初中数学中考复习课件章节考点专题突破：第六章 图形性质2 第27讲 几何作图 35页

人教 数 学 第六章　图形的性质 ( 二 ) 第 27 讲　几何作图 要点梳理 1 ． 尺规作图的作图工具限定只用圆规和没有刻度的直尺 2 ． 基本作图 (1) 作一条线段等于已知线段 ， 以及线段的和 ﹑ 差； (2) 作一个角等于已知角 ， 以及角的和 ﹑ 差； (3) 作角的平分线； (4) 作线段的垂直平分线； (5) 过一点作已知直线的垂线． 要点梳理 3 ． 利用基本作图作三角形 (1) 已知三边作三角形； (2) 已知两边及其夹角作三角形； (3) 已知两角及其夹边作三角形； (4) 已知底边及底边上的高作等腰三角形； (5) 已知一直角边和斜边作直角三角形． 要点梳理 4 ． 与圆有关的尺规作图 (1) 过不在同一直线上的三点作圆 ( 即三角形的外接圆 ) ； (2) 作三角形的内切圆； (3) 作圆的内接正方形和正六边形． 要点梳理 5 ． 有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考的常见类型 6 ． 作图的一般步骤 (1) 已知； (2) 求作； (3) 分析； (4) 作法； (5) 证明； (6) 讨论． 步骤 (5)(6) 常不作要求 ， 步骤 (3) 一般不要求 ， 但作图中一定要保留作图痕迹． 两种画图方法 对于一个既不属于尺规基本作图 ， 又不属于已知条件为边角边、角边角、角角边、边边边、斜边直角边的三角形的作图题 ， 可以分析图形中是否有属于上述情况的三角形 ， 先把它作出来 ， 再发展成整个图形 ， 这种思考方法 ， 称为三角形奠基法；也可以按求作图形的要求 ， 一步一步地直接画出图形 ， 这时 ， 关键的点常常由两条直线 ( 或圆弧 ) 相交来确定 ， 称为交会法．事实上 ， 往往把三角形奠基法和交会法结合使用． 三点注意 (1) 一般的几何作图 ， 初中阶段只要求写出已知、求作、作法三个步骤 ， 完成作图时 ， 需要注意作图痕迹的保留 ， 作法中要注意作图语句的规范和最后的作图结论． (2) 根据已知条件作几何图形时 ， 可采用逆向思维 ， 假设已作出图形 ， 再寻找图形的性质 ， 然后作图或设计方案． (3) 实际问题要理解题意 ， 将实际问题转化为数学问题． 六个步骤 尺规作图的基本步骤： (1) 已知：写出已知的线段和角 ， 画出图形； (2) 求作：求作什么图形 ， 它符合什么条件 ， 一一具体化； (3) 作法：应用 “ 五种基本作图 ” ， 叙述时不需重述基本作图的过程 ， 但图中必须保留基本作图的痕迹； (4) 证明：为了验证所作图形的正确性 ， 把图作出后 ， 必须再根据已知的定义、公理、定理等 ， 结合作法来证明所作出的图形完全符合题设条件； (5) 讨论：研究是不是在任何已知的条件下都能作出图形；在哪些情况下 ， 问题有一个解、多个解或者没有解； (6) 结论：对所作图形下结论． 1 ． ( 2014 · 安顺 ) 用直尺和圆规作一个角等于已知角 ， 如图 ， 能得出 ∠ A′O′B′ ＝ ∠ AOB 的依据是 ( ) A ． SAS 　　　 B ． SSS 　　　 C ． ASA 　　　 D ． AAS B 2 ． ( 2013· 曲靖 ) 如图 ， 以 ∠ AOB 的顶点 O 为圆心 ， 适当长为半 径画弧 ， 交 OA 于点 C ， 交 OB 于点 D. 再分别以点 C ， D 为圆 心 ， 大于 1 2 CD 的长为半径画弧 ， 两弧在 ∠ AOB 内部交于点 E ， 过点 E 作射线 OE ， 连接 CD. 则下列说法错误的是 ( ) A ． 射线 OE 是 ∠ AOB 的平分线 B ． △ COD 是等腰三角形 C ． C ， D 两点关于 OE 所在直线对称 D ． O ， E 两点关于 CD 所在直线对称 D 3 ． ( 2013 · 绍兴 ) 如图 ， AD 为 ⊙ O 的直径 ， 作 ⊙ O 的内接正三角形 ABC ， 甲、乙两人的作法分别如下： 甲： ① 作 OD 的垂直平分线 ， 交 ⊙ O 于 B ， C 两点． ② 连接 AB ， AC. △ ABC 即为所求作的三角形． 乙： ① 以 D 为圆心 ， OD 的长为半径作圆弧 ， 交 ⊙ O 于 B ， C 两点． ② 连接 AB ， BC ， CA. △ ABC 即为所求作的三角形． 对于甲、乙两人的作法 ， 可判断 ( ) A ． 甲、乙均正确 B ．甲、乙均错误 C ． 甲正确 ， 乙错误 D ．甲错误 ， 乙正确 A 4 ． ( 2012 · 济宁 ) 用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示 ， 则能说明 ∠ AOC ＝ ∠ BOC 的依据是 ( ) A ． SSS B ． ASA C ． AAS D ． 