九年级数学下册第二章二次函数6何时获得最大利润课件北师大版 24页

6 何时获得最大利润 1. 经历探索 T 恤衫销售过程中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型 , 感受数学的应用价值 . 2. 掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值． ① 当 a>0 时 ,y 有最小值 ② 当 a<0 时 ,y 有最大值 二次函数的最值 顶点坐标为 (h,k) ① 当 a>0 时， y 有最小值 k ② 当 a<0 时， y 有最大值 k 1. 某商店经营衬衫 , 已知所获利润 y( 元 ) 与销售的单价 x( 元 ) 之间满足关系式 y= –x 2 +24x+2956 ， 则获利最多为 ______ 元 . 2. 某旅行社要组团去外地旅游 , 经计算所获利润 y( 元 ) 与旅行团人员 x( 人 ) 满足关系式 y= –2x 2 +80x+28 400 ， 要使所 获营业额最大 , 则此旅行团有 _______ 人 . 20 3 100 【 跟踪训练 】 【 例 1】 某商店经营 T 恤衫 , 已知成批购进时单价是 2.5 元 . 根据市场调查 , 销售量与销售单价满足如下关系 : 在一段时间内 , 单价是 13.5 元时 , 销售量是 500 件 , 而单价每降低 1 元 , 就可以多售出 200 件 . 请你帮助分析，销售单价是多少时 , 可以获利最多 ? 【 例题 】 【 解析 】 设销售单价为 x (x≤13.5) 元 , 那么 销售量可以表示为 : 件 ; 每件 T 恤衫的利润为 : 元 ; 所获总利润可以表示为 : 元 ; ∴ 当销售单价为 元时 , 可以获得最大利润 , 最大利润是 元 . 即 y=-200x 2 +3 700x-8 000=-200(x-9.25) 2 +9 112.5 9 112.5 （ x-2.5 ） 【 例 2】 桃河公园要建造圆形喷水池 . 在水池中央垂直于水面处安装一个柱子 OA,O 恰在水面中心 ,OA=1.25m. 由柱子顶端 A 处的喷头向外喷水 , 水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下 , 为使水流形状较为漂亮 , 要求设计成水流在距离 OA 1m 处达到最大高度 2.25m. 如果不计其他因素 , 那么水池的半径至少要多少米 , 才能使喷出的水流不致落到池外？ 【 解析 】 建立如图所示的坐标系 , 根据 题意得 , 点 A(0,1.25), 顶点 B(1,2.25). 当 y=0 时 , 得点 C(2.5,0); 同理 , 点 D(-2.5,0). 根据对称性 , 那么水池的半径至少要 2.5m, 才能使喷出的水流不致落到池外 . 设抛物线为 y=a(x-h) 2 +k, 由待定系数法可求得抛物线表达式为 :y=-(x-1) 2 +2.25. 数学化 x y O A(0,1.25) B(1,2.25) ● C (2.5,0) ● D (-2.5,0) ● ● 1 ．（兰州 · 中考） 如图，小明的父亲在相距 2 米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千 . 拴绳子的地方距地面高都是 2.5 米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高 1 米的小明距较近的那棵树 0.5 米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米 . 【 答案 】 0.5 【 跟踪训练 】 2 ．（青海 · 中考）某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利 5 元，每天可售出 200 千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价 1 元，销售量将减少 10 千克 . （ 1 ）现该商场要保证每天盈利 1 500 元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ （ 2 ）若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，能使商场获利最多？ 【 解析 】 （ 1 ）设每千克应涨价 x 元，列方程得： (5+x)(200 － 10x)=1 500 解得： x 1 =10 x 2 =5 因为要顾客得到实惠， 5 ＜ 10 所以 x=5. 答：每千克应涨价 5 元 . （ 2 ）设商场每天获得的利润为 y 元，则根据题意，得 y=( x +5)(200 － 10x)= － 10x 2 +150x+1000 当 x= 时 ,y 有最大值 . 因此，这种水果每千克涨价 7.5 元，能使商场获利最多 . 1. （株洲 · 中考）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线 y=- （ x-2 ） 2 +4 （单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是 ( ) A.4 米 B.3 米 C.2 米 D.1 米 【 解析 】 选 A. 抛物线的顶点坐标为（ 2,4 ），所以水喷出的最大高度是 4 米 . x ( 米 ) y ( 米 ) 2. （德州 · 中考）为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯．