三角恒等变形难题高考加竞赛有答案 10页

‎ 三角恒等变形竞赛 三角恒等变形涉及范围广泛，包括三角式的化简、求值、恒等式的证明、三角级数的求和、三角不等式的证明等，其变形的主要途径如下：‎ ‎1．两角和与差的三角函数 ‎2．倍角公式 ‎3．半角公式 ‎4．和化和差公式 ‎5．和差化积公式 ‎6．万能公式 设，则 ‎7．三倍角公式 ‎8．，其中 解题示范 例1：求下列各式的值。‎ ‎（1）；‎ ‎（2）···；‎ ‎（3）.‎ 思路分析：此例中的求值，都是给角求值。在利用三角变形时，总体思路是化繁为简，产生约分项或相消项或特殊角的三角函数。‎ 解：（1）原式 ‎ ‎ ‎（2）因为 ‎ ·‎ ‎·‎ ‎，‎ 所以原式=1。‎ ‎（3）因为·‎ ‎，‎ 而，‎ 所以原式=1。‎ 点评：三角函数的求值，实质上是从角、名、结构进行变换，抓住角之间的关系，合理进行积与和式变换即可。‎ 例2 化简 思路分析：从本题结构联想，用进行化简。‎ 解：因为 ‎，‎ 所以原式 点评：此题的技巧在于公式的灵活运用，而在公式选择中，关键要抵消1，从而简化结构。‎ 例3：已知为锐角，且，求的值.‎ 思路分析：此题给出一个方程，两个未知数，属不定方程类型。要求解此问题，应从在变形入手，通过配方法解决。‎ 解：因为，‎ 即，‎ 从而，‎ 于是，且.‎ 由是锐角可知 所以，从而 引申：此题可从考虑其几何意义求解。‎ 由题意得 设，则P点是直线与圆的公共点，‎ 所以，化简得 所以，同理可得 同时，构造几何意义解题，常常能得到奇数。例如：设是方程 的相异两根，且，求证：‎ 证明：设，则是圆与直线的两个相异点。‎ 联立消元得 所以 即 ①‎ 同理得 即 所以 ②‎ 由①2+②2得 故 另外，①，②相除得 例4：求证：··‎ 思路分析：从三角数量关系转化为一个三次方程的根与系数求解。‎ 证明：设，则，‎ 即 令，则.‎ 因为是上述方程的根，‎ 所以··.‎ 故··‎ 引申：（1）由韦达定理还可得， ·‎ ‎（2）三倍角的变化情况较复杂，还有另一组公式对三倍角的变换很有效。‎ 例如化简 ‎··‎ 例5：求证：‎ 思路分析：左边的求和式表示成裂项求和，其结构便化繁为简，而裂项时，考虑的因素。‎ 证明：因为 ‎，‎ 所以·‎ 故 点评：此题的裂项迁移了数列求和，同时也是以角为突破口。另外第25届美国数学奥林匹克题“证明的平均值为”与此题是“异曲同工”。‎ 便6：设，试证：‎ 思路分析：从左边三有函数内各角度成等差数列入手。‎ 证明：设，‎ ‎，‎ 则 而，‎ 当是偶数时，有，‎ 当是奇数时，有，‎ 所以M·N 故 点评：题解中的M、N是一组对偶式，构造对偶式解题，也是三角变换的一个途径，其对偶式的应用，让公式得到应用，对称的性质得以作用。‎ 例7：设三边的长度为，其所对角分别为，且满足 求证：该三角形是等腰三角形。‎ 思路分析：作边角转化，利用三角变换处理已知等式。‎ 证明：由已知得，则，‎ 所以 整理得 即 化简得 所以或，‎ 即或 解得或 所以 故是等腰三角形。‎ 点评：三角变换既能求值、化简、证明三角恒等式，同时也是工具，可以广泛解决相关的问题。‎ 能力测试 能力测试 ‎1．已知都是锐角，且，那么的关系是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2．设 ，则的大小关系为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎3．等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知成公比为2的等比数列，且也成等比数列，则的值依次为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎5．的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知，那么的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．在中，已知，则 。‎ ‎8．已知，则 = 。‎ ‎9．设是公差为的等差数列，那么 。‎ ‎10．设三内角成等比数列，且公比为3，则 。‎ ‎11．计算： 。‎ ‎12．已知，则 。‎ ‎13．求证：‎ ‎14．设整数满足，求的值。‎ ‎15．在中，求证：，其中分别是的内切圆、外接圆的半径。‎ 冲击金牌 ‎16．已知，且，，其中 求证：对于一切正整数均为整数。‎ ‎17．若锐角满足条件，试证：‎ ‎18．外心为O，内心为I，求证：。‎