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- 2021-11-12 发布
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小专题(三) 与切线有关的证明和计算
1.在证明圆的切线问题时,常见的辅助线作法:(1)若所给直线与圆有一个公共点,则连
接圆心与该公共点得半径,证半径与直线垂直,简记为“连半径,证垂直”;(2)若题目未明确
指出直线与圆有公共点,则过圆心作已知直线的垂线段,证明垂线段的长等于半径,简记为
“作垂直,证半径”.
2.遇到有切线的条件,常见辅助线作法:连接过切点的半径,运用切线的性质构造直角三
角形,再应用三角形的知识求解,解题中常用圆周角定理、垂径定理、勾股定理等进行角度或
线段转化,从而化未知为已知,求出未知的角和线段.
类型 1 与切线有关的计算角度问题
1.(常州中考)如图,AB 是☉O 的直径,MN 是☉O 的切线,切点为 N,如果∠MNB=52°,则∠NOA 的
度数为 (A)
A.76° B.56° C.54° D.52°
2.(宜昌中考)如图,直线 AB 是☉O 的切线,C 为切点,OD∥AB 交☉O 于点 D,点 E 在☉O 上,连接
OC,EC,ED,则∠CED 的度数为 (D)
A.30° B.35° C.40° D.45°
3.直线 AB 与☉O 相切于点 B,C 是☉O 与 OA 的交点,D 是☉O 上的动点(点 D 不与点 B,C 重合),
若∠A=40°,则∠BDC 的度数是 (A)
A.25°或 155° B.50°或 155°
2
C.25°或 130° D.50°或 130°
提示:当点 D 在优弧 BC 上时,∠BDC=1
2∠BOC=25°;当点 D 在劣弧 BC 上时,∠
BDC=180°-25°=155°.
4.如图,已知 PA,PB 是☉O 的切线,A,B 为切点,AC 是☉O 的直径,∠P=40°,则∠BAC 的大小是
(D)
A.70° B.40° C.50° D.20°
5.已知 A,B,C 是☉O 上的三个点,四边形 OABC 是平行四边形,过点 C 作☉O 的切线,交 AB 的延
长线于点 D.
(1)如图 1,求∠ADC 的大小;
(2)如图 2,过点 O 作 CD 的平行线,与 AB 交于点 E,与AB交于点 F,连接 AF,求∠FAB 的大小.
解:(1)∵CD 是☉O 的切线,∴∠OCD=90°.
∵四边形 OABC 是平行四边形,∴OC∥AD,
∴∠ADC=180°-∠OCD=180°-90°=90°.
(2)连接 OB,由圆的性质知 OA=OB=OC.
∵四边形 OABC 是平行四边形,
∴OC=AB,∴OA=OB=AB,∴△OAB 是等边三角形,
∴∠AOB=60°.
∵OF∥CD,∴OF⊥AD,
由垂径定理,得AF = BF,
3
∴∠FAB=1
2∠BOF=1
4∠AOB=15°.
类型 2 与切线有关的计算长度问题
6.如图,BC 为半圆 O 的直径,D 为半圆上一点,过点 D 作半圆 O 的切线 AD,作 BA⊥DA 于点 A,BA
交半圆于点 E,已知 BC=10,AD=4,若直线 CE 与以 O 为圆心,r 为半径的圆相切,则 r 等于 (C)
A.2 B.2.5 C.3 D.3.5
7.
如图,☉O 的半径为 2,点 O 到直线 l 的距离为 3,点 P 是直线 l 上的一个动点,PQ 切☉O 于点
Q,则 PQ 的最小值为 (B)
A. 3 B. 5 C.3 D.2
8.如图,直线 AB 与☉O 相切于点 A,AC,CD 是☉O 的两条弦,且 CD∥AB,若☉O 的半径为 5,CD=8,
则弦 AC 的长为 (D)
A.10 B.8 C.4 3 D.4 5
9.
4
如图,AB=AC=8,∠BAC=90°,直线 l 与以 AB 为直径的☉O 相切于点 B,D 是直线 l 上任意一动
点,连接 DA 交☉O 于点 E.
(1)当点 D 在 AB 上方且 BD=6 时,求 AE 的长;
(2)当 CE 恰好与☉O 相切时,求 BD 的长.
解:(1)连接 BE.∵AB 为直径,∴∠AEB=90°,
∵BD 为切线,∴AB⊥BD,∴∠ABD=90°,
在 Rt△ABD 中,AD= AB2 + BD2 = 82 + 62=10,
∵1
2BE·AD=1
2AB·BD,∴BE=AB·BD
AD = 8 × 6
10 = 24
5 ,在 Rt△ABE 中,AE= AB2 - BE2 = 82 - (24
5 )2
= 32
5 .
(2)如图,连接 OC,OE.
∵∠BAC=90°,∴CA 为☉O 的切线,
∵CE 为☉O 的切线,∴CA=CE,
∵OA=OE,∴OC 垂直平分 AE,
∴∠1+∠3=90°,
∵∠1+∠2=90°,
∴∠2=∠3,
5
∵AB=CA,∠CAO=∠ABD,
∴△ABD≌△CAO,
∴BD=AO=4.
类型 3 与切线有关的证明问题
10.如图,C 为以 AB 为直径的☉O 上一点,AD 和过点 C 的切线互相垂直,垂足为 D.
求证:AC 平分∠BAD.
证明:连接 OC.∵OA=OC,∴∠ACO=∠CAO,
∵CD 切☉O 于点 C,∴CO⊥CD.又∵AD⊥CD,
∴AD∥CO,∴∠DAC=∠ACO,∴∠DAC=∠CAO,∴AC 平分∠BAD.
11.如图,AD 是△ABC 的高,且 AD=1
2BC,E,F 分别为 AB,AC 的中点,以 EF 为直径作圆 O,试判断
圆 O 与 BC 的位置关系,并说明理由.
解:圆O 与 BC 相切.理由:过点O 作 OP⊥BC,垂足为 P.∵E,F 分别为 AB,AC 的中点,∴EF 为△ABC
的中位线,∴EF=1
2BC,EF∥BC.
∵AD=1
2BC,∴EF=AD.∵OP
AD = BE
AB = 1
2,
∴OP=1
2AD=1
2EF.∵EF 为圆 O 的直径,
∴OP 为圆 O 的半径,∴圆 O 与 BC 相切.
6
12.
如图,AB,BC,CD 分别与☉O 相切于点 E,F,G,且 AB∥CD,BO=6,CO=8.
(1)判断△OBC 的形状,并证明你的结论;
(2)求 BC 的长;
(3)求☉O 的半径 OF 的长.
解:(1)△OBC 是直角三角形.
证明:∵AB,BC,CD 分别与☉O 相切于点 E,F,G,∴∠OBE=∠OBF=1
2∠EBF,∠OCG=∠OCF=1
2∠GCF,
∵AB∥CD,∴∠EBF+∠GCF=180°,∴∠OBF+∠OCF=90°,
∴∠BOC=90°,∴△OBC 是直角三角形.
(2)∵在 Rt△BOC 中,BO=6,CO=8,
∴BC= BO2 + CO2=10.
(3)∵BC 与☉O 相切于点 F,∴OF⊥BC,
∵S△OBC=1
2BO·CO=1
2BC·OF,
∴OF=BO·CO
BC = 6 × 8
10 =4.8.
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