分线上的点和这条线段两端点的距离相等)
∴(等边对等角)
∵(已知),
∴(等边对等角)
又∵(已知),
∴(三角形内角和定理)
∴
∴
∴(直角三角形中,角所对的直角边等于斜边的一半)
∴
说明:线段的垂直平分线的定理与逆定理都由三角形的全等证得,初学者往往不习惯直接使用绝无仅有垂直平分线的定理与逆定理,容易舍近求远,由三角形全等来证题.
典型例题三
例03.如图,已知:AD平分,EF垂直平分AD,交BC延长线于F,连结AF.
求证:.
分析:与不在同一个三角形中,又,所在的两个三角形不全等,所以欲证,不能利用等腰三角形或全等三角形的性质. 那么注意到EF垂直平分AD,可得,因此,又因为,,而,所以可证明.
证明:∵EF垂直平分AD(已知),
∴(线段垂直平分线上的点和这条线段的两端点的距离相等).
∴(等边对等角)
∵(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),
,
又(角平分线定义),
∴
说明:运用线段的垂直平分线的定理或逆定理,能使问题简化,如本例题中,EF垂直平分AD,可以直接有结论,不必再去证明两个三角形全等.
典型例题四
例04.如图,已知直线和点A,点B,在直线上求作一点P,使.
分析:假设P点已经作出,则由,那么根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”可知,点P在线段AB的垂直平分线上. 而点P又在直线上,则点P应是AB的垂直平分线与垂线的交点.
作法:1.连结AB.
2.作线段AB的垂直平分线,交直线于点P.
则P即为所求的点.
说明:在求作一个点时,要考虑该点具备什么样的特点,如它到一条线段的两个端点距离相等,它就在连结这两点的线段的垂直平分线上,如果它到一个角的两边的距离相等,它就在这个角的平分线上.
典型例题五
例05.如图所示,在,,DE垂直平分AB,交AB于E,交BC于D,,求的度数.
分析:由于DE垂直平分AB,所以,又为直角三角形,由直角三角形中两锐角互余,即可求出的度数.
解答:∵DE垂直平分AB,
∴
∴ ,
在中,,
∴ ,
而,
,,
∴,
∴,∴
答:的度数为.
典型例题六
例06.求证:三角形两边中垂线的交点在第三边的中垂线上.
分析:文字题应先根据题意画出图形,并根据图形写出已知、求证.
已知:中,(如图),EF、MN分别为AB、BC边的中垂线且交于O.
求证:点O在AC的中垂线上.
证明:连结OA、OB、OC
∵ EF为AB的中垂线
∴
同理得: ∴
∴点O在AC的中垂线上
典型例题七
例07.如图所示,,.
求证:.
分析:要证,只需证直线AB是线段CD的垂直平分线即可.
证明:连结CD,延长AB交CD于E.
∵ ,
∴ 为等腰三角形,
∵ ,
∴ ,
∴ BE是等腰的角平分线,
∴BE垂直平分CD(等腰三角形顶角平分线平分且垂直底边),
∴直线AE是线段CD的垂直平分线,
又∵点A在直线AE上,
∴(线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等)
说明 本例也可以通过证明,得出,利用线段垂直平分线的性质定理和逆定理为我们证明线段(或角)相等又提供了一个新的方法.
典型例题八
例08.如图所示:已知内有两点A、B,在内部找到一点D,使得D点到A、B两点的距离相等,并且点D到的两边也相等.
分析:欲使点D到A、B两点的距离相等,由线段的垂直平分线的判定定理可知,点D一定在AB的垂直平分线上;D点又要满足到的两边距离相等,由平分线的判定定理可知点D一定在的平分线上,综合以上两点,可以推知点D是线段AB的垂直平分线与的平分线的交点,因此可以据此找到D点.
作法:(1)连结AB,作AB的垂直平分线MN.
(2)作的角平分线OP,与MN相交于一点D.
则D点就是满足要求的点.
选择题
1.选择题
(1)如图,已知:,那么( )
(A)CD垂直平分AB (B)AB垂直平分CD
(C)CD与AB互相垂直平分 (D)以上说法都正确
(2)如果三角形三边的垂直平分线的交点正好在三角形的一条边上,那么这个三角形是( )
(A)直角三角形 (B)锐角三角形
(C)钝角三角形 (D)以上都有可能
参考答案:
1.选择题
(1)B (2)A
填空题
1.填空题
(1)和线段两个端点距离相等的点的集合是________.
(2)在中,,AD为角平分线,则有AD______BC(填或),_____. 如果E为AD上的一点,那么_______. 如果,,那么点D到AD的距离是______.
(3)已知:在中,,,DE垂直平分AB,且交CA的延长线于D,则的度数为_______.
(4)在等腰三角形ABC中,,腰AB的垂直平分线交另一腰AC于D,若的周长为,则底边BC的长为______.
(5)如图,在中,,BC的垂直平分线交AB于D,垂足为E.
①若,则______,________.
②若,,则的周长为______.
(6)如图,在中,,AB的垂直平分线交AB于D,交AC于E,,的周长为12,则_____.
(7)如图,在中,,,DE是AB的垂直平分线,则_______.
(8)如图,在中,AC的垂直平分线交AC于E,交BC于D,的周长为,,则的周长为_______.
