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  • 2021-05-13 发布

三角恒等变形难题高考加竞赛有答案

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‎ 三角恒等变形竞赛 三角恒等变形涉及范围广泛,包括三角式的化简、求值、恒等式的证明、三角级数的求和、三角不等式的证明等,其变形的主要途径如下:‎ ‎1.两角和与差的三角函数 ‎2.倍角公式 ‎3.半角公式 ‎4.和化和差公式 ‎5.和差化积公式 ‎6.万能公式 设,则 ‎7.三倍角公式 ‎8.,其中 解题示范 例1:求下列各式的值。‎ ‎(1);‎ ‎(2)···;‎ ‎(3).‎ 思路分析:此例中的求值,都是给角求值。在利用三角变形时,总体思路是化繁为简,产生约分项或相消项或特殊角的三角函数。‎ 解:(1)原式 ‎ ‎ ‎(2)因为 ‎ ·‎ ‎·‎ ‎,‎ 所以原式=1。‎ ‎(3)因为·‎ ‎,‎ 而,‎ 所以原式=1。‎ 点评:三角函数的求值,实质上是从角、名、结构进行变换,抓住角之间的关系,合理进行积与和式变换即可。‎ 例2 化简 思路分析:从本题结构联想,用进行化简。‎ 解:因为 ‎,‎ 所以原式 点评:此题的技巧在于公式的灵活运用,而在公式选择中,关键要抵消1,从而简化结构。‎ 例3:已知为锐角,且,求的值.‎ 思路分析:此题给出一个方程,两个未知数,属不定方程类型。要求解此问题,应从在变形入手,通过配方法解决。‎ 解:因为,‎ 即,‎ 从而,‎ 于是,且.‎ 由是锐角可知 所以,从而 引申:此题可从考虑其几何意义求解。‎ 由题意得 设,则P点是直线与圆的公共点,‎ 所以,化简得 所以,同理可得 同时,构造几何意义解题,常常能得到奇数。例如:设是方程 的相异两根,且,求证:‎ 证明:设,则是圆与直线的两个相异点。‎ 联立消元得 所以 即 ①‎ 同理得 即 所以 ②‎ 由①2+②2得 故 另外,①,②相除得 例4:求证:··‎ 思路分析:从三角数量关系转化为一个三次方程的根与系数求解。‎ 证明:设,则,‎ 即 令,则.‎ 因为是上述方程的根,‎ 所以··.‎ 故··‎ 引申:(1)由韦达定理还可得, ·‎ ‎(2)三倍角的变化情况较复杂,还有另一组公式对三倍角的变换很有效。‎ 例如化简 ‎··‎ 例5:求证:‎ 思路分析:左边的求和式表示成裂项求和,其结构便化繁为简,而裂项时,考虑的因素。‎ 证明:因为 ‎,‎ 所以·‎ 故 点评:此题的裂项迁移了数列求和,同时也是以角为突破口。另外第25届美国数学奥林匹克题“证明的平均值为”与此题是“异曲同工”。‎ 便6:设,试证:‎ 思路分析:从左边三有函数内各角度成等差数列入手。‎ 证明:设,‎ ‎,‎ 则 而,‎ 当是偶数时,有,‎ 当是奇数时,有,‎ 所以M·N 故 点评:题解中的M、N是一组对偶式,构造对偶式解题,也是三角变换的一个途径,其对偶式的应用,让公式得到应用,对称的性质得以作用。‎ 例7:设三边的长度为,其所对角分别为,且满足 求证:该三角形是等腰三角形。‎ 思路分析:作边角转化,利用三角变换处理已知等式。‎ 证明:由已知得,则,‎ 所以 整理得 即 化简得 所以或,‎ 即或 解得或 所以 故是等腰三角形。‎ 点评:三角变换既能求值、化简、证明三角恒等式,同时也是工具,可以广泛解决相关的问题。‎ 能力测试 能力测试 ‎1.已知都是锐角,且,那么的关系是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎2.设 ,则的大小关系为( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎3.等于( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.已知成公比为2的等比数列,且也成等比数列,则的值依次为( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎5.的值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知,那么的最大值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.在中,已知,则 。‎ ‎8.已知,则 = 。‎ ‎9.设是公差为的等差数列,那么 。‎ ‎10.设三内角成等比数列,且公比为3,则 。‎ ‎11.计算: 。‎ ‎12.已知,则 。‎ ‎13.求证:‎ ‎14.设整数满足,求的值。‎ ‎15.在中,求证:,其中分别是的内切圆、外接圆的半径。‎ 冲击金牌 ‎16.已知,且,,其中 求证:对于一切正整数均为整数。‎ ‎17.若锐角满足条件,试证:‎ ‎18.外心为O,内心为I,求证:。‎