中考数学专题复习练习：切线长定理 9页

例 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于C．图中互相垂直的线段有 （只要写出三对线段）．‎ 说明：目的是对切线长定理的基本图形的研究．‎ 答案：OA⊥AP、OB⊥BP、AB⊥PE ‎ 例 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，⊙O内切Rt△ABC的三边AB、BC、CA于D、E、F，半径r=2．求△ABC的周长．‎ 解：设AF=x，∵⊙O内切Rt△ABC，‎ ‎∴AC=x+2，AB=x+3．‎ 由勾股定理，得：，‎ 解方程，得x=10．‎ 则Rt△ABC的周长c=AB+BC+CA=13+5+12=30．‎ 说明：利用代数方法解决几何问题，培养学生的综合应用知识能力．‎ 例 （上海市，2001）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE=DC，以D为圆心，DB为半径作⊙D．‎ 求证：（1）AC是⊙D的切线；‎ ‎（2）AB+EB=AC．‎ 证明：（1）过D作DF⊥AC，F为垂足．‎ ‎∵AD是∠BAC的平分线，DB⊥AB，‎ ‎∴DB=DF．‎ ‎∴点D到AC的距离等于圆D的半径，‎ ‎∴AC是⊙D的切线．‎ ‎（2）∵AB⊥BD，⊙D的半径等BD，‎ ‎∴AB是⊙D的切线．∴AB=AF．‎ ‎∵在Rt△BED和Rt△FCD中，ED=CD，BD=FD，‎ ‎∴Rt△BED≌Rt△FCD，∴BE=FC，∴AB+BE=AF+FC=AC．‎ 说明：（1）此题为中档题目，切线长定理的应用；（2）有圆的两切线时，常有以下几种引辅助线的方法：‎ ‎ ①连结圆和两条切线的公共点；‎ ‎ ②连结两个切点；‎ ‎ ③连过切点的半径．‎ 例 已知：Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于D，过D作⊙O的切线DE，交BC于E，求证：BE=CE． ‎ 分析：由AB为直径知BD⊥AC，故要证BE=CE，要需证DE为斜边中线即可．‎ 证明：连结BD ‎ ∵AB为⊙O的直径，‎ ‎ ∴BD⊥AC，‎ ‎ ∴∠2+∠3=∠1+∠C=90°，‎ ‎ ∵BC⊥AB，AB为⊙O的直径，‎ ‎ ∴BC为⊙O的切线 ‎ ∵DE为⊙O的切线，∴DE= BE ‎∴∠1=∠2‎ ‎ ∴∠3=∠C，∴DE= CE ‎ ∴BE=CE．‎ 说明：（同上）此题为连两切点．‎ 典型例题五 例 已知：如图，是⊙的直线，一条直线与⊙交于、两点，过点、分别作直线的垂线，垂足是、，交⊙于 ‎（1）证明：； ‎ ‎（2）设，，，证明：、是方程的两个实根；‎ ‎（3）若（2）中的方程满足，判断直线与⊙的位置关系.‎ 证明 （1）过点作，垂足为，由垂径定理，得.‎ 又 又是的中点，即，‎ 又是⊙的直径，‎ 又四边形是圆内接四边形，‎ ‎，∽.‎ 即 ‎（2）连结，则四边形是矩形，‎ ‎，‎ ‎.‎ 又四边形是矩形，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 又，‎ ‎∽，有，‎ ‎、是方程的两实根.‎ ‎（3）若（2）中的方程满足，则方程有两个相等的实根.‎ 即，‎ 又，、重合 说明直线和⊙有一个公共点，‎ 与⊙相切 说明：本题是一道综合性很强的题目，又涉及到代数中的一元二次方程，而且一题多问，一环扣一环.请同学们在解题时一定要理清思想.不妨把本题所涉及到的知识点进行归纳、总结，提高综合利用能力.‎ 典型例题六 例 如图，切⊙O于，⊙O的半径是，求的长.‎ 解 连结OA、OB.‎ ‎∵切⊙O于，∴‎ 又是等边三角形.‎ ‎∵OP平分，‎ ‎∴OP是AB的垂直平分线，垂足是C.‎ 在Rt中，.‎ ‎∴‎ 由勾股定理，得 在Rt中，‎ 说明：本题考查切线长定理的运用，解题关键是连过切点的半径，易错点是计算失误.‎ 典型例题七 例 如图，已知：⊙O与的三边AB、AC、BC分别相切于E、F、D.若，求：AF、CF、BD的长.‎ 解 设 ‎∵AB、AC、BC分别与⊙O相切于E、F、D，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 由（1）＋（2）＋3（3），得（4）‎ ‎（4）－（1）得 ‎ ‎（4）－（2）得 ‎ ‎（4）－（3）得 ‎ ‎∴‎ 说明：本题考查切线长定理的应用，解题关键是根据切线长定理列出方程组，易错点是解方程组出错或列不出方程组.