广东省惠州市高中物理 第三章 磁场 第五节 研究洛伦兹力第4课时导学案 粤教版选修3-1（通用） 10页

第五节 研究洛伦兹力（第四课时） 带电粒子在复合场中的运动 考点一 带电粒子在分离复合场中的运动 【典例 1】 (2020·课标全国卷，25) 如图所示，一半径为 R 的圆表示一柱形区域的横截面(纸面)．在柱形区域内加一方 向垂直于纸面的匀强磁场，一质量为 m、电荷量为 q 的粒子沿图中直线在圆上的 a 点射入柱形区域，在圆上的 b 点离开该区域，离开时速度方向与直线垂直．圆心 O 到直线的距离为 3 5 R.现将磁场换为平行于纸面且垂直于直线的匀强电场，同一粒子 以同样速度沿直线在 a 点射入柱形区域，也在 b 点离开该区域．若磁感应强度大小 为 B，不计重力，求电场强度的大小． 规范解答 粒子在磁场中做圆周运动．设圆周的半径为 r，由牛顿第二定律和 洛伦兹力公式得 qvB＝mv2 r ①式中 v 为粒子在 a 点的速度． 过 b 点和 O 点作直线的垂线，分别与直线交于 c 和 d 点．由几何关系知，线段 ac － 、bc － 和过 a、b 两点的圆弧轨迹的两条半径(未画出)围成一正方形．因此ac － ＝bc － ＝ r② 设cd － ＝x，由几何关系得ac － ＝4 5 R＋x③ bc － ＝3 5 R＋ R2－x2④ 联立②③④式得 r＝7 5 R⑤ 再考虑粒子在电场中的运动．设电场强度的大小为 E，粒子在电场中做类平抛运 动．设其加速度大小为 a，由牛顿第二定律和带电粒子在电场中的受力公式得 qE ＝ma⑥ 粒子在电场方向和直线方向所走的距离均为 r，由运动学公式得 r＝1 2at2⑦ r＝vt⑧ 式中 t 是粒子在电场中运动的时间． 联立①⑤⑥⑦⑧式得 E＝14qRB2 5m .⑨ 答案 14qRB2 5m 【变式跟踪 1】 如图所示，xOy 为空间直角坐标系，PQ 与 y 轴正方向成θ＝30° 角．在第四象限和第一象限的 xOQ 区域存在磁感应强度为 B 的匀强磁场，在 POy 区域存在足够大的匀强电场，电场方向与 PQ 平行，一个带电荷量为＋q，质量为 m 的带电粒子从－y 轴上的 A(0，－L)点，平行于 x 轴方向 射入匀强磁场，离开磁场时速度方向恰与 PQ 垂直，粒子在 匀强电场中经时间t后再次经过x轴，粒子重力忽略不计．求： (1)从粒子开始进入磁场到刚进入电场的时间 t′； (2)匀强电场的电场强度 E 的大小． 答案 (1)（5π＋2 3）m 6qB (2) 2L 3qt2(4m＋ 3qBt) 借题发挥 1．“电偏转”和“磁偏转”的比较 垂直进入磁场 (磁偏转) 垂直进入电场 (电偏转) 情景图 受力 FB＝qv0B 大小不变，方向总指向圆 心，方向变化，FB 为变力 FE＝qE，FE 大小、方向不变， 为恒力 运动规律 匀速圆周运动 r＝mv0 Bq ，T＝2πm Bq 类平抛运动 vx＝v0，vy＝Eq m t x＝v0t，y＝Eq 2m t2 运动 时间 t＝ θ 2π T＝θm Bq t＝L v0 ，具有等时性 动能 不变 变化 2.求解带电粒子在分离复合场中运动问题的分析方法 (1)正确受力分析，除重力、弹力、摩擦力外要特别注意静电力和磁场力的分析． (2)确定带电粒子的运动状态，注意运动情况和受力情况的结合． (3)对于粒子连续通过几个不同区域、不同种类的场时，要分阶段进行处理． (4)画出粒子运动轨迹，灵活选择不同的运动规律． 3．带电粒子在分离复合场中运动问题的求解方法 •特别注意 (1)多过程现象中的“子过程”与“子过程”的衔接 点．如一定要把握“衔接点”处速度的连续性． (2)圆周与圆周运动的衔接点一要注意在“衔接点” 处两圆有公切线，它们的半径重合． 考点二 带电粒子在叠加复合场中的运动 【典例 2】 如图所示的平行板之间，存在着相互垂直的匀强磁场和匀强电场，磁 场的磁感应强度 B1＝0.20 T，方向垂直纸面向里，电场强度 E1＝1.0×105 V/m， PQ 为板间中线．