高考中数学不等式题型 6页

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  • 2021-05-13 发布

高考中数学不等式题型

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高考不等式经典题型研学总结 研学背景: 作为一名高中生高考是我们必经的阶段,也是人生的重要一步。我们有必要为此作准备。由于我们对数学的不等式比较有兴趣,因此确定了这样的研究性学习专题。‎ 研学目的: 我们想通过这次的研学,接触更多的高考不等式题型,学习更多有关不等式的知识。提高我们的数学水平,分析未来高考不等式的命题趋势,为将来的高考打好基础。‎ 研学小组成员:指导老师:杨志明 ‎ 组员:马是哲 刘思源 俞泽坤 吴逸飞 李业铿 ‎ ‎ 1、 高考与不等式 纵观近年来的高考试题,有关不等式的试题占的分值相当大,约占总分的12%,已经成为高考必考的热点内容,不仅考查不等式的基本知识,基本技能,而且注重考查学生的运算能力,逻辑思维能力,以及分析问题和解决问题的能力.选择题和填空题主要考查不等式的性质、比较大小和解简单不等式,有时还可能与函数、方程等内容相结合的小综合.解答题主要是解不等式或证明不等式或以其他知识为载体的综合题。单独考不等式的考题占分不多,但涉及不等式的知识、方法、技巧的问题往往占有较大的比例,其中不等式常常与下列知识相结合考查:‎ ‎①不等式的性质的考查常与指数函数、对数函数、三角函数的性质的考查相结合,一般多以选择题的形式出现,有时也与充要条件、函数单调性等知识结合,且试题难度不大;‎ ‎②‎ 解不等式的试题主要在解答中出现,常常是解含参不等式较多,且多与二次函数、指数、对数、可能还会出现导数相结合命题;‎ ‎③证明不等式是理科考查的重点,经常同一次函数、二次函数、数列、解析几何,甚至还可能与平面向量等结合起来考查.‎ 1、 命题趋势及典型例题解释 ‎ (1)不等式的性质考查会与函数性质相结合起来,一般多以选择题出现,填空题出现,也有可能与充要条件、逻辑知识结合起来.‎ 例1:设命题甲:x和y满足,命题乙:x和y满足 ,那么 甲是乙的()‎ A  充分但不必要条件  B  必要但不充分条件C 充要条件  D 既不充分也不必要条件 ‎ ‎[思路]‎ 根据同向不等式的可加性,从乙甲和甲乙两个方面进行推导,再结合充要条件相关概念进行分析。‎ ‎[破解]易知即乙甲;但当时,显然满足不满足故甲乙 不成立。从而甲是乙的必要但不充分条件 。故选B ‎[收获]‎ 本题将不等式的可加性与充要条件的相关概念进行了有机结合。做题时不要将充分不必要条件与必要不充分条件混淆起来。‎ 例2:已知.设 ‎ 函数在R上单调递减.‎ 不等式的解集为R.‎ 如果和有且仅有一个正确,求的取值范围.‎ ‎[思路] ‎ 此题虽是一道在老教材之下的高考试题,但揭示了“解不等式”一类高考试题的命题方向.在新教材中,绝对值不等式的解法和二次不等式的解法与集合运算、命题判断都有一定联系,属于对于学生提出的基本要求内容的范畴,本题将这几部分知识内容有机地结合在一起,在考查学生基础知识、基本方法掌握的同时,考查了学生命题转换,分类讨论等能力,在不同的方法下有不同的运算量,较好地体现出了“多考一点想,少考一点算”的命题原则.‎ ‎[破解]:函数在R上单调递减,不等式的解集为R 函数在R上恒大于1,∵∴函数在R上的最小值为,∴不等式的解集为R,即,若正确,且不正确,则;若正确,且不正确,则;‎ 所以的取值范围为.‎ ‎[收获]‎ ‎“解不等式”一类的命题可以有形式上的更新和内容上的变化.结合简易逻辑的概念和集合的语言来命题,借助集合的运算性质和四个命题的关系来作答,是这个命题的基本特征,在求解时则主要以化归思想为破解切入点.复习中对于此类问题要引起足够的重视.‎ ‎(2)解不等式的题常以填空题和解答题的形式出现,此类题主要以一元二次不等式,分式不等式,含绝对值不等式为主,在解答题中含字母参数的不等式较多,需要对字母进行分类讨论.‎ 例3:解关于的不等式。‎ ‎ 分析 本例涉及了两个讨论点:二次项系数和判别式的符号.‎ ‎ 解 ‎ ‎(1)当时:若,则,不等式解集为;若,则,解集为.‎ ‎(2)当时:不等式为,解集为.‎ ‎(3)当时:若,则,解集为.‎ ‎ 若,不等式为,解集为且.‎ ‎ 若,则,解集为.‎ ‎ 点拨 由于分类的原因有两个,为了避免逻辑混乱,本例采取了“二级分类”方法:第一级以二次项系数的符号作为划分的依据;第二级依判别式的符号进行划分.‎ 例4:若不等式|-4|+|3-|<的解集为空集,求的取值范围。