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- 2021-05-13 发布
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应用一、求最值
直接求
例1、若,是正数,则的最小值是【 】
A. B. C. D.
例2、设的最大值为【 】
A. B. C. D.
练习1.若,则的最小值为 .
练习2.设为正数, 则的最小值为【 】
A. B. C. D.
练习3.若,且函数在处有极值,则的最大值等于【 】
A. B. C. D.
练习4.某公司一年购买某种货物吨,每次都购买吨,运费为万元/次,一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 吨.
练习5.求下列函数的值域:
(1) (2)
练习6.已知,,成等差数列,成等比数列,则
的最小值是【 】
A. B. C. D.
例3、已知则最小值为【 】
A. B. C. D.
凑系数
例4、若,且,则的最大值是 .
练习1.已知,且满足,则的最大值为 .
练习2. 当时,求的最大值.
凑项
例5、若函数在处取最小值,则【 】
A. B. C. D.
练习1.已知,求函数的最大值.
练习2.函数的最小值为【 】
A. B. C. D.
练习3.函数的最小值为【 】
A. B. C. D.
两次用不等式
例6、已知,则的最小值为__________.
例7、已知,则的最小值是【 】
A. B. C. D.
例8、设,则的最小值是【 】
A. B. C. D.
练习1.设,则的最小值是【 】
A. B. C. D.
练习2.设,则的最小值是【 】
A. B. C. D.
练习3.设,则的最小值是【 】
A. B. C. D.
练习4.设,则的最小值是 .
换元
例9、若的最大值是 .
练习1.设的最小值是【 】
A. B. C. D.
例10、设是实数,且则的最小值是【 】
A. B. C. D.
练习1.若则最大值是
练习2.若且则【 】
A.无最大值也无最小值 B.无最大值但有最小值
C.有最大值但无最小值 D.有最大值也有最小值
消元
例11、设为正实数,满足,则的最小值是 .
练习1。已知实数满足,则的取值范围为
两次用
例12、已知正数满足则的最小值是【 】
A. B. C. D.
练习1。已知正数满足则的最小值是【 】
A. B. C. D.
练习2.已知均为正数,则的最大值是【 】
A. B. C. D.
练习3.已知实数满足则的最大值是
整体代换
例13、已知,则的最小值是【 】
A. B. C. D.
例14、函数的图象恒过定点,若点在直线上,则的最小值为 .
例15、设若的最小值为
A. B. C. D.
例16、已知都是正实数,且满足,则使恒成立的的取值范围是
A. B. C. D.
练习1.函数的图象恒过定点,若点在直线上,其中,则的最小值为__________.
练习2.若,且,则的最小值为 .
练习3.已知,且,求的最小值.
练习4.若且,求的最小值.
练习5.已知且,求的最小值.
练习6.已知则的最小值等于【 】
A. B. C. D.
练习7.若为常数,则的最小值是
练习8.已知恒成立,则的取值范围是
练习9.则最小值为
分离法【分式】
例17、,则函数的最小值为__________.
例18、已知有【 】
A.最大值 B.最小值 C.最大值 D.最小值
练习1.求的值域.
练习2.若,则函数的最小值为 .
放缩法—— 解不等式
例19、设为实数,若则的最大值
是 .
例20已知,则的最小值是 .
例21、若是与的等比中项,则的最大值为【 】
A. B. C. D.
练习1.若实数满足,则的最大值是__________.
练习2.若正实数 满足 则 的最小值是
练习3.已知则的最小值是【 】
A. B. C. D.
练习4.已知,求的最小值.
练习5:已知恒成立,则的最小值是 .
练习6.若直角三角形周长为,求它的面积最大值.
练习7.若实数满足则的取值范围是
取平方
例22、若且,则的最小值是【 】
A. B. C. D.
练习1.若且,则的最小值为【 】
A. B. C. D.
练习2.已知为正实数,,求函数的最值.
取平方+解不等式
例23、已知则最小值为【 】
A. B. C. D.
结合单调性——与函数
例24、若,则的最小值为【 】
A. B. C. D.
练习1.求函数的值域.
练习2.求下列函数的最小值,并求取得最小值时的值.
(1) (2)
(3)
练习3.已知,求函数的最大值.
练习4.,求函数的最大值.
练习5.设且的最大值是【 】
A. B. C. D.
例25、已知,则的最小值是【 】
A. B. C. D.
练习1.若实数的最大值是
用另一个公式
例26、函数的最大值为 .
练习1.已知,则的最大值是【 】
A. B. C. D.
例27、已知则最小值为【 】
A. B. C. D.
直接取值【讨论】
例28、则的最小值【 】
A. B. C. D.
应用二、恒成立问题
例1、若,且,则下列不等式中,恒成立的是【 】
A. B.
C. D.
例2、设是互不相等的正数,则下列等式中不恒成立的是【 】
A. B.
C. D.
例3、设则以下不等式中不恒成立的是【 】
A. B.
C. D.
例4、已知不等式对任意正实数恒成立,则正实数
的最小值为【 】
A. B. C. D.
例5、若直线通过点,则【 】
A. B. C. D.
练习1.设,则下列不等式中不成立的是【 】
A. B.
C. D.
练习2.已知下列不等式:①;②;
③.
其中正确的个数是【 】
A.个 B.个 C.个 D.个
练习3.已知且,求使不等式恒成立的实数的取值范围.
练习4.若,且恒成立,则的最小值是【 】
A. B. C. D.
练习5.已知,则使不等式成立的最小的值是【 】
A. B. C. D.
练习6.是否存在常数,使得不等式对任意正数
恒成立,试证明你的结论.
应用三、证明不等式
例1、已知且,求证:.
例2、若且,求证:.
例3、已知是互不相等的正数且,求证:.
练习1.在某两个正数之间插入一个数,使成等差数列;若插入两个数,使
成等比数列,求证:.
练习2.证明:对于任意实数有.
应用四、比较大小
例1、若,则的大小关系是 .
例2、若,则中最大的是 .
练习1.若,且,则下列代数式中值最大的是【 】
A. B. C. D.