九年级数学下册第三章圆7弧长及扇形的面积习题课件北师大版 35页

7 弧长及扇形的面积 1. 经历探索弧长和扇形面积计算公式的过程；了解弧长和扇形面积计算公式 .( 重点 ) 2. 会运用公式解决问题 .( 重点、难点 ) 1. 弧长公式 (1) 半径为 R 的圆的周长公式： C=__πR. (2)1° 的圆心角所对的弧长： (3)n ° 的圆心角所对的弧长： 基础梳理 2 2. 扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的 ___ 所围成 的图形 . 弧 3. 扇形的相关公式： (1) 半径为 R 的圆的面积公式： S=πR 2 . (2) 圆心角为 1° 的扇形的面积： (3) 圆心角为 n° 的扇形的面积： (4) 比较扇形的弧长和面积公式还可得到： ( 打“√”或“ ×”) (1) 弧长相等的弧是等弧 .( ) (2) 扇形的半径为 1, 圆心角为 90° ，则弧长为 ( ) (3) 扇形的圆心角越大，扇形的面积越大 .( ) × √ × 知识点 1 弧长公式及应用 【 例 1】 如图，一块等边三角形的木板，边长为 1 ，现将木板沿水平线翻滚，那么 B 点从开始至结束 (B′) 所走过的路径长度是多少？ 【 解题探究 】 1. 找到等边三角形 ABC 每一次翻转的中心，画出点 B 所走的路径 . 提示： . 2. 等边三角形 ABC 每一次旋转的角度是多少？旋转的半径是多 少？ 提示： 等边三角形 ABC 每一次旋转的角度是 120° ，旋转的半径 是 1. 3. 计算 B 点从开始至结束 (B′) 所走过的路径长度是多少？ 提示： B 点从开始至结束走过的路径长度 【 互动探究 】 点 A 所走过的路径长度是多少？ 提示： 如图， 为点 A 所经过的路径， 的长度为 【 总结提升 】 求与弧长相关计算的两个步骤 知识点 2 扇形及相关图形阴影部分的面积 【 例 2】 (2012· 汕头中考 ) 如图，在 ABCD 中， AD ＝ 2 ， AB ＝ 4 ，∠ A ＝ 30° ，以点 A 为圆心， AD 的长为半径画弧交 AB 于点 E ，连接 CE ，则阴影部分的面积是 ____.( 结果保留 π) 【 思路点拨 】 过点 D 作 DF⊥AE ，将阴影部分的面积转化为梯形 AECD 的面积减去扇形 DAE 的面积 . 【 自主解答 】 过点 D 作 AE 的垂线 DF ，垂足为 F ， 则在 Rt△ADF 中，∠ A ＝ 30° ， 所以 所以梯形 AECD 的面积 扇形 DAE 的面积 所以阴影部分的面积 答案： 【 总结提升 】 求不规则图形的面积的方法 (1) 割补法 . (2) 拼凑法 . (3) 等积变形法 . (4) 迁移变换法 . (5) 构造方程法 . 其中前 4 种方法的基本思路都是将不规则图形转化为规则图形 ( 可直接求出面积的图形，如三角形、特殊四边形、圆、扇形 ) 的面积或规则图形面积的和或差 . 题组一： 弧长公式及应用 1.(2013· 东营中考 ) 如图，正方形 ABCD 中，分别以 B ， D 为圆心，以正方形的边长 a 为半径画弧，形成树叶形 ( 阴影部分 ) 图案，则树叶形图案的周长为 ( ) 【 解析 】 选 A. 因为四边形 ABCD 是正方形，在扇形 ABC 中， 又因为两段弧相等，所以，树叶形图案的周长 为 2. 一个扇形的圆心角为 150° ，它所对的弧长为 2π cm ，则这 个扇形的半径 r 为 _________. 【 解析 】 根据弧长公式， 解得 答案： 3. 已知扇形的圆心角等于 120° ，半径为 5 ，则扇形的周长为 ________. 【 解析 】 扇形的周长等于两条半径与弧长的和， 故为 答案： 4.