紧靠平行板右侧边缘 xOy 坐标系的第一象限内，有一边界线 AO， 与 y 轴的夹角∠AOy＝45°，边界线的上方有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应 强度 B2＝0.25 T，边界线的下方有水平向右的匀强电场，电场强度 E2＝5.0×105 V/m，在 x 轴上固定一水平的荧光屏．一束带电荷量 q＝8.0×10－19 C、质量 m＝ 8.0×10－26 kg 的正离子从 P 点射入平行板间，沿中线 PQ 做直线运动，穿出平行 板后从 y 轴上坐标为(0，0.4 m)的 Q 点垂直 y 轴射入磁场区，最后打到水平的荧 光屏上的位置 C.求： (1)离子在平行板间运动的速度大小； (2)离子打到荧光屏上的位置 C 的坐标； (3)现只改变 AOy 区域内磁场的磁感应强度大小，使离子都不能打到 x 轴上，磁 感应强度大小 B2′应满足什么条件？ 审题流程见左图 解析 图甲 (1)设离子的速度大小为 v，由于沿中线 PQ 做直线运 动，则有 qE1＝qvB1，代入 数 据 解 得 v ＝ 5.0×105 m/s. (2)离子进入磁场，做匀速 圆周运动，由牛顿第二定律有 qvB2＝m v2 r 得，r＝0.2 m，作出离子的运动轨迹， 交 OA 边界于 N，如图甲所示，OQ＝2r，若磁场无边界，一定通过 O 点，则圆弧 QN 的圆周角为 45°，则轨迹圆弧的圆心角为θ＝90°，过 N 点做圆弧切线，方 向竖直向下，离子垂直电场线进入电场，做类平抛运动，y＝OO′＝vt，x＝1 2at2， 而 a＝E2q m ，则 x＝0.4 m，离子打到荧光屏上的位置 C 的水平坐标为 xC＝(0.2＋ 0.4)m＝0.6 m. (3)只要粒子能跨过 AO 边界进入水平电场中，粒子就具有竖直向下的速度而一定 打在 x 轴上．如图乙所示，由几何关系可知使离子不能打到 x 轴上的最大半径 r′ ＝ 0.4 2＋1 m，设使离子都不能打到 x 轴上，最小的磁感应强度大小为 B0，图乙 则 qvB0＝m v2 r′ ，代入数据解得 B0＝ 2＋1 8 T＝0.3 T, 则 B2′≥0.3 T. 答案 (1)5.0×105 m/s (2)0.6 m (3)B2′≥0.3 T 【变式跟踪 2】 (2020·重庆卷，24)有人设计了一种带电颗粒的速率分选装置， 其原理如图所示．两带电金属板间有匀强电场，方向竖直向上，其中 PQNM 矩形 区域内还有方向垂直纸面向外的匀强磁场．一束比荷(电荷量与质量之比)均为1 k 的带正电颗粒，以不同的速率沿着磁场区域的水平中心线 O′O 进入两金属板之 间，其中速率为 v0 的颗粒刚好从 Q 点处离开磁场，然后做匀 速直,线运动到达收集板．重力加速度为 g，PQ＝3d，NQ＝ 2d，收集板与 NQ 的距离为 l，不计颗粒间相互作用．求： (1)电场强度 E 的大小； (2)磁感应强度 B 的大小； (3)速率为λv0(λ＞1)的颗粒打在收集板上的位置到 O 点的距离． 解析 (1)设带电颗粒的电荷量为 q，质量为 m.有 Eq＝mg，将q m ＝1 k 代入，得 E＝ kg. (2)如图甲所示，有 qv0B＝mv2 0 R，R2＝(3d)2＋(R－d)2，得 B＝kv0 5d.(3)如图乙所示， 有 qλv0B＝m（λv0）2 R1 ，tan θ＝ 3d R2 1－（3d）2， y1＝R1－ R2 1－（3d）2，y2＝ltan θ，y＝y1＋y2， 得 y＝d(5λ－ 25λ2－9)＋ 3l 25λ2－9 . 答案 (1)kg (2)kv0 5d (3)d(5λ－ 25λ2－9)＋ 3l 25λ2－9 借题发挥 1．带电粒子(体)在复合场中的运动问题求解要点 (1)受力分析是基础．在受力分析时是否考虑重力必须注意题目条件． (2)运动过程分析是关键．在运动过程分析中应注意物体做直线运动、曲线运动 及圆周运动、类平抛运动的条件． (3)构建物理模型是难点．根据不同的运动过程及物理模型选择合适的物理规律 列方程求解． 2．带电粒子在复合场中运动的分析方法 3．