初中数学中考复习课件章节考点专题突破：第一章 数与式第一章第5讲二次根式及其运算 29页

第 5 讲　二次根式及其运算 要点梳理 1 ． 二次根式的概念 式子 叫做二次根式． 2 ． 二次根式的性质 (1)( a ) 2 ＝ 。 (2) a 2 ＝ | a | ＝ î ï í ï ì a （ a ＞ 0 ） ； 0 （ a ＝ 0 ） ； － a （ a ＜ 0 ） Ｗ . a ( a≥0 ) 要点梳理 3 ． 二次根式的运算 (1) 二次根式加减法的实质是合并同类根式； (2) 二次根式的乘法： a · b ＝ ； (3) 二次根式乘法 的反用： ab ＝ ； (4) 二次根式的除法： a b ＝ ； (5) 二次根式除法的反用： a b ＝ ． 要点梳理 4 ． 最简二次根式 运算结果中的二次根式 ， 一般都要化成最简二次根式．最简二次根式 ， 需满足两个条件： (1) 被开方数不含分母； (2) 被开方数中不含开得尽方的因数或因式． “ 双重非负性 ” 算术平方根 a 具有双重非负性 ， 一是被开方数 a 必须 是非负数 ， 即 a ≥ 0 ；二是算术平方根 a 的值是非负数 ， 即 a ≥ 0. 算术平方根的非负 性主要用于两方面： ( 1 ) 某些二次根式的题目中隐含着 “ a ≥ 0 ” 这个条件 ， 做 题时要善于挖掘隐含条件 ， 巧妙求解； ( 2 ) 若几个非负数的和为零 ， 则每一个非负数都等于零 ． 两个防范 ( 1 ) 求 a 2 时 ， 一定要注意确定 a 的大小 ， 应注意利用等 式 a 2 ＝ | a | ， 当问题中已知条件不能直接判定 a 的大小时 就要分类讨论； ( 2 ) 一般情况下 ， 我们解题时 ， 总会习惯地把重点放在探 求思路和计算结果上 ， 而忽视了 一些不太重要、不直接 影响求解过程的附加条件和隐含条件 ． 要特别注意 ， 问 题中的条件没有主次之分 ， 都必须认真对待 ． 求值问题 “ 五招 ” (1) 巧用平方； (2) 巧用乘法公式； (3) 巧用配方； (4) 巧用换元； (5) 巧用倒数． 1 ． ( 2014· 苏州 ) 若式子 x － 4 在实数范围内有意义 ， 则 x 的取值范围是 ( ) A ． x ≤ － 4 B ． x ≥ － 4 C ． x ≤ 4 D ． x ≥ 4 2 ． ( 2014· 孝感 ) 下列二次根式中 ， 不能与 2 合并的是 ( ) A. 1 2 B. 8 C. 12 D. 18 D C 3 ． ( 2014· 徐州 ) 下列运算中错误的是 ( ) A. 2 ＋ 3 ＝ 5 B. 2 × 3 ＝ 6 C. 8 ÷ 2 ＝ 2 D ． ( － 3 ) 2 ＝ 3 4 ． ( 2014· 福州 ) 若 ( m － 1 ) 2 ＋ n ＋ 2 ＝ 0 ， 则 m ＋ n 的值是 ( ) A ． － 1 B ． 0 C ． 1 D ． 2 A A 5 ． ( 2014· 内江 ) 按如图所示的程序计算 ， 若开始输 入的 n 值为 2 ， 则最后输出的结果是 ( ) A ． 14 B ． 16 C ． 8 ＋ 5 2 D ． 14 ＋ 2 C 二次根式概念与性质 【 例 1 】 ( 1 ) 等式 2 k － 1 k － 3 ＝ 2 k － 1 k － 3 成立 ， 则实数 k 的 范围是 ( ) A ． k ＞ 3 或 k ＜ 1 2 B ． 0 ＜ k ＜ 3 C ． k ≥ 1 2 D ． k ＞ 3 D (2) 已知 a ， b ， c 是 △ ABC 的三边长 ， 试化简： （ a ＋ b ＋ c ） 2 ＋ （ a － b － c ） 2 ＋ （ b － c － a ） 2 ＋ （ c － a － b ） 2 . 解：原式＝ |a ＋ b ＋ c| ＋ |a － b － c| ＋ |b － c － a| ＋ |c － a － b| ＝ ( a ＋ b ＋ c ) ＋ ( b ＋ c － a ) ＋ ( c ＋ a － b ) ＋ ( a ＋ b － c ) ＝ 2a ＋ 2b ＋ 2c 【 点评 】 ( 1 ) 对于二次根式 ， 它有意义的条件是被 开方 数大于或等于 0 ； ( 2 ) 注意二次根式性质 ( a ) 2 ＝ a ( a ≥ 0 ) ， a 2 ＝ | a | 的区别 ， 判断出各式的正负性 ， 再化简 ． 