初中数学中考复习课件章节考点专题突破：第五章 图形性质1 第23讲矩形、菱形与正方形 42页

人教 数 学 第五章　图形的性质 ( 一 ) 第 23 讲　矩形、菱形与正方形 要点梳理 1 ． 有一个角是 的平行四边形是矩形．矩形的四个角都是 ， 对角线 ． 矩形的判定方法： (1) 有三个角是 的四边形； (2) 是平行四边形且有一个角是 ； (3) 的平行四边形； (4) 的四边形． 直角 直角 相等且互相平分 直角 直角 对角线相等 对角线相等且互相平分 要点梳理 2 ． 有一组 的平行四边形叫做菱形．菱形的四条边都 ， 对角线 ， 且每一条对角线 ． 邻边相等 相等 互相垂直平分 平分一组对角 要点梳理 菱形的判定方法： (1) 四条边都 ； (2) 有一组 的平行四边形； (3) 对角线 的平行四边形； (4) 对角线 的四边形． 相等 邻边相等 互相垂直 互相垂直平分 要点梳理 3 ． 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．正方形的四个角都是 ， 四条边都 ， 两条对角线 ， 并且 ， 每一条对角线 ． 正方形的判定方法： (1) 邻边相等的 ； (2) 有一角是直角的 ． 直角 相等 相等 互相垂直平分 平分一组对角 矩形 菱形 一个防范 在判定矩形、菱形或正方形时 ， 要明确是在 “ 四边形 ” 还是在 “ 平行四边形 ” 的基础之上来求证的．要熟悉各判定定理的联系和区别 ， 解题时要认真审题 ， 通过对已知条件的分析、综合 ， 最后确定用哪一种判定方法． 三种联系 (1) 平行四边形与矩形的联系： 在平行四边形的基础上 ， 增加 “ 一个角是直角 ” 或 “ 对角线相等 ” 的条件可为矩形；若在四边形的基础上 ， 则需有三个角是直角 ( 第四个角必是直角 ) 则可判定为矩形． (2) 平行四边形与菱形的联系： 在平行四边形的基础上 ， 增加 “ 一组邻边相等 ” 或 “ 对角线互相垂直 ” 的条件可为菱形；若在四边形的基础上 ， 需有四边相等则可判定为菱形． (3) 菱形、矩形与正方形的联系： 正方形的判定可简记为：菱形＋矩形＝正方形 ， 其证明思路有两个：先证四边形是菱形 ， 再证明它有一个角是直角或对角线相等 ( 即矩形 ) ；或先证四边形是矩形 ， 再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直 ( 即菱形 ) ． 1 ． ( 2014 · 绵阳 ) 下列命题中正确的是 ( ) A ． 对角线相等的四边形是矩形 B ． 对角线互相垂直的四边形是菱形 C ． 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 D ． 一组对边相等 ， 另一组对边平行的四边形是平行四边形 C 2 ． ( 2014 · 毕节 ) 如图 ， 菱形 ABCD 中 ， 对角线 AC ， BD 相交于点 O ， H 为 AD 边中点 ， 菱形 ABCD 的周长为 28 ， 则 OH 的长等于 ( ) A ． 3.5 　　　 B ． 4 　　　 C ． 7 　　　 D ． 14 A 3 ． ( 2014· 聊城 ) 如图 ， 在矩形 ABCD 中 ， 边 AB 的长 为 3 ， 点 E ， F 分别在 AD ， BC 上 ， 连接 BE ， DF ， EF ， BD. 若 四边形 BEDF 是菱形 ， 且 EF ＝ AE ＋ FC ， 则边 BC 的长为 ( ) A ． 2 3 B ． 3 3 C ． 6 3 D. 9 2 3 B 4 ． ( 2014 · 牡丹江 ) 如图 ， 在菱形 ABCD 中 ， E 是 AB 边上一点 ， 且 ∠ A ＝ ∠ EDF ＝ 60° ， 有下列结论： ① AE ＝ BE ； ②△ DEF 是等边三角形； ③△ BEF 是等腰三角形； ④∠ ADE ＝ ∠ BEF ， 其中结论正确的个数是 ( ) A ． 