易失分点 带电粒子在复合场中运动问题容易出现以下错误： (1)忽略带电粒子的重力，对于微观粒子如：质子、离子等， 不考虑重力；液滴、尘埃、小球等宏观带电粒子常常考虑重 力． (2)在叠加场中没有认识到洛伦兹力随速度大小和方向的变化而变化，从而不能 正确地判断粒子的运动性质． (3)不能建立完整的运动图景，画出粒子的运动轨迹． (4)不能正确地选择相应的公式列方程，如运动的分解、匀速圆周运动、功能关 系等． 考点三 带电粒子在交变复合场中的运动问题 考情分析 带电粒子在交变复合场中的运动将是今后高考命题的热点，往往综合考查牛顿运 动定律、功能关系、圆周运动的规律等． 名师指点 •带电粒子在交变复合场中的运动问题的基本思路 •特别提醒 若交变电压的变化周期远大于粒子穿越电场的时间，则在粒 子穿越电场过程中，电场可看作粒子刚进入电场时刻的匀强 电场． 典例 如图甲所示，在 xOy 平面内加有空间分布均匀、大小随时间周期性变化的电场和 磁场，变化规律如图乙所示(规定竖直向上为电场强度的正方向，垂直纸面向里 为磁感应强度的正方向)．在 t＝0 时刻，质量为 m、电荷量为 q 的带正电粒子自 坐标原点 O 处以 v0＝2π m/s 的速度沿 x 轴正向水平射入．已知电场强度 E0＝2m q 、 磁感应强度 B0＝2m q ，不计粒子重力．求： (1)t＝π s 时粒子速度的大小和方向； (2)π s～2π s 内，粒子在磁场中做圆周运动的半径； (3)画出 0～4π s 内粒子的运动轨迹示意图；(要求：体现粒子的运动特点)． 审题视点 读题 (1)由图乙可知，在 xOy 平面内存在电场时，不存在磁场；存在磁场时， 不存在电场．且电场和磁场的变化周期相同； (2)带电粒子在电场中做类平抛运动； (3)由 T＝2πm qB0 ＝π s 知，只存在磁场时，带电粒子恰好做一个完整的圆周运动． 画图 画出带电粒子在交变场中的运动轨迹如图 a 所示． 解析 (1)在 0～π s 内，在电场力作用下，带电粒子在 x 轴正方向上做匀速运 动：vx＝v0 y 轴正方向上做匀加速运动：vy＝qE0 m t π s 末的速度为 v1＝ v2 x＋v2 y v1 与水平方向的夹角为α，则 tan α＝vy vx ， 代入数据解得 v1＝2 2 π m/s，方向与 x 轴正方向成 45°斜向上． b (2)因 T＝2πm qB0 ＝π s，故在π s～2π s 内，粒子在磁场中做一个完整的圆周运 动，由牛顿第二定律得：qv1B0＝mv2 1 R1 ， 解得 R1＝mv1 qB0 ＝ 2π m (3)轨迹如图 b 所示． 答案 见解析 【预测】 在如图所示的空间里，存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为 B ＝2πm q .在竖直方向存在交替变化的匀强电场如图(竖直向上为正)，电场大小为 E0＝mg q .一倾角为θ长度足够长的光滑绝缘斜面放置在此空间．斜面上有一质量为 m，带电量为－q 的小球，从 t＝0 时刻由静止开始沿斜面下滑，设第 5 秒内小球 不会离开斜面，重力加速度为 g.求： (1)第 6 秒内小球离开斜面的最大距离． (2)第 19 秒内小球未离开斜面，θ角的正切值应满足什么条件？ 解析 (1)设第一秒内小球在斜面上运动的加速度大小为 a，由牛顿第二定律得： (mg＋qE0)sin θ＝ma① 第一秒末的速度为：v＝at1② 在第二秒内：qE0＝mg③ 所以小球将离开斜面在上方做匀速圆周运动，则由向心力公式得 qvB＝mv2 R④ 圆周运动的周期为：T＝2πm qB ＝1 s⑤ 由题图可知，小球在奇数秒内沿斜面做匀加速运动，在偶数秒内离开斜面做完整 的圆周运动．所以，第五秒末的速度为： v5＝a(t1＋t3＋t5)＝6gsin θ⑥ 小球离开斜面的最大距离为 d＝2R3⑦ 由以上各式得：d＝6gsin θ π . (2)第 19 秒末的速度： v19＝a(t1＋t3＋t5＋t7＋…＋t19)＝20gsin θ⑧ 小球未离开斜面的条件是： qv19B≤(mg＋qE0)cos θ⑨ 所以：tan θ≤ 1 20π. 答案 (1)6gsin θ π (2)tan θ≤ 1 20π