‎ ‎[思路]‎ 此不等式左边含有两个绝对值符号,可考虑采用零点分段法,即令每一项都等于0,得到的值作为讨论的分区点,然后再分区间讨论绝对值不等式,最后应求出解集的并集,这是按常规去掉绝对值符号的方法求解,运算量较大。若仔细观察不等式左边的结构,利用绝对值的几何意义用数形结合方法或联想到绝对值不等式|+|≤||+||,便把问题简化。‎ ‎[破解]‎ 解法一 (1)当≤0时,不等式的解集是空集。‎ ‎(2)当>0时,先求不等式|-4|+|3-|<有解时的取值范围。‎ 令-4=0得=4,令3-=0得=3‎ ① 当≥4时,原不等式化为-4+-3<,即2-7<‎ 解不等式组,∴>1‎ ② 当3<<4时,原不等式化为4-+-3<得>1‎ ③ 当≤3时,原不等式化为4-+3-<即7-2<‎ 解不等式,∴>1‎ 综合①②③可知,当>1时,原不等式有解,从而当0<≤1时,原不等式解集为空集。‎ 由(1)(2)知所求取值范围是≤1‎ 解法二:由|-4|+|3-|的最小值为1得当>1时,|-4|+|3-|<有解 从而当≤1时,原不等式解集为空集。‎ 解法三: ∵>|-4|+|3-|≥|-4+3-|=1∴当>1时,|-4|+|3-|<有解从而当≤1时,原不等式解集为空集。‎ ‎[收获]‎ ‎1)一题有多法,破解时需学会寻找最优解法。‎ ‎2)有解;解集为空集;这两者互补。恒成立。有解;解集为空集;这两者互补。恒成立。有解;解集为空集;这两者互补。恒成立。有解;解集为空集;这两者互补。恒成立。‎ ‎(3)证明不等式一般同函数知识相结合,综合性较强,灵活性较大,具有较好的区分度.‎ 例5:若二次函数的图象经过原点,且,,求的范围.‎ ‎[思路]要求的取值范围,只需找到含的不等式(组).由于 是二次函数,所以应先将的表达形式写出来.即可求得的表达式,然后依题设条件列出含有的不等式(组),即可求解.‎ ‎[破解]因为的图象经过原点,所以可设.于是 解法一(利用基本不等式的性质)不等式组(1)变形得其中等号分别在与时成立,且与也满足(1)所以的取值范围是.‎ 解法二(数形结合)建立直角坐标系,作出不等式组(1)所表示的区域,如图中的阴影部分.因为,所以表示斜率为2的直线系.如图6,当直线过点,时,分别取得的最小值6,最大值10.即的取值范围是:.‎ 解法三(利用方程的思想)因为所以又,而 ‎,, ①‎ 所以 . ②‎ ‎①+②得即。‎ ‎[收获]‎ ‎1)在解不等式时,要求作同解变形.要避免出现以下一种错解:将不等式组(1)变形得,而,所以 ‎ 2)对这类问题的求解关键一步是,找到的数学结构,然后依其数学结构特征,揭示其代数的、几何的本质,利用不等式的基本性质、数形结合、方程等数学思想方法,从不同角度去解决同一问题.若长期这样思考问题,数学的素养一定会迅速提高.‎ ‎3)本题灵活地考查了同向不等式的可加性,但要注意的数学结构。‎ 1、 我们的收获 ‎ 通过这次的研究性学习,我们懂得了很多有关不等式的知识,并得出以下心得。‎ ‎(1)重视数学思想方法的复习 从命题趋向来看,我们应该加强对数学思想方法的复习.‎ ‎①在复习不等式的解法时,加强等价转化思想的训练力度,由于解不等式的过程实质就是一个等价转化的过程,通过等价转化可以简化不等式(组),以快速、准确求解.‎ ‎②加强分类讨论思想的复习.在解不等式或证不等式的过程中,如含有参数等问题,这时可能要对参数进行分类讨论.其中在讨论的过程中,要明白引起讨论的原因,同时要合理分类,要做到不重不漏.‎ ‎③加强函数与方程思想在不等式中的应用训练,不等式、函数、方程三者密不可分,相互联系,互相转化,如求参数的取值范围问题,函数与方程思想是解决这类问题的重要方法.‎ ‎④在不等式的证明中,要加强化归思想的复习,证明不等式的过程是一个把已知条件向要证结论的一个转化过程,这既可考查学生的基础知识,又可考查学生分析问题和解决问题的能力,正因为证明不等式是高考考查学生代数推理能力的重要素材,所以在复习中应特别加以关注.‎ ‎(2)强化不等式的应用 由于不等式单独命题较少,常在函数、数列、立几、解几和实际应用问题的试题中涉及不等式的知识,加强不等式应用能力,是提高解综合问题能力的关键,因此,在复习时应加强这方面知识和能力的训练,提高应用意识,总结不等式的应用规律,才能提高解决问题的能力,如在实际问题应用中,主要有构造不等式求解或构造函数求函数的最值等方法,在求最值时要注意等号成立的条件,避免不必要的错误,同时还要注意实际情况的限制.‎ 2、 展望 未来的学习和生活中我们会继续与不等式打交道,不等式的美我们在日后也能继续欣赏。希望会有等多的人重视不等式,也希望不等式领域能继续扩大。‎