九年级数学下册第24章圆24-5三角形的内切圆课时作业新版沪科版 6页

‎24.5　三角形的内切圆 知识要点基础练 知识点1　三角形的内切圆及相关概念 ‎1.下列说法错误的是(B)‎ A.三角形的内切圆与三角形的三边都相切 B.一个圆一定有唯一一个外切三角形 C.一个三角形一定有唯一一个内切圆 D.等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆 ‎2.如图,☉O与三角形各边都相切,☉O是三角形的　内切圆　,圆心O叫做三角形的　内心　,△ABC叫做☉O的　外切三角形　. ‎ ‎3.为美化校园,学校准备在如图所示的三角形空地上修建一个面积最大的圆形花坛,请在图中画出这个圆形花坛.(保留作图痕迹,不写作法)‎ 解:如图所示,☉O即为所求.‎ 知识点2　三角形的内心 6‎ ‎4.三角形的内心是(B)‎ A.三条垂直平分线的交点 B.三条内角平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三条高的交点 ‎5.在△ABC中,已知∠C=90°,BC=3,AC=4,则它的内切圆半径是(B)‎ A.‎3‎‎2‎ B.1‎ C.2 D.‎‎2‎‎3‎ ‎6.等边三角形的内切圆半径为1,则等边三角形的周长为　6‎3‎　. ‎ ‎【变式拓展1】等腰三角形的腰长为10,底边长为12,那么它的内切圆半径为　3　. ‎ ‎【变式拓展2】已知一个三角形的三边长分别为5,7,8,则其内切圆的半径为(C)‎ A.‎3‎‎2‎ B.‎3‎‎2‎ C.‎3‎ D.2‎‎3‎ 综合能力提升练 ‎7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有下列问题“今有勾八步,股十五步,问勾中容圆径几何?”其意思是:“今有直角三角形,勾(短直角边)长为8步,股(长直角边)长为15步,问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少?”(C)‎ A.3步 B.5步 C.6步 D.8步 ‎8.如图,I为△ABC的内心,D点在BC上,且ID⊥BC,若∠B=44°,∠C=56°,则∠AID=(A)‎ 6‎ A.174° B.176° C.178° D.180°‎ ‎9.(河北中考)如图,I为△ABC的内心,AB=4,AC=3,BC=2,将∠ACB平移使其顶点与点I重合,则图中阴影部分的周长为(B)‎ A.4.5 B.4 C.3 D.2‎ ‎10.已知☉O是Rt△ABC的内切圆,∠ACB=90°,AB=13,AC=12,则△ABC的面积与☉O的面积之差等于　30-4π　. ‎ ‎11.已知三角形的周长为P,面积为S,其内切圆半径为r,则r∶S等于　2∶P　. ‎ ‎12.(娄底中考)如图,P是△ABC的内心,连接PA,PB,PC,△PAB,△PBC,△PAC的面积分别为S1,S2,S3.则S1　<　S2+S3.(填“<”“=”或“>”) ‎ ‎13.‎ 如图,三条公路两两相交,交点分别为A,B,C,现计划修建一个水库,要求到三条公路的距离相等,那么你能找到几个满足条件的地方?‎ 解:共四处.其一是三角形的内角平分线的交点,其他三处是三角形的相邻两个外角平分线的交点.‎ ‎14.如图,在△ABC中,AB=AC,☉O是△ABC的内切圆,它与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F.‎ ‎(1)求证:BE=CE;‎ ‎(2)若∠A=90°,AB=AC=2,求☉O的半径.‎ 6‎ 解:(1)连接OB,OC,OE.‎ ‎∵☉O是△ABC的内切圆,‎ ‎∴OB,OC分别平分∠ABC,∠ACB,‎ ‎∴∠OBC=‎1‎‎2‎∠ABC,∠OCB=‎1‎‎2‎∠ACB,‎ ‎∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,‎ ‎∴∠OBC=∠OCB,∴OB=OC,‎ 又∵☉O是△ABC的内切圆,切点为E,‎ ‎∴OE⊥BC,∴BE=CE.‎ ‎(2)连接OD,OF.‎ ‎∵☉O是△ABC的内切圆,切点为D,E,F,‎ ‎∴∠ODA=∠OFA=∠A=90°,‎ 又∵OD=OF,∴四边形ODAF是正方形.‎ 设OD=AD=AF=r,‎ 则BE=BD=CF=CE=2-r,‎ 在△ABC中,∠A=90°,‎ ‎∴BC=AB‎2‎+AC‎2‎=2‎2‎,‎ 又∵BC=BE+CE,‎ ‎∴(2-r)+(2-r)=2‎2‎,解得r=2-‎2‎,‎ ‎∴☉O的半径是2-‎2‎.‎ ‎15.如图,在△ABC中,AC=BC,E是内心,AE的延长线交△ABC的外接圆于点D.‎ 6‎ 求证:(1)BE=AE;‎ ‎(2)ABAC‎=‎AEED.‎ 证明:(1)∵E为内心,∴∠EAB=‎1‎‎2‎∠CAB,‎ ‎∠EBA=‎1‎‎2‎∠CBA,又∵AC=BC,∴∠CAB=∠CBA,∴∠EAB=∠EBA,∴AE=BE.‎ ‎(2)∵∠DEB=∠EAB+∠EBA=2∠EAB=∠CAB,∠C=∠D,∴△ABC∽△EBD,‎ ‎∴ABBE‎=‎ACED.又∵BE=AE,∴ABAC‎=‎AEED.‎ 拓展探究突破练 ‎16.如图,在△ABC中,AD是边BC上的中线,∠BAD=∠CAD,CE∥AD,CE交BA的延长线于点E,BC=8,AD=3.‎ ‎(1)求证:△ABC为等腰三角形;‎ ‎(2)求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离.‎ 解:(1)∵CE∥AD,∴∠BAD=∠E,∠CAD=∠ACE,∵∠BAD=∠CAD,∴∠ACE=∠E,‎ ‎∴AE=AC,∵BD=CD,∴AB=AE,∴AB=AC,∴△ABC为等腰三角形.‎ ‎(2)如图,连接BP,BQ,CQ.‎ 6‎ 在Rt△ABD中,AB=AD‎2‎+BD‎2‎‎=‎‎3‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎=5.‎ 设☉P的半径为R,☉Q的半径为r,在Rt△PBD中,PD2+BD2=PB2,即(R-3)2+42=R2,‎ 解得R=‎25‎‎6‎,‎ ‎∴PD=PA-AD=‎25‎‎6‎-3=‎7‎‎6‎,‎ ‎∵S△ABQ+S△BCQ+S△ACQ=S△ABC,‎ ‎∴‎1‎‎2‎·r·5+‎1‎‎2‎·r·8+‎1‎‎2‎·r·5=‎1‎‎2‎·3·8,‎ 解得r=‎4‎‎3‎,‎ 即QD=‎4‎‎3‎,‎ ‎∴PQ=PD+QD=‎7‎‎6‎‎+‎4‎‎3‎=‎‎5‎‎2‎,‎ ‎∴△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离为‎5‎‎2‎.‎ 6‎