(9)如图,已知在直角三角形ABC中,,,DE垂直平分AB
,交BC于E,,则______.
(10)在中,,,AC的垂直平分线交BC于D,交AC于E,若,则BC的长度为______.
参考答案:
1.填空题
(1)线段的垂直平分线 (2),CD,EC,2 (3) (4)
(5)①, ②15 (6)4 (7) (8)17 (9) (10)30
解答题
1.作图题
(1)已知:如图,B为的边OB上的一点,
求作:点P,使P点到OA和OB的距离相等,并且有.
(2)已知不在同一直线上的三点A、B、C,求作一点P,使.
参考答案:
1.作图题
(1)作法:①画出的平分线OC,
②作出OB的垂直平分线MN,则OC与MN的交点即为所要求的点P.
(2)①作线段AB的垂直平分线MN,
②作线段BC的垂直平分线CD. 则AB与CD的交点即为所要求的点P.
解答题
1.计算题
(1)如图,已知:在直角三角形ABC中,,E为AB的中点,且交BC于D,连结AD,若,求:和的度数.
(2)如图,已知:在中,,BC边上的垂直平分线交AC于D,交BC于E. BD分为两部分,若. 求的度数.
(3)如图,已知:在中,,MP和NQ分别是AB和AC的垂直平分线,求的大小.
参考答案:
1.计算题
(1)解:E为AB中点,且,∴DE为AB的垂直平分线,
∴,∴. 又,∴,
∵,∴,
即,求得,∴.
(2)解:DE为BC的垂直平分线,∴,
又∵,∴.
∵,∴,
即,求得.
(3)解:PM与QN为AB与AC的垂直平分线,
∴. ∴,.
又∵ ,
∴
解答题
1.证明题
(1)如图,已知:,DE是AB的垂直平分线,D为垂足,交BC于E,. 求证:.
(2)如图,已知:线段CD垂直平分AB,AB平分. 求证:.
(3)如图,已知:AD是的高,E为AD上一点,且.
求证:是等腰三角形.
(4)如图,已知:在中,,DE垂直平分线AC交AB于D,交AC于E. 求证:.
(5)如图,已知:E是的平分线上的一点,,,垂足分别是C、D. 求证:OE垂直平分CD.
(6)如图,已知:在中,AB、BC边上的垂直平分线相交于点P.
求证:点P在AC的垂直平分线上.
(7)如图,已知:AD是的的平分线,AD的垂直平分线EF,交BC的延长线于F,交AD于E,求证:.
(8)如图,已知:在中,的平分线交BC于D,且,,垂足分别是E、F. 求证:AD是EF的垂直平分线.
(9)如图,已知:,,,,. 求证:.
参考答案
1.证明题
(1)证明:连结AE,由于,,∴,,∵DE是AB的垂直平分线,∴,∴,∴,即AE是的角平分线,∴.
(2)证明:∵CD是AB的垂直平分线,∴,∴,又∵,∴,∴.
(3)证明:∵,∴AD是BC的垂直平分线,∴,∴是等腰三角形.
(4)证明:DE垂直平分AC,∴,∴,∵,又有,∴,∴.
(5)证明:OE是的平分线,∴,∴,∴,∴O与E都在CD的垂直平分线上,∴OE垂直平分CD.
(6)证明:P是AB、BC边上的垂直平分线,∴,∴,∴P点在AC的垂直平分线上.
(7)证明:EF垂直平分AD,∴,∴.
∴
(8)证明:∵AD是的平分线,且,,∴,∴易证,∴,∴A与D都在EF的垂直平分线上,∴AD就是EF的垂直平分线.
(9)证明:,且,∴. 又∵,∴,∴,∴AC为DM的垂直平分线,∴,∴.
能力训练
1、若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上,则这个三角形是( )
A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、不能确定
答:C 提示:此交点恰好为斜边的中点
2、如图,∠BAC=,若MP、NQ分别垂直平分AB、AC,则∠PAQ的度数____
A
B
C
M
N
P
Q
提示:利用三角形内角和求得∠B+∠C=,
再转化为∠BAP+∠CAQ=
A
B
C
D
E
3、如图,△ABC中,AC的垂直平分线交AC于E,交BC于D,△ABD的周长为12,AC=5,则△ABC的周长=____
提示:把DC转化为AD,利用△ABD的周长. 答:17
4、如图,△ABC中∠A=,∠C=,AC=12,DE垂直平分BC,
则BE=___
答:24
A
B
C
P
M
N
5、如图,已知:△ABC中,AB、BC边上的垂直平分线相交于点P.
求证:点P在AC的垂直平分线上
证明:连结PA、PB、PC
∵PM垂直平分AB,PN垂直平分BC
∴PA=PB,PB=PC
∴PA=PC
∴点P在AC的垂直平分线上
C
D
A
B
E
F
6、如图,△ABC中,AD为∠A的平分线,FE垂直平分AD,E为垂足,交BC的延长线于F.
求证:∠B=∠CAF
证明:
∵EF垂直平分AD
∴∠ADF=∠DAF,∠ADF=∠B+∠BAD
∵∠BAD=∠CAD,
∴∠ADC=∠B+∠CAD ,
又∵∠DAF=∠CAD+∠CAF
∴∠B=∠CAF