‎ 典型例题八 例 （青岛市，2000） 已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，B为切点，OC平行于弦AD，连结CD.（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）过D点作于E，交A与C的连线于P.求证：P点平分线段DE.‎ 证明 （1）连结OD.‎ ‎∵OB是⊙O的半径，BC是⊙O的切线，‎ 是⊙O的切线.‎ ‎（2）过A作⊙O的切线AF，交CD的延长线于F，则.‎ 在中，即 ‎∵ 是⊙的切线，∴‎ 在中，‎ 是⊙O的切线，∴‎ ‎∴∴P点平分线段DE.‎ 说明：本题主要考查切线长定理的应用，解题关键是作辅助线，易错点是忽视平行线分线段成比例定理的应用而使思路受阻.‎ 典型例题九 例 如图，已知直角梯形ABCD中，，以AB为直径的⊙O 与CD相切于P，若求证：（1）的长是方程的二根；（2）‎ 证明 （1）连∵AB是直径，∴‎ ‎∽‎ 的长是的二根.‎ ‎（2）连结OP，则，‎ 又为AB的中点，∴OP是梯形的中位线.‎ ‎∴方程有两个相等的实数根.‎ 说明：本题考查切线的性质与一元二次方程根的综合运用.解题关键是作出正确的辅助线.‎ 选择题 ‎1.，是⊙的切线，切点是，，则（）‎ A．不一定垂直 B．不一定平分 C．一定垂直平分 D．以上结论都不对 ‎2. 从圆外一点向半径为的圆上引两条切线，其切线长为，则两切线所夹的锐角是（）‎ A． B． C． D．以上都不对 ‎3. 如图，，，，都为⊙的切线，则为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.如图，，是⊙的两条切线，，为切点，直线交⊙于，，交于，为⊙直径，下列结论：①，②；③，其中正确结论的个数有（）‎ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 ‎5.如图，过⊙外一点作⊙的两条切线，，切点分别为，，连，在，，上分别取一点，，，使，，连结，，，则等于（）‎ A． B．‎ C． D．‎ 答案：1.C 2. B 3. D 4. A 5. B.‎ 填空题 ‎1. 如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点．∠APB=80°，那么弦AB所对的圆周角的度数为 ．‎ ‎2. 若直角三角形斜边长为10cm，其内切圆的半径为2cm，则它的 周长为 ．‎ ‎3. 若圆外切等腰梯形的中位线的长为10cm，则这个等腰梯形的周长为 ．‎ ‎4. 在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的半圆切CD于点M，若这个梯形的面积是10cm2，周长是14cm，则半圆O的半径等于 ．‎ ‎5. 如图，AB、BD、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，又BO=6cm，CO=8cm，则BC= ，BF= ，⊙O的半径r= ．‎ 参考答案：‎ ‎1. 50°、130° 2. 24cm 3. 20cm ‎4.2cm 5. 10cm 18/5cm 24/5cm.‎ 解答题 ‎1.已知：如图，AB是⊙O的直径，AB⊥BC，AD∥BC ，CD切⊙O于E，AC、BD交于F点．‎ 求证：EF∥AD．‎ ‎2.如图，正方形ABCD的边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，再过A点作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点．求：△ADE的面积．‎ ‎3．如图，是⊙外一点，切⊙于，切⊙于，是直径，求证：。‎ ‎4．如图，已知为⊙外一点，，分别切⊙于，两点，与相交于点，为上一点。求证：.‎ ‎5．如图，已知：为⊙直径，，都是⊙的切线，切⊙于，，分别交，于，.求证：.‎ 参考答案：‎ ‎1. 提示：由AD∥BC，得AF:FC=AD:BC；易证AD、BC都为⊙O的切线，∴AD=DE，BC=EC．∴AF:FC= DE: EC ∴EF∥AD．‎ ‎2. 解：设DE=x，则CE=4-x，‎ 由CD、AE、AB都与⊙O 相切，‎ ‎∴CE=EF=4-x，AF=AB=4，‎ 在Rt△AED中， 即 解得x＝3，‎ 所以（cm2）‎ ‎3. 连交于,则.‎ ‎4. 连∽.‎ ‎5.略.‎