(2013· 扬州中考 ) 如图，在扇形 OAB 中，∠ AOB=110° ，半径 OA=18 ，将扇形 OAB 沿过点 B 的直线折叠，点 O 恰好落在 的点 D 处，折痕交 OA 于点 C ，则 的长为 _______. 【 解析 】 如图，连接 OD ． 根据折叠的性质知， OB=DB ． 又∵ OD=OB ， ∴ OD=OB=DB ，即△ ODB 是等边三角形， ∴∠ DOB=60° ． ∵∠ AOB=110° ， ∴∠ AOD=∠AOB-∠DOB=50° ， 答案： 5 π 5. 如图，已知 CB 是⊙ O 的弦， CD 是⊙ O 的直径，点 A 为 CD 延长线 上一点， BC=AB ，∠ CAB=30°. (1) 求证： AB 是⊙ O 的切线 . (2) 若⊙ O 的半径为 2 ，求 的长 . 【 解析 】 (1)∵BC=AB ，∴∠ C=∠A=30° ， ∴∠ BOA=2∠C=60° ， ∴∠ OBA=180°-∠A-∠BOA=180°-30°-60°=90° ， ∴ AB 是⊙ O 的切线． 题组二： 扇形及相关图形阴影部分的面积 1.(2013· 荆州中考 ) 如图，将含 60° 角的直角三角板 ABC 绕顶点 A 顺时针旋转 45° 后得到△ AB′C′ ，点 B 经过的路径为弧 BB′ ，若角∠ BAC=60° ， AC=1 ，则图中阴影部分的面积是 ( ) 【 解析 】 选 A.∵∠BAC=60° ，∠ C=90°,∴∠ABC=30°. ∵AC=1, 2. 如图，一根 5 m 长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另 一端拴着一只小羊 A( 羊只能在草地上活动 ) ，那么小羊 A 在草地 上的最大活动区域面积是 ( ) 【 解析 】 选 D. 如图， 大扇形的圆心角是 90° ，半径是 5 m ， 所以面积 小扇形的圆心角是 180°-120°=60° ，半径是 1 m ， 则面积 ∴小羊 A 在草地上的最大活动区域面积 3.(2013· 德州中考 ) 如图，扇形 AOB 的半径为 1 ，∠ AOB=90°, 以 AB 为直径画半圆，则图中的阴影部分的面积为 ( ) 【 解析 】 选 C. 因为扇形 AOB 的半径为 1 ，∠ AOB=90 ° ，所以 △ AOB 的面积为 扇形 AOB 的面积为 所以弓形的面积为 又因为半圆的面积为 所以阴影部 分的面积为： 4. 一个扇形的圆心角为 120° ，半径为 3 ，则这个扇形的面积为 __________.( 结果保留 π) 【 解析 】 答案： 3π 5.(2013· 重庆中考 ) 如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，以 AB 为直径的半圆与对角线 AC 交于点 E ，则图中阴影部分的面积为 _________.( 结果保留 π) 【 解析 】 由题意可知，点 E 是 AC 的中点，所以阴影部分的面积 答案： 10- π 6. 如图，线段 AB 与⊙ O 相切于点 C ，连接 OA,OB ， OB 交⊙ O 于点 D ，已知 求： (1)⊙O 的半径 .(2) 图中阴影部分的面积． 【 解析 】 (1) 连接 OC ， ∵ AB 与⊙ O 相切于点 C ， ∴ OC⊥AB ，∴∠ OCB ＝ 90° ， ∵ OA ＝ OB, ∵OB ＝ 6 cm ， (2)∵OC ＝ 3 cm ， 在 Rt△OCB 中， ∴∠ BOC ＝ 60°. 【 想一想错在哪？ 】 如图所示，半圆 O 中 , 直径 AB 长为 4,C ， D 为半圆 O 的三等分点 , 求阴影部分的面积 . 提示： 需证明△ ACD 的面积为什么等于△ OCD 的面积 .