1 ． ( 1 )( － 2 ) 2 的平方根是 ； 9 的算术平方根是 __ __ ； __ __ 是－ 64 的立方根 ． ( 2 ) ( 2014· 达州 ) 二次根式 － 2x ＋ 4 有意义 ， 则实数 x 的取 值范围是 ( ) A ． x ≥ － 2 B ． x ＞－ 2 C ． x ＜ 2 D ． x ≤ 2 3 -4 D ( 3 ) 如果 （ 2 a － 1 ） 2 ＝ 1 － 2 a ， 则 ( ) A ． a ＜ 1 2 B ． a ≤ 1 2 C ． a ＞ 1 2 D ． a ≥ 1 2 B 二次根式的运算 【 例 2 】 (1) ( 2014· 济宁 ) 如果 ab ＞ 0 ， a ＋ b ＜ 0 ， 那么下面 各式： ① a b ＝ a b ， ② a b · b a ＝ 1 ， ③ ab ÷ a b ＝－ b ， 其中正确的是 ( ) A ． ①② B ． ②③ C ． ①③ D ． ①②③ B ( 2 ) 计算： 24 － 3 2 ＋ 2 3 － 2 1 6 . ( 3 ) ( 2012· 南通 ) 计算： 48 ÷ 3 － 1 2 × 12 ＋ 24 . 【 点评 】 ( 1 ) 二次根式化简 ， 依据 ab ＝ a · b ( a ≥ 0 ， b ≥ 0 ) ， a b ＝ a b ( a ≥ 0 ， b ＞ 0 ) ， 前者将被开方数分解 ， 后 者分子、分母同时乘一个适当的数使分母变成一个完全平 方数 ， 即可将其移到根号外； ( 2 ) 二次根式加减 ， 即化简 之后合并同类二次根式； ( 3 ) 二次根式乘除结果要化为最 简二次根式 ． 2 ． (1) ( 2012· 安顺 ) 计算 3 27 的结果是 ( ) A ． ± 3 3 B ． 3 3 C ． ± 3 D ． 3 (2) ( 2012· 福州 ) 若 20n 是整数 ， 则正整数 n 的最小值为 __ __ ． (3) ( 2014· 抚州 ) 计算： 27 － 3 ＝ __ __ ． 5 D 二次根式混合运算 【 例 3 】 计算： ( 1 )( 3 2 － 1 )( 1 ＋ 3 2 ) － ( 2 2 － 1 ) 2 ； ( 2 )( 10 － 3 ) 2012 · ( 10 ＋ 3 ) 2013 . 【 点评 】 　 (1) 二次根式混合运算 ， 把若干个知识点综合在一起 ， 计算时要认真仔细； (2) 可以运用运算律或适当改变运算顺序 ， 使运算简便． 3 ． ( 1 ) ( 2014· 荆门 ) 计算： 24 × 1 3 － 4 × 1 8 × ( 1 － 2 ) 0 . (2) 已知 10 的整数部分为 a ， 小数部分为 b ， 求 a 2 － b 2 的值． 二次根式运算中的技巧 【 例 4 】 ( 1 ) 已知 x ＝ 2 － 3 ， y ＝ 2 ＋ 3 ， 求 x 2 ＋ xy ＋ y 2 的值； ( 2 ) 已知 x ＋ 1 x ＝－ 3 ， 求 x － 1 x 的值 ． 【 点评 】 ( 1 ) x 2 ＋ xy ＋ y 2 是一个对称式 ， 可先求出基本 对称式 x ＋ y ＝ 4 ， xy ＝ 1 ， 然后将 x 2 ＋ xy ＋ y 2 转化为 ( x ＋ y ) 2 － xy ， 整体代入即可； ( 2 ) 注意到 ( x － 1 x ) 2 ＝ ( x ＋ 1 x ) 2 － 4 ， 可 得 ( x － 1 x ) 2 ＝ 5 ， x － 1 x ＝ ± 5 . 4 ． (1) 已知 m ＝ 1 ＋ 2 ， n ＝ 1 － 2 ， 则代数式 m 2 ＋ n 2 － 3 mn 的 值为 ( ) A ． 9 B ． ± 3 C ． 3 D ． 5 (2) ( 2014· 德州 ) 若 y ＝ x － 4 ＋ 4 － x 2 － 2 ， 则 (x ＋ y) y ＝ __ __ ； (3) 已知 |6 － 3 m | ＋ ( n － 5) 2 ＝ 3 m － 6 － （ m － 3 ） n 2 ， 则 m － n ＝ __ __ ． － 2 C 试题 已知 a ＝ 2 － 3 ， 求 a 2 － 1 a ＋ 1 － a 2 － 2 a ＋ 1 a － 1 的值 ． 错解 解：原式＝ （ a ＋ 1 ）（ a － 1 ） （ a ＋ 1 ） － （ a － 1 ） 2 a － 1 ＝ a － 1 － a － 1 a － 1 ＝ a － 2. ∴ 当 a ＝ 2 － 3 时 ， 原式＝ 2 － 3 － 2 ＝－ 3 . 剖析 ( 1 ) 题目中的隐含 条件为 a ＝ 2 － 3 ＜ 1 ， 所以 a 2 － 2 a ＋ 1 ＝ （ a － 1 ） 2 ＝ | a － 1| ＝ 1 － a ， 而不是 a － 1 ； ( 2 ) 注意挖掘题目中的隐含条件 ， 是解决数学问题的关键之 一 ， 上题中的隐含条件 a ＝ 2 － 3 ＜ 1 是进行二次根式化简 的依据 ， 应注重分析能力的培养 ， 提高解题的正确性 ． 正解 解： ∵ a ＝ 2 － 3 ＜ 1 ， ∴ a － 1 ＜ 0. ∴ a 2 － 2 a ＋ 1 ＝ （ a － 1 ） 2 ＝ | a － 1| ＝ 1 － a . ∴ 原式＝ （ a ＋ 1 ）（ a － 1 ） （ a ＋ 1 ） － 1 － a a － 1 ＝ a － 1 ＋ 1 ＝ a . ∴ 当 a ＝ 2 － 3 时 ， 原式＝ 2 － 3 － 1 ＋ 1 ＝ 2 － 3 .