人教版九年级数学上册教案：24_2 直线和圆的位置关系（2） 6页

1 3.5.2 直线和圆的位置关系(2) 教学目标 (一)教学知识点 1．能判定一条直线是否为圆的切线． 2．会过圆上一点画圆的切线． 3．会作三角形的内切圆． (二)能力训练要求 1．通过判定一条直线是否为圆的切线，训练学生的推理判断能力． 2．会过圆上一点画圆的切线，训练学生的作图能力． (三)情感与价值观要求 经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步演绎推理能 力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点． 经历探究圆与直线的位置关系的过程，掌握图形的基础知识和基本技能，并能解决简 单的问题． 教学重点 探索圆的切线的判定方法，并能运用． 作三角形内切圆的方法． 教学难点 探索圆的切线的判定方法． 教学方法 师生共同探索法． 教具准备 投影片三张 第一张：(记作§3．5．2A) 第二张：(记作§3．5．2B) 第三张：(记作§3．5．2C) 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 2 [师]上节课我们学习了直线和圆的位置关系，圆的切线的性质，懂得了直线和圆有三 种位置关系：相离、相切、相交．判断直线和圆属于哪一种位置关系，可以从公共点的个数 和圆心到直线的距离与半径作比较两种方法进行判断，还掌握了圆的切线的性质、圆的切线 垂直于过切点的直径． 由上可知，判断直线和圆相切的方法有两种，是否仅此两种呢？本节课我们就继续探 索切线的判定条件． Ⅱ．新课讲解 1．探索切线的判定条件 投影片(§3．5．2A) 如下图，AB 是⊙O 的直径，直线 l 经过点 A，l 与 AB 的夹角∠α ，当 l 绕点 A 旋转时， (1)随着∠α 的变化，点 O 到 l 的距离 d 如何变化？直线 l 与⊙O 的位置关系如何变化？ (2)当∠α 等于多少度时，点 O 到 l 的距离 d 等于半径 r？此时，直线 l 与⊙O 有怎样 的位置关系？为什么？ [师]大家可以先画一个圆，并画出直径 AB，拿直尺当直线，让直尺绕着点 A 移动．观 察∠α 发生变化时，点 O 到 l 的距离 d 如何变化，然后互相交流意见． [生](1)如上图，直线 l1 与 AB 的夹角为α ，点 O 到 l 的距离为 d1，d1＜r，这时直线 l1 与⊙O 的位置关系是相交；当把直线 l1 沿顺时针方向旋转到 l 位置时，∠α 由锐角变为直角， 点 O 到 l 的距离为 d，d＝r，这时直线 l 与⊙O 的位置关系是相切；当把直线 l 再继续旋转 到 l2 位置时，∠α 由直角变为钝角，点 O 到 l 的距离为 d2，d2＜r，这时直线 l 与⊙O 的位 置关系是相离． [师]回答得非常精彩．通过旋转可知，随着∠α 由小变大，点 O 到 l 的距离 d 也由小 变大，当∠α ＝90°时，d 达到最大．此时 d＝r；之后当∠α 继续增大时，d 逐渐变小．第 (2)题就解决了． [生](2)当∠α ＝90°时，点 O 到 l 的距离 d 等于半径．此时，直线 l 与⊙O 的位置关 系是相切，因为从上一节课可知，当圆心 O 到直线 l 的距离 d＝r 时，直线与⊙O 相切． 3 [师]从上面的分析中可知，当直线 l 与直径之间满足什么关系时，直线 l 就是⊙O 的切 线？请大家互相交流． [生]直线 l 垂直于直径 AB，并经过直径的一端 A 点． [师]很好．这就得出了判定圆的切线的又一种方法：经过直径的一端，并且垂直于这 条直径的直线是圆的切线． 2．做一做 已知⊙O 上有一点 A，过 A 作出⊙O 的切线． 分析：根据刚讨论过的圆的切线的第三个判定条件可知：经过直径的一端，并且垂直 于直径的直线是圆的切线，而现在已知圆心 O 和圆上一点 A，那么过 A 点的直径就可以作出 来，再作直径的垂线即可，请大家自己动手． [生]如下图． (1)连接 OA． (2)过点 A 作 OA 的垂线 l，l 即为所求的切线． 3．如何作三角形的内切圆． 投影片(§3．5．2B) 如下图，从一块三角形材料中，能否剪下一个圆使其与各边都相切． 分析：假设符号条件的圆已作出，则它的圆心到三角形三边的距离相等．因此，圆心 在这个三角形三个角的平分线上，半径为圆心到三边的距离． 解：(1)作∠B、∠C 的平分线 BE 和 CF，交点为 I(如下图)． (2)过 I 作 ID⊥BC，垂足为 D． (3)以 I 为圆心，以 ID 为半径作⊙I． 4 ⊙I 就是所求的圆． [师]由例题可知，BE 和 CF 只有一个交点 I，并且 I 到△ABC 三边的距离相等，为什么？ [生]∵I 在∠B 的角平分线 BE 上，∴ID＝IM，又∵I 在∠C 的平分线 CF 上，∴ID＝IN， ∴ID＝IM＝IN．这是根据角平分线的性质定理得出的． [师]因此和三角形三边都相切的圆可以作出一个，因为三角形三个内角的平分线交于 一点，这点为圆心，这点到三角形三边的距离相等，这个距离为半径，圆心和半径都确定的 圆只有一个．并且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆(inscribed circle of triangle)，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心(incenter)． 4．例题讲解 投影片(§3．5C) 如下图，AB 是⊙O 的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB． 求证：AT 是⊙O 的切线． 分析：AT 经过直径的一端，因此只要证 AT 垂直于 AB 即可，而由已知条件可知 AT＝AB， 所以∠ABT＝∠ATB，又由∠ABT＝45°，所以∠ATB＝45°． 由三角形内角和可证∠TAB＝90°，即 AT⊥AB． 请大家自己写步骤． [生]证明：∵AB＝AT，∠ABT＝45°． ∴∠ATB＝∠ABT＝45°． ∴∠TAB＝180°－∠ABT－∠ATB＝90°． ∴AT⊥AB，即 AT 是⊙O 的切线． Ⅲ．课堂练习 随堂练习 Ⅳ．课时小结 本节课学习了以下内容： 1．探索切线的判定条件． 5 2．会经过圆上一点作圆的切线． 3．会作三角形的内切圆． 4．了解三角形的内切圆，三角形的内心概念． Ⅴ．课后作业 习题 3．8 Ⅵ．活动与探究 已知 AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为 B，OC 平行于弦 AD． 求证：DC 是⊙O 的切线． 分析：要证 DC 是⊙O 的切线，需证 DC 垂直于过切点的直径或半径，因此要作辅助线半 径 OD，利用平行关系推出∠3＝∠4，又因为 OD＝OB，OC 为公共边，因此△CDO≌△CBO，所 以∠ODC＝∠OBC＝90°． 证明：连结 OD． ∵OA＝OD，∴∠1＝∠2， ∵AD∥OC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． ∴∠3＝∠4． ∵OD＝OB，OC＝OC， ∴△ODC≌△OBC． ∴∠ODC＝∠OBC． ∵BC 是⊙O 的切线， ∴∠OBC＝90°． ∴∠ODC＝90°． ∴DC 是⊙O 的切线． 板书设计 §3．5．2 直线和圆的位置关系(二) 6 一、1．探索切线的判定条件 2．做一做 3．如何作三角形的内切圆 4．例题讲解 二、课堂练习 三、课时小结 四、课后作业