角平分线上的点到角的两边距离相等 A 5 ． ( 2014 · 绍兴 ) 用直尺和圆规作 △ ABC ， 使 BC ＝ a ， AC ＝ b ， ∠ B ＝ 35° ， 若这样的三角形只能作一个 ， 则 a ， b 间满足的关系式是 ． 画三角形 【 例 1 】 　 ( 2013 · 鞍山 ) 如图 ， 已知线段 a 及 ∠ O ， 只用直尺和圆规 ， 求作 △ ABC ， 使 BC ＝ a ， ∠ B ＝ ∠ O ， ∠ C ＝ 2 ∠ B.( 在指定作图区域作图 ， 保留作图痕迹 ， 不写作法 ) 解：如图所示： 【 点评 】 　 (1) 作三角形包括： ① 已知三角形的两边及其夹角 ， 求作三角形； ② 已知三角形的两角及其夹边 ， 求作三角形； ③ 已知三角形的三边 ， 求作三角形； (2) 求作三角形的关键是确定三角形的顶点；而求作直角三角形时 ， 一般先作出直角 ， 然后根据条件作出所求的图形． 1 ． 已知：线段 a ( 如图 ) ． 求作： (1) △ ABC ， 使 AB ＝ BC ＝ CA ＝ a ； (2) 作 ⊙ O ， 使它内切于 △ ABC .( 要求保留作图痕迹 ， 不必写出作法 ) 解：画法略． ( 1 ) 如图 ① ， △ ABC 是所求的三角形 ( 2 ) 如图 ② ， ⊙ O 是所求的圆 应用角平分线、线段的垂直平分线性质画图 【 例 2 】 　 ( 2014 · 怀化 ) 两个城镇 A ， B 与两条公路 ME ， MF 位置如图所示 ， 其中 ME 是东西方向的公路．现电信部门需在 C 处修建一座信号发射塔 ， 要求发射塔到两个城镇 A ， B 的距离必须相等 ， 到两条公路 ME ， MF 的距离也必须相等 ， 且在 ∠ FME 的内部． (1) 那么点 C 应选在何处？请在图中 ， 用尺规作图找出符合条件的点 C.( 不写已知、求作、作法 ， 只保留作图痕迹 ) ( 2 ) 设 AB 的垂直平分线交 ME 于点 N ， 且 MN ＝ 2 ( 3 ＋ 1 ) km ， 在 M 处测得点 C 位于点 M 的北偏东 60 ° 方向 ， 在 N 处测得点 C 位于点 N 的北偏西 45 ° 方向 ， 求点 C 到公路 ME 的距离 ． 【 点评 】 　本题考查了尺规作图及解直角三角形的应用 ， 正确的作出图形是解答本题的关键． 2 ． ( 2014 · 玉林 ) 如图 ， BC 与 CD 重合 ， ∠ ABC ＝ ∠ CDE ＝ 90° ， △ ABC ≌△ CDE ， 并且 △ CDE 可由 △ ABC 逆时针旋转而得到．请你利用尺规作出旋转中心 O( 保留作图痕迹 ， 不写作法 ， 注意最后用墨水笔加黑 ) ， 并直接写出旋转角度是 ． 90 ° 通过画图确定圆心 【 例 3 】 如图 ， 已知 AB ︵ . 求作： ( 1 ) 确定 AB ︵ 所在圆的圆心 O ； ( 2 ) 过点 A 且与 ⊙ O 相切的直线 ． ( 要求用直尺和圆规作图 ， 保留作图痕迹 ， 不要求写作法 ) 解： ( 1 ) 在 AB 上取点 C ， 连接 AC ， BC ， 画 AC ， BC 的垂 直平分线 ， 交于点 O ( 2 ) 连接 OA ， 过点 A 画 AT ⊥ OA 【 点评 】 　根据 “ 不在同一直线上的三点确定一个圆 ” ， 在 AB 上另找一点 C ， 分别画弦 AC ， BC 的垂直平分线 ， 交点即为圆心 O . 3 ． ( 2014 ， 兰州 ) 如图 ， 在 △ ABC 中 ， 先作 ∠ BAC 的角平分线 AD 交 BC 于点 D ， 再以 AC 边上的一点 O 为圆心 ， 过 A ， D 两点作 ⊙ O( 用尺规作图 ， 不写作法 ， 保留作图痕迹 ， 并把作图痕迹用黑色签字笔加黑 ) ． 解：作出角平分线 AD ， 作 AD 的中垂线交 AC 于点 O ， 作出 ⊙ O ， ∴⊙ O 为所求作的圆 试题 　尺规作图 ， 已知顶角和底边上的高 ， 求作等腰三角形． 已知： ∠ α ， 线段 a . 求作： △ ABC ， 使 AB ＝ AC ， ∠ BAC ＝ α ， AD ⊥ BC 于 D ， 且 AD ＝ a . 错解 如图 ， ( 1 ) 作 ∠ EAF ＝ ∠ α ； ( 2 ) 作 AG 平分 ∠ EAF ， 并在 AG 上截取 AD ＝ a ； ( 3 ) 过 D 画直线 MN 交 AE ， AF 分别于 C ， B ， △ ABC 为所 求作的等腰三角形 ． 剖析 　上述画法考虑 AD 平分 ∠ BAC ， 等腰三角形顶角的平分线与底边上的高重合 ， 但是画法 (3) 没有注意到要使 AD ⊥ BC ， 也难以使 AB ＝ AC . 正解 如图 ， ( 1 ) 作 ∠ EAF ＝ ∠ α ； ( 2 ) 作 AG 平分 ∠ EAF ， 并在 AG 上截取 AD ＝ a ； ( 3 ) 过 D 作 MN ⊥ AG ， MN 与 AE ， AF 分别交于 B ， C . 则 △ ABC 即为所求作的等腰三角形 ．