人教版九年级数学上册教案：23_2 中心对称（3） 5页

1 23.2 中心对称(3) 第三课时 教学内容 1．中心对称图形的概念． 2．对称中心的概念及其它们的运用． 教学目标 了解中心对称图形的概念及中心对称图形的对称中心的概念，掌握这两个概念的应用． 复习两个图形关于中心对称的有关概念，利用这个所学知识探索一个图形是中心对称图 形的有关概念及其它的运用． 重难点、关键 1．重点：中心对称图形的有关概念及其它们的运用． 2．难点与关键：区别关于中心对称的两个图形和中心对称图形． 教具、学具准备 小黑板、三角形 教学过程 一、复习引入 1．（老师口问）口答：关于中心对称的两个图形具有什么性质？ （老师口述）：关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对 称中心所平分． 关于中心对称的两个图形是全等图形． 2．（学生活动）作图题． （1）作出线段 AO 关于 O 点的对称图形，如图所示． A O （2）作出三角形 AOB 关于 O 点的对称图形，如图所示． B A O （2）延长 AO 使 OC=AO， 延长 BO 使 OD=BO， 连结 CD 则△COD 为所求的，如图所示． 二、探索新知 从另一个角度看，上面的（1）题就是将线段 AB 绕它的中点旋转 180°，因为 OA=•OB， 2 B A C D O 所以，就是线段 AB 绕它的中点旋转 180°后与它重合． 上面的（2）题，连结 AD、BC，则刚才的两个关于中心对称的两个图形，就成平行四边 形，如图所示． ∵AO=OC，BO=OD，∠AOB=∠COD ∴△AOB≌△COD ∴AB=CD 也就是，ABCD 绕它的两条对角线交点 O 旋转 180°后与它本身重合． 因此，像这样，把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的 图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． （学生活动）例 1：从刚才讲的线段、平行四边形都是中心对称图形外，每一位同学举 出三个图形，它们也是中心对称图形． 老师点评：老师边提问学生边解答． （学生活动）例 2：请说出中心对称图形具有什么特点？ 老师点评：中心对称图形具有匀称美观、平稳． 例 3．求证：如图任何具有对称中心的四边形是平行四边形． 分析：中心对称图形的对称中心是对应点连线的交点，也是对应点间的线段中点，因此， 直接可得到对角线互相平分． 证明：如图，O 是四边形 ABCD 的对称中心，根据中心对称性质，线段 AC、•BD 必过点 O， 且 AO=CO，BO=DO，即四边形 ABCD 的对角线互相平分，因此，•四边形 ABCD 是平行四边形． 三、巩固练习 教材 练习． 四、应用拓展 例 4．如图，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，若将矩形折叠，使 C 点和 A 点重合，•求折痕 EF 的长． 分析：将矩形折叠，使 C 点和 A 点重合，折痕为 EF，就是 A、C 两点关于 O 点对称，这 方面的知识在解决一些翻折问题中起关键作用，对称点连线被对称轴垂直平分，进而转化为 中垂线性质和勾股定理的应用，求线段长度或面积． 解：连接 AF， ∵点 C 与点 A 重合，折痕为 EF，即 EF 垂直平分 AC． ∴AF=CF，AO=CO，∠FOC=90°，又四边形 ABCD 为矩形，∠B=90°，AB=CD=3，AD=•BC=4 设 CF=x，则 AF=x，BF=4-x， 由勾股定理，得 AC2=BC2+AB2=52 3 21085 ∴AC=5，OC= 1 2 AC= 5 2 ∵AB2+BF2=AF2 ∴32+（4-x）=2=x2 ∴x= 25 8 ∵∠FOC=90° ∴OF2=FC2-OC2=（ ）2-（ ）2=（15 8 ）2 OF= 同理 OE= ，即 EF=OE+OF=15 4 五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1．中心对称图形的有关概念； 2．应用中心对称图形解决有关问题． 六、布置作业 1．教材 综合运用 5 拓广探索 8、9． 2．选用作业设计 作业设计 一、选择题 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A．等边三角形 B．等腰梯形 C．平行四边形 D．正六边形 2．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）． A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形 3．如图所示，平放在正立镜子前的桌面上的数码“21085•”在镜子中的像是（ ） A．21085 B．28015 C．58012 D．51082 二、填空题 1．把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那 么这个图形叫做__________． 2．请你写出你所熟悉的三个中心对称图形_________． 3．中心对称图形具有什么特点（至少写出两个）_____________． 三、解答题 1．在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，•那么就称这 个图形是旋转对称图形，转动的这个角称为这个图形的一个旋转角，例如：•正方形绕着它 的对角线的交点旋转 90°后能与自身重合，•所以正方形是旋转对称图形，应有一个旋转角 为 90°． （1）判断下列命题的真假（在相应括号内填上“真”或“假”） ①等腰梯形是旋转对称图形，它有一个旋转角为 180°；（ ） ②矩形是旋转对称图形，它有一个旋转角为 180°；（ ） （2）填空：下列图形中是旋转对称图形，且有一个旋转角为 120°是_____．（ •写出所 有正确结论的序号） ①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形． 4 （3）写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，却有一个旋转角为 72°，并且分别满 足下列条件：①是轴对称图形，但不是中心对称图形；②既是轴对称图形，又是中心对称图 形． 2．如图，将矩形 A1B1C1D1 沿 EF 折叠，使 B1 点落在 A1D1 边上的 B 处；沿 BG 折叠，使 D1 点落在 D 处且 BD 过 F 点． （1）求证：四边形 BEFG 是平行四边形； （2）连接 BB，判断△B1BG 的形状，并写出判断过程． D1 C1B1 A1 BA C E D GF 3．如图，直线 y=2x+2 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，将△AOB 绕点 O•顺时针旋转 90°得到△A1OB1． （1）在图中画出△A1OB1； （2）设过 A、A1、B 三点的函数解析式为 y=ax2+bx+c，求这个解析式． O B A -1 y x 2 答案： 一、1．D 2．D 3．D 二、1．中心对称图形 2．答案不唯一 3．答案不唯一 三、1．（ 1）①假 ②真 （2）①③ （3）①例如正五边形 正十五边形 •②例如正十边 正二十边形 2．（ 1）证明：∵A1D1∥B1C1，∴∠A1BD=∠C1FB 又∵四边形 ABEF 是由四边形 A1B1EF 翻折的， ∴∠B1FE=∠EFB，同理可得：∠FBG=∠D1BG， ∴∠EFB=90°- 1 2 ∠C1FB，∠FBG=90°- ∠A1BD， ∴∠EFB=∠FBG ∴EF∥BG，∵EB∥FG 5 ∴四边形 BEFG 是平行四边形． （2）直角三角形，理由：连结 BB， ∵BD1∥FC1，∴∠BGF=∠D1BG，∴∠FGB=∠FBG 同理可得：∠B1BF=∠FB1B． ∴∠B1BG=90°，∴△B1BG 是直角三角形 3．解：（1）如右图所示 B1 A1 O B A -2 1-1 y x2 2 1 -1 （2）由题意知 A、A1、B1 三点的坐标分别是（-1，0），（0，1），（2，0） ∴ 0 1 0 4 2 a b c c a b c          解这个方程组得 1 2 1 2 1 a b c        ∴所求五数解析式为 y=- 1 2 x2+ x+1．