九年级数学下册第三章圆2圆的对称性第2课时习题课件北师大版 20页

2 圆的对称性 第 2 课时 1. 理解圆的旋转不变性，掌握圆心角、弧、弦之间的关系、定理、推论及应用 .( 重点 ) 2. 能用同圆或等圆中，弧、弦、圆心角之间的相互转化解决问题 .( 重点、难点 ) 1. 圆的旋转不变性 (1) 圆是中心对称图形，对称中心为 _____. (2) 一个圆绕着它的 _____ 旋转任意一个角度，都能与原来的圆 _____. 这个性质称为圆的旋转不变性 . 2. 圆心角、弧、弦之间的相等关系 用两张透明的胶片，剪出两个半径相同的⊙ O 和⊙ O ′ , 在⊙ O 和⊙ O ′ 上分别作相等的圆心 角 ∠ A O B 和∠ A ′ O ′ B ′ ，将两个圆的圆心固定 在一起，旋转一个角度 . 圆心 圆心 重合 【 思考 】 ( 1) 当∠ AOB=∠A′OB′ 时，其所对的弧、弦有怎样的 数量关系？ 提示 ： (2) 当 时，则其所对的圆心角、弦有怎样的数量关 系？ 提示 ： (3) 当 AB=A′B′ 时，则其所对的圆心角、弧有怎样的数量关系？ 提示 ： 【 总结 】 (1) 在上述的操作中，我们用到了 _____ 、叠合的方法 . (2) 在 _____ 或等圆中，相等的圆心角所对的弧 _____ ，所对的 弦 _____ . (3) 在同圆或等圆中 , 如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一 组量相等 , 那么它们所对应的其余各组量都分别 _____ . 这一关 系可表示为：在同圆或等圆中，等圆心角 ⇔ 等弧 ⇔ 等弦 . 旋转 同圆 相等 相等 相等 ( 打“√”或“ ×”) (1) 相等的圆心角所对的弦相等 .( ) (2) 在同圆或等圆中，不相等的圆心角所对的弧一定不相等 .( ) (3) 在两个半径不相等的同心圆中，相等的圆心角所对的弧不相等 .( ) (4) 在同圆或等圆中，如果两条弦所对的圆心角相等，那么这两条弦也相等 . ( ) (5) 弦相等，其对应的圆心角也相等 .( ) × √ √ √ × 知识点 圆心角、弧、弦之间的对应关系 【 例 】 下列说法正确吗？ (1) 如图 1 ，小明说：“因为 所对的圆心角都是 ∠ O ，所以 ” . (2) 如图 2 ，小华说：“因为 AB=CD ，故 AB 所对的 等于 CD 所 对的 ” . 【 解题探究 】 1. 什么是等弧？等弧所在的圆的半径有什么关 系？ 提示： 等弧是指能完全重合的两条弧，等弧所在的圆的半径相 等 . 2. 一条弦对着几条弧？这条弦所对的弧相等吗？ 提示： 一条弦对着两条弧，这两条弧不一定相等 . 3. 由探究 1 ， 2 可得，小明的判断 _______ ，小华的判断 _______. 不正确 不正确 【 互动探究 】 在同圆或等圆中弦相等，若要使其所对的弧一定相等，应限定怎样的条件？ 提示： 在同圆或等圆中弦相等，其所对的弧不一定相等，若要使其一定相等，还应限定该弦所对的弧要么是优弧，要么是劣弧 . 【 总结提升 】 “ 知一推二 ” 及三限定 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦这三组量中有一组量相等，其余的各组量也相等，简称 “ 知一推二 ” . (1) 当知两个圆心角相等时，必须限定同圆或等圆 . (2) 当两弦相等推圆心角相等时，必须限定同圆或等圆 . (3) 当两弦相等推弧相等时，除了限定同圆或等圆之外，还要限定两弧是同一类弧 . 题组： 圆心角、弧、弦之间的对应关系 1. 下列说法正确的是 ( ) A. 等弦所对的弧相等 B. 圆心角相等，所对的弦相等 C. 等弧所对的弦相等 D. 相等的弦所对的圆心角相等 【 解析 】 选 C. 圆心角、弧、弦之间的对应关系前提必须在同圆或等圆中，而等弧一定是在等圆或同圆中的，所以 C 正确 . 2. 在两个同心圆中 , 大圆的半径 OA ， OB 交小圆于 A′ ， B′ ，则 下列选项正确的是 ( ) 【 解析 】 选 C. 只有在同 ( 或等 ) 圆中 , 相等的圆心角所对的弦相 等、所对的弧相等 . 3.(2013· 厦门中考 ) 如图，在⊙ O 中， AB=AC,∠A=30°, 则 ∠ B=( ) A.150° B.75° C.60° D.15° 【 解析 】 选 B. ∴AB=AC, ∵∠ A=30 ° , ∴∠ B= ∠ C=(180 ° - ∠ A) ÷ 2=75 ° . 4. 如图， AB 是直径， ∠ BOC=40° ，求∠ AOE 的度数 . 【 解析 】 ∴∠DOE=∠COD=∠BOC=40°, ∴∠ AOE=180 ° - ∠ DOE- ∠ COD- ∠ BOC=60 ° . 5. 如图，在⊙ O 中，弦 AB 和弦 CD 相交于点 E ， AB=CD ，试探索 BD 和 AC 的大小关系，并证明 . 【 解析 】 【 归纳整合 】 同一圆中证明两弦相等的 “ 四种 ” 方法 (1) 若两弦位于两个不同的三角形，证明两弦所在的三角形全等 . (2) 若两弦位于同一个三角形中，根据等角对等边证明两弦相等 . (3) 在同一圆中证明两弦所对的弧相等 ( 同一类弧 ). (4) 证明两弦所对的圆心角相等 . 6. 如图，已知 AB 是⊙ O 的直径， M ， N 分别是 OA ， OB 的中点，且 CM⊥AB ， DN⊥AB ，垂足分别为 M ， N. 求证： 【 证明 】 ( 方法不惟一 ) 如图，连接 OC ， OD ， ∵ CM⊥AB,DN⊥AB, ∵AB 为⊙ O 的直径， M 为 OA 的中点， N 为 OB 的中点， ∴ OA=OB=OC=OD ， ∴cos∠COM=cos∠DON, ∴∠ COM= ∠ DON, 【 想一想错在哪？ 】 如图，∠ AOB=90° ， C ， D 是 的三等分点， AB 分别交 OC ， OD 于点 E ， F. 试找出图中相等的线段 ( 半径除外 ) ． 提示： AE ， BF 不是圆的弦，不能直接利用等弧对等弦 .