已知太阳能路灯售价为 5000 元 / 个，目前两个商家有此产品．甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过 100 个，按原价付款；若一次性购买 100 个以上，则购买的个数每增加一个，其价格减少 10 元，但太阳能路灯的售价不得低于 3500 元 / 个．乙商家一律按原价的 80℅ 销售．现购买太阳能路灯 x 个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为 y 1 元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为 y 2 元 . （ 1 ）分别求出 y 1 ， y 2 与 x 之间的函数关系式 . （ 2 ）若市政府投资 140 万元，最多能购买多少个太阳能路灯？ 当 x>100 时，因为购买个数每增加一个，其价格减少 10 元但售价不得低于 3 500 元 / 个，所以 x ≤ 即 100250 时，购买一个需 3 500 元，故 y 1 =3 500x; (2) 当 0≤ x ≤100 时， y 1 =5 000 x ≤500 000<1 400 000 ； 当 100< x ≤250 时， y 1 =6 000 x -10 x 2 =-10( x -300) 2 +900 000<1 400 000 ； 故选择甲商家，最多能购买 400 个太阳能路灯． 得 由 得 所以，由 3. （武汉 · 中考）某宾馆有 50 个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天 180 元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出 20 元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于 340 元．设每个房间的房价每天增加 x 元（ x 为 10 的整数倍）． (1) 设一天订住的房间数为 y ，直接写出 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围 . (2) 设宾馆一天的利润为 w 元，求 w 与 x 的函数关系式 . (3) 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？ = （ 3 ）因为 w= 【 解析 】 （ 1 ） y=50- （ 0≤x≤160 ）； （ 2 ） w= （ 180+x-20 ） y= （ 180+x-20 ）（ 50- ） 所以 x= =170 时， w 有最大值，而 170>160, 故由函数 性质知 x=160 时，利润最大，此时订房数 y=50- =34 ， 此时的利润为 10 880 元 . 4 ．（青岛 · 中考）某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件 20 元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量 y （件）与销售单价 x （元）之间的关系可近似地看作一次函数： （ 1 ）设李明每月获得利润为 w （元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ （ 2 ）如果李明想要每月获得 2 000 元的利润，那么销售单价应定为多少元？ （ 3 ）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于 32 元，如果李明想要每月获得的利润不低于 2 000 元，那么他每月的成本最少需要多少元？ （成本＝进价 × 销售量） （ 1 ）由题意，得： w = (x － 20) · y =(x － 20) · (-10x+500) =-10x 2 +700x-10 000 答：当销售单价定为 35 元时，每月可获得最大利润． （ 2 ）由题意，得： 解这个方程得： x 1 = 30 ， x 2 = 40 ． 答：李明想要每月获得 2 000 元的利润，销售单价应定为 30 元或 40 元 . 【 解析 】 当 时， w 有最大值 . ∴ 抛物线开口向下 . ∴ 当 30≤x≤40 时， w≥2 000 ． ∵ x≤32 ， ∴当 30≤x≤32 时， w≥2 000 ． 设成本为 P （元），由题意，得： P=20 （ -10x+500)= -200x+10 000, ∵k=-200 ＜ 0 ，∴ P 随 x 的增大而减小 . ∴ 当 x = 32 时， P 最小 ＝ 3600. 答：想要每月获得的利润不低于 2000 元，每月的成本最少需要 3600 元． （ 3 ） ∵ 【 规律方法 】 先将实际问题转化为数学问题，再将所求的问题用二次函数关系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值，有时必须考虑其自变量的取值范围，根据图象求出最值 . “ 何时获得最大利润” 问题解决的基本思路 . 1. 阅读题目，理解问题 . 3. 用数量的关系式表示出它们之间的关系 . 4. 根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值 . 5. 检验结果的合理性 . 2. 分析问题中的变量和常量 , 以及它们之间的关系 . 虽然言语的波浪永远在我们上面喧哗，而我们的深处却永远是沉默的 . —— 纪伯伦