3 B ． 4 C ． 1 D ． 2 D 5 ． ( 2014· 山西 ) 如图 ， 点 E 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上 ， 且 EC ＝ 2AE ， 直角三角形 FEG 的两直角边 EF ， EG 分别交 BC ， DC 于 点 M ， N. 若正方形 ABCD 的边长为 a ， 则重叠部分四边形 EMCN 的面积为 ( ) A. 2 3 a 2 B. 1 4 a 2 C. 5 9 a 2 D. 4 9 a 2 D 矩形 【 例 1 】 ( 2014· 枣庄 ) 如图 ， 四边形 ABCD 的对角线 AC ， BD 交于点 O ， 已知 O 是 AC 的中点 ， AE ＝ CF ， DF ∥ BE. (1) 求证： △ BOE ≌△ DOF ； (2) 若 OD ＝ 1 2 AC ， 则四边形 ABCD 是什么特殊四边形？请 证明你的结论． 解：证明： ( 1 ) ∵ DF ∥ BE ， ∴∠ FDO ＝ ∠ EBO ， ∠ DFO ＝ ∠ BEO ， ∵ O 为 AC 的中点 ， 即 OA ＝ OC ， 又 ∵ AE ＝ CF ， ∴ OA － AE ＝ OC － CF ， 即 OE ＝ OF ， 在 △ BOE 和 △ DOF 中 ， î ï í ï ì ∠ FDO ＝ ∠ EBO ， ∠ DFO ＝ ∠ BEO ， OE ＝ OF ， ∴△ BOE ≌△ DOF ( AAS ) ( 2 ) 若 OD ＝ 1 2 AC ， 则四边形 ABCD 是矩形 ， 理由为： ∵△ BOE ≌△ DOF ， ∴ OB ＝ OD ， ∴ OA ＝ OB ＝ OC ＝ OD ， 即 BD ＝ AC ， ∴ 四边形 ABCD 为矩形 【 点评 】 　利用平行线的相关性质找到对应角相等 ， 再结合已知条件来证三角形的全等 ， 是常用的方法；矩形的判定不要忽略了对角线的判定方法 ， 有时会比边与角更直接简便． 1 ． ( 2013 · 聊城 ) 如图 ， 四边形 ABCD 中 ， ∠ A ＝ ∠ BCD ＝ 90° ， BC ＝ CD ， CE ⊥ AD ， 垂足为 E. 求证： AE ＝ CE. 解：证明：过点 B 作 BF ⊥ CE 于 F ， ∵ CE ⊥ AD ， ∴∠ D ＋ ∠ DCE ＝ 90 ° ， ∵∠ BCD ＝ 90 ° ， ∴∠ BCF ＋ ∠ DCE ＝ 90 ° ， ∴∠ BCF ＝ ∠ D ， 在 △ BCF 和 △ CDE 中 ， î ï í ï ì ∠ BCF ＝ ∠ D ， ∠ CED ＝ ∠ BFC ＝ 90 ° ， BC ＝ CD ， ∴△ BCF ≌△ CDE ( AAS ) ， ∴ BF ＝ CE ， 又 ∵∠ A ＝ 90 ° ， C E ⊥ AD ， BF ⊥ CE ， ∴ 四边形 AEFB 是矩形 ， ∴ AE ＝ BF ， ∴ AE ＝ CE 菱形 【 例 2】 　 ( 2013 · 黄冈 ) 如图 ，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC ， BD 相交于点 O ， DH ⊥ AB 于 H ，连接 OH ，求证： ∠ DHO ＝ ∠ DCO. 解：证明： ∵ 四边形 ABCD 是菱形 ， ∴ OD ＝ OB ， ∠ COD ＝ 90 ° ， ∵ DH ⊥ AB ， ∴ OH ＝ OB ， ∴∠ OHB ＝ ∠ OBH ， 又 ∵ AB ∥ CD ， ∴∠ OBH ＝ ∠ ODC ， 在 Rt △ COD 中 ， ∠ ODC ＋ ∠ DCO ＝ 90 ° ， 在 Rt △ DHB 中 ， ∠ DHO ＋ ∠ OHB ＝ 90 ° ， ∴∠ DHO ＝ ∠ DCO 【 点评 】 　本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质 ， 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质 ， 以及等角的余角相等 ， 熟记各性质并理清图中角度的关系是解题的关键． 2 ． ( 2014 · 厦门 ) 如图， 在四边形 ABCD 中 ， AD ∥ BC ， AM ⊥ BC ， 垂足为 M ， AN ⊥ DC ， 垂足为 N ， 若 ∠ BAD ＝ ∠ BCD ， AM ＝ AN ， 求证：四边形 ABCD 是菱形． 解：证明： ∵ AD ∥ BC ， ∴∠ B ＋ ∠ BAD ＝ 180 ° ， ∠ D ＋ ∠ C ＝ 180 ° ， ∵∠ BAD ＝ ∠ BCD ， ∴∠ B ＝ ∠ D ， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∵ AM ⊥ BC ， AN ⊥ DC ， ∴∠ AMB ＝ ∠ AND ＝ 90 ° ， 在 △ ABM 和 △ ADN 中 ， î ï í ï ì ∠ B ＝ ∠ D ， ∠ AMB ＝ ∠ AND ＝ 90 ° ， AM ＝ AN ， ∴△ ABM ≌△ ADN ( AAS ) ， ∴ AB ＝ AD ， ∴ 四边形 ABCD 是菱形 正方形 【 例 3】 　 ( 2013 · 毕节 ) 如图 ， 四边形 ABCD 是正方形 ， E ， F 分别是 DC 和 CB 的延长线上的点 ， 且 DE ＝ BF ， 连接 AE ， AF ， EF. (1) 求证： △ ADE ≌△ ABF ； (2) 填空： △ ABF 可以由 △ ADE 绕旋转中心 点 ， 按顺时针方向旋转 度得到； (3) 若 BC ＝ 8 ， DE ＝ 6 ， 求 △ AEF 的面积． A 90 【 点评 】 　正方形具有四边形、平行四边形、矩形及菱形的一切性质 ， 它们之间既有联系又有区别 ， 其各自的性质和判定是中考的热点． 3 ． ( 2014 · 扬州 ) 如图 ， 已知 Rt △ ABC 中 ， ∠ ABC ＝ 90° ， 先把 △ ABC 绕点 B 顺时针旋转 90° 至 △ DBE 后 ， 再把 △ ABC 沿射线平移至 △ FEG ， DE ， FG 相交于点 H. (1) 判断线段 DE ， FG 的位置关系 ， 并说明理由； (2) 连接 CG ， 求证：四边形 CBEG 是正方形． 解： ( 1 ) FG ⊥ ED. 理由如下： ∵△ ABC 绕点 B 顺时针旋转 90 ° 至 △ DBE 后 ， ∴∠ DEB ＝ ∠ ACB ， ∵ 把 △ ABC 沿射线平移至 △ FEG ， ∴∠ GFE ＝ ∠ A ， ∵∠ ABC ＝ 90 ° ， ∴∠ A ＋ ∠ ACB ＝ 90 ° ， ∴∠ DEB ＋ ∠ GFE ＝ 90 ° ， ∴∠ FHE ＝ 90 ° ， ∴ FG ⊥ ED 　 ( 2 ) 证明：根据旋转和平移可得 ∠ GEF ＝ 90° ， ∠ CBE ＝ 90 ° ， CG ∥ EB ， CB ＝ BE ， ∵ CG ∥ EB ， ∴∠ BCG ＋ ∠ CBE ＝ 180 ° ， ∴∠ BCG ＝ 90 ° ， ∴ 四边形 BCGE 是矩形 ， ∵ CB ＝ BE ， ∴ 四边形 CBEG 是正方形 特殊平行四边形综合题 【 例 4】 　 ( 2014 · 牡丹江 ) 如图， 在 Rt △ ABC 中 ， ∠ ACB ＝ 90° ， 过点 C 的直线 MN ∥ AB ， D 为 AB 边上一点 ， 过点 D 作 DE ⊥ BC ， 交直线 MN 于 E ， 垂足为 F ， 连接 CD ， BE. (1) 求证： CE ＝ AD ； (2) 当 D 在 AB 中点时 ， 四边形 BECD 是什么特殊四边形？说明你的理由； (3) 若 D 为 AB 中点 ， 则当 ∠ A 的大小满足什么条件时 ， 四边形 BECD 是正方形？请说明你的理由． 解： ( 1 ) 证明： ∵ DE ⊥ BC ， ∴∠ DFB ＝ 90 ° ， ∵∠ ACB ＝ 90 ° ， ∴∠ ACB ＝ ∠ DFB ， ∴ AC ∥ DE ， ∵ MN ∥ AB ， 即 CE ∥ AD ， ∴ 四边形 ADEC 是平行四边形 ， ∴ CE ＝ AD 　 ( 2 ) 解：四边形 BECD 是菱形 ， 理由是： ∵ D 为 AB 中点 ， ∴ AD ＝ BD ， ∵ CE ＝ AD ， ∴ BD ＝ CE ， ∵ BD ∥ CE ， ∴ 四边形 BECD 是平行四边形 ， ∵∠ ACB ＝ 90 ° ， D 为 AB 中点 ， ∴ CD ＝ BD ， ∴ 四边形 BECD 是菱形　 ( 3 ) 当 ∠ A ＝ 45 ° 时 ， 四边形 BECD 是正方形 ， 理由是： ∵∠ ACB ＝ 90 ° ， ∠ A ＝ 45 ° ， ∴∠ ABC ＝ ∠ A ＝ 45 ° ， ∴ AC ＝ BC ， ∵ D 为 BA 中点 ， ∴ CD ⊥ AB ， ∴∠ CDB ＝ 90 ° ， ∵ 四边形 BECD 是菱形 ， ∴ 四边形 BECD 是正方形 ， 即当 ∠ A ＝ 45 ° 时 ， 四边形 BECD 是正方形 【 点评 】 　在判定矩形、菱形或正方形时 ， 要弄清是在 “ 四边形 ” ， 还是在 “ 平行四边形 ” 的基础上来求证的 ， 要熟悉各判定定理之间的联系与区别 ， 解答此类问题要认真审题 ， 通过对已知条件的分析、综合 ， 确定一种解决问题的方法． 4 ． ( 2014 · 随州 ) 如图 ， 在矩形 ABCD 中 ， M ， N 分别是边 AD ， BC 的中点 ， E ， F 分别是线段 BM ， CM 的中点． (1) 求证： △ ABM ≌△ DCM ； (2) 填空：当 AB ∶ AD ＝ 时 ， 四边形 MENF 是正方形． 1 ∶ 2 试题　在 △ ABC 的两边 AB ， AC 上向形外作正方形 ABEF ， ACGH ， 过点 A 作 BC 的垂线分别交 BC 于点 D ， 交 FH 于点 M ， 求证： FM ＝ MH . 错解 证明：如图 ， ∵ 四边形 ABEF 与四边形 ACGH 都是正方形 ， ∴ AF ＝ AB ， AH ＝ AC . 又 ∵∠ FAH ＝ ∠ BAC ， ∴△ AFH ≌△ ABC ， ∴∠ 5 ＝ ∠ 2. ∵∠ 3 ＋ ∠ 1 ＝ 90° ， ∠ 3 ＋ ∠ 2 ＝ 90° ， ∴∠ 1 ＝ ∠ 2 ， ∴∠ 1 ＝ ∠ 5. ∵∠ 1 ＝ ∠ 4 ， ∴∠ 4 ＝ ∠ 5. ∴ AM ＝ FM . 同理 ， AM ＝ MH ， 故 FM ＝ MH . 剖析 　上述解法错在将 ∠ BAC 画成了直角 ( 题中没有这个条件 ) ， 从而导致 ∠ FAH ， ∠ BAC 和 ∠ 1 ， ∠ 4 分别成为对顶角 ， 不认真画图 ， 匆匆忙忙进行推理 ， 就很容易犯错误． 正解 证明：分别过 F ， H 画 FK ⊥ MD ， HL ⊥ MD ， 垂足为 K ， L . ∵ 四边形 ACGH 是正方形 ， ∴ AC ＝ AH ， ∠ CAH ＝ 90° ， ∴∠ 1 ＋ ∠ 2 ＝ 90° ， ∵ AD ⊥ BC ， ∴∠ 2 ＋ ∠ 3 ＝ 90° ， ∴∠ 1 ＝ ∠ 3. 又 ∵∠ HL A ＝ ∠ ADC ＝ 90° ， ∴△ A HL ≌△ CAD ， ∴ HL ＝ AD . 同理： △ AFK ≌△ BAD ， ∴ FK ＝ AD ， ∴ FK ＝ HL. 又 ∵∠ FMK ＝ ∠ HML ， ∠ FKM ＝ ∠ HL M ＝ 90° ， ∴△ FMK ≌△ HML ， ∴